曲线职分与由面机分题库及容室《根据数学大州国属) 曲线积分与曲面积分（有电子稿答案） 一、迹择题： 1小、山=】.L为抛物线y=x产上0≤x≤1的弧段。（中等 w65-)@65-》o司 (D)(55-) 2、设L是连接4-1,0)，B0,),CL,0)的折线， 则红+yd。1中等) (A)0 《(B)5 (c)25 (D)2 3、设L为隔烟士+ 43 =1,并且其周长为s,则.32+4y2+12)d-1(较易) (A)S (B)6S (C)12S (D)24s 4、设L是抛物线y=(-1≤x≤1)，￥增如的方向为正向，则杰和-达=1（中等） w明 (B)0.0 (C) 52 83 D)0 8 5、设L以(1.1)，(-l,1)。(-1,-1),(1.-)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则 产办+少本。【1《中等) (A)1 (B)2 (C)4 (D)0 6,设曲线积分∫+4g)迹+(6xy-5y炒与路径无关，则P=【1(中等) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7、已知任++w】 为某函数的全微分，则a= 11(较难) (x+y) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 使L为从宁湘线2y=到点22)的领级，则线积分二本 s于-11 1(较难) (A)-3 (C)3 (D)0 9对于德林公手P达+Q一小瓷-罗的，下送藏桂正的则 】(较易) A) L取逆时针方向，函数P,Q在闭区线D上存在一阶偏导数且型。即 方玲玲编调
曲线积分与曲面积分题库及答案（根据教学大纲编撰） 方玲玲编撰 1 曲线积分与曲面积分（有电子稿答案） 一、选择题: 1、 L xds =[ ]，L 为抛物线 2 y = x 上 0 x 1 的弧段. （中等） （A） (5 5 1) 12 1 − （B） (5 5 −1) （C） 12 1 （D） (5 5 1) 8 1 − 2、设 L 是连接 A(−1,0) ， B(0,1)，C(1,0) 的折线，则 ( ) L x y ds + = [ ](中等) （A）0 （B） 2 （C） 2 2 （D）2 3、设 L 为椭圆 1 4 3 2 2 + = x y ，并且其周长为 S，则 2 2 (3 4 12) L x y ds + + = [ ]（较易） （A）S （B）6S （C）12S （D）24S 4、设 L 是抛物线 ( 1 1) 2 y = x − x , x 增加的方向为正向，则 L xds 和 L xdy ydx − = [ ]（中等） （A） 3 2 0, （B） 0,0 （C） 3 2 , 8 5 （D） ,0 8 5 5、设 L 以 (1,1)， (−1,1)， (−1,−1) ，(1,−1) 为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则 2 2 L x dy y dx + = [ ]（中等） （A）1 （B）2 （C）4 （D）0 6、设曲线积分 4 1 2 4 ( 4 ) (6 5 ) p p L x xy dx x y y dy − + + − 与路径无关，则 p = [ ]（中等） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7、已知 2 ( ) ( ) x y x ay dx ydy + + + 为某函数的全微分，则 a = [ ]（较难） （A） −1 （B）0 （C）1 （D）2 8、设 L 为从 ) 2 1 A(1, 沿曲线 2 2y = x 到点 B(2,2) 的弧段，则曲线积分 2 2 2 L x x dx dy y y − = [ ]（较难） （A） − 3 （B） 2 3 （C）3 （D）0 9、对于格林公式 ( ) L D Q P Pdx Qdy dxdy x y + = − ，下述说法正确的是[ ]（较易） A） L 取逆时针方向，函数 P，Q 在闭区域 D 上存在一阶偏导数且 Q P x y =
角线积分与由由积分题库及答案《根据教学大州编溪) B》L取顺时针方向，函数P,Q在闭区城D上存在一阶偏导数且卫=识 众 C)L为D的正向边界，函数P,Q在用区域D上存在一阶连线偏导数 D)L取顺时针方向。函数P。Q在闭区域D上存在一阶莲续偏导数 10、C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则重一中 Jc x+4y 可】（中等） A)4 B)0 C)2x D) 11、设橘数F(x)连续(x0),对x0的任意用曲线C有 {4r+x=0 且f1)=2,则f)=] 04x°-12x2+24x-24 (B)4x3-12x2+24x-24+10e (C)x 创+ 12、设L是圆城：了+广≤-2的正向圈周，则f(x-y)达+（任-y)冰=(】（较难） 3x (A)-2x (B)0 (C)2 (D)2T 13、设Σ为Z-2--广在XY平面上方的鱼面，则∬山】（较连） (A)f"dof +4rndr (B)["dof+4rndr (c)心ao2-r2+4rt (D)don 4、设卫为产+广+子=d在：之h0<h<a)部分，则∬西可 】(难) A》广F-Td B) c) 广aori D) ['dop 15、取定闭曲面Σ的外侧，如果Σ所围战的立体的体积是V,那么曲面积分-V的是【】（较难） A)∯t+tt+dd B)(x+t+0+:达迹+(+xh 方玲玲编满
曲线积分与曲面积分题库及答案（根据教学大纲编撰） 方玲玲编撰 2 B） L 取顺时针方向，函数 P，Q 在闭区域 D 上存在一阶偏导数且 Q P x y = C） L 为 D 的正向边界，函数 P，Q 在闭区域 D 上存在一阶连续偏导数 D） L 取顺时针方向，函数 P，Q 在闭区域 D 上存在一阶连续偏导数 10、 C 为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则 2 2 C 4 xdy ydx x y − + =[ ] （中等） A） 4 B） 0 C ） 2 D） 11、设函数 f(x)连续（x>0），对 x>0 的任意闭曲线 C 有 + = C 4x ydx xf(x)dy 0 3 （难） 且 f(1)=2,则 f(x)=[ ] (A) 4 12 24 24 3 2 x − x + x − (B) rx 4x 12x 24x 24 10e 3 2 − + − + (C) 3 x (D) 3 1 x x + 12、 设 L 是圆域 D： x y 2x 2 2 + − 的正向圆周，则 − + − = (x y)dx (x y )dy 3 3 [ ]（较难） （A） − 2 （B）0 （C） 2 3 （D） 2 13、设 为 2 2 Z = 2 − x − y 在 XY 平面上方的曲面，则 ds =[ ] （较难） （A） + 2 0 1 0 2 d 1 4r rdr （B） + 2 0 2 0 2 d 1 4r rdr （C） − + 2 0 2 0 2 2 d (2 r ) 1 4r rdr （D） + 2 0 2 0 2 d 1 4r rdr 14、设 为 2 2 2 2 x y z a + + = 在 z h h a (0 ) 部分，则 zdS =[ ]（难） A） 2 2 2 2 2 0 0 a h d a r rdr − − B） 2 2 2 0 0 a h d ardr − C） 2 2 2 2 2 0 a h a h d ardr − − − D） 2 2 2 2 2 0 0 a h d a r rdr − − 15、取定闭曲面 的外侧，如果 所围成的立体的体积是 V，那么曲面积分=V 的是 [ ]（较难） A） xdydz ydzdx zdxdy + + B） ( ) ( ) ( ) x y dydz y z dzdx z x dxdy + + + + +
自置积分与由面积分题库及答案《根据黄学大树编翼) C)f(r+y+t+tt+d血 D) 16,设Σ为间0(x2+ysR2)的上，则川x2+y (A》 川R2k=水 (B)-ffR产k=-求 2+ 2+ (c)f"dof'r'dr (D)0 17、设流速场下=0,0，}，则流过球面x2+y2+:2=2的流量值=- 】(较难) (A)0 (B)4求 (D)1 二、填空是： ,设L为x2+y2=1上点(1,0到(-L0)的上半蕴段，则2= ：(较易》 2、已知曲线孤L:y=一云0≤x≤小，计算达 :(中等) 3、设L为属周x=ac061,y=asmt(0≤1≤2x,{(x+y)d本- :(中等) 4、设L是图周x+y2=R，(+yd ；(较易) x=2cosf y■2si加r介于1=0到t=x一段：（较难） 2=1 6、设L是由原点0沿y=x到点A).则由线积分J(红-y域 (中等) 7、设L是由点41-)到L)的线段.则(x2-2yk+(y2-2gy- (中等) 8.[x'dr+3ydy+x'n= 其中「是从点A(1,2,3)到点B《0,0,0)的直线段 B。(较难) 9、设C为保递时针方向沿精圆三+后=1一周略径，则重。x+达-(-冰=一（中等） 方玲玲编调
曲线积分与曲面积分题库及答案（根据教学大纲编撰） 方玲玲编撰 3 C） ( )( ) x y z dydz dzdx dxdy + + + + D） 1 ( )( ) 3 x y z dydz dzdx dxdy + + + + 16、设 为 Z=0（ 2 2 2 x + y R ）的上，则 (x + y )dxdy 2 2 =[ ]（较难） （A） 2 4 2 2 2 R dxdy R x y R = + （B） 2 4 2 2 2 R dxdy R x y R − = − + （C） 2 4 2 0 0 3 R d r dr R = （D）0 17、设流速场 v = {0,0,1} ，则流过球面 2 2 2 2 x + y + z = a 的流量值=[ ]（较难） （A）0 （B） 2 4R （C） 3 3 4 R （D）1 二、填空题： 1、设 L 为 1 2 2 x + y = 上点 (1,0) 到 (−1,0) 的上半弧段，则 2d L s = ___________；（较易） 2、已知曲线弧 L: 2 y x x = − 1 (0 1) ，计算 L xyds =___________________ ；（中等） 3、设 L 为圆周 x = acost ， y = asin t （ 0 t 2 ）， x y ds L n ( + ) 2 2 =_______________；（中等） 4、设 L 是圆周 2 2 2 x + y = R ， + L (x y )ds 3 =_________________；（较易） 5 、 C + ds x y z 2 2 = 2 8 5 ，其中 C 是曲线 = = = z t y t x t 2sin 2cos 介于 t = 0 到 t = 一段；（较难） 6、设 L 是由原点 O 沿 2 y = x 到点 A (1,1) ，则曲线积分 ( ) L x y dy − = __________________ （中等） 7、设 L 是由点 A(1,−1) 到 B(1,1) 的线段，则 2 2 ( 2 ) ( 2 ) L x xy dx y xy dy − + − = __________ （中等） 8、 x dx y dy x ydz 3 2 2 + 3 + = ，其中 是从点 A（1，2，3）到点 B（0，0，0）的直线段 AB。（较难） 9、设 C 为依逆时针方向沿椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 一周路径，则 ( ) ( ) C x y dx x y dy + − − = _________（中等）
曲线职分与由面机分题库及容室《根据数学大州国属) 10、L为逆时针方向的圆周：(x-2)3+U+3)=4.则t一x动= :(中等) 、设曲线积分1=∫(x+4知+("y2-5y与路径L无关，则 p= =k=(中等) 2,i计算=m-yd-4) (中等) 第一类面积分5 :(较易) 18、设鱼面工为r+户+=则+广+西- :(较易) 14、设E:x2+y2+z2=a2. 则月西 (难)】 15、设Σ为球心在原点，半径为R的球面的外侧。则开止+止止+小三 (中 等) 三、计算题： 小、计算∫广d本，其中L为摆线的一扶x=a-s如)，y-1-cos)(0≤1≤2x).(中等) 2、计算(：+广d,其中L是以(0.0，（亿0），(0.)为顶点的三角形（较难） 玉、计算曲找积分fx2+y2达，其中L是圆周x2+y2=匹.（中等） 4计算∫2迹+x少，其中L为 (较易) (1)抛物线y=x2上从O0,0)到B(1,)的一段弧： (2)抛物线x=y3上从O00)到B1.)的一段弧： (3)有向折线QAB,这里0、A、B:次是(0,0)，(1,0)，(1,1) 5,计算(x+)恤+y-灿，其中L是 (较易) (1)抛物线2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧： (2)从点(1,1)到点(42)的直线段： (3)洗沿直线从(1,1)到点(12)，然后再沿直线到点(4,2)的折线： 方玲玲编调 4
曲线积分与曲面积分题库及答案（根据教学大纲编撰） 方玲玲编撰 4 10、L 为逆时针方向的圆周: ( 2) ( 3) 4 2 2 x − + y + = ,则 − = L ydx xdy __________________；（中等） 11、设曲线积分 I x xy dx kx y y dy p q ( 4 ) ( 5 ) 2 4 L 4 = + + − 与路径 L 无关, 则 p =_______, q =_______, k = _______.(中等) 12、计算 I= ( )( ) ( ) (1,1) 0,0 x y x y − − d d =____________（中等） 12、第一类曲面积分 dS =___________________；（较易） 13、设曲面 为： 2 2 2 2 x y z a + + = ，则 2 2 2 ( ) x y z dS + + = __________________；（较易） 14、设 ： 2 2 2 2 x + y + z = a ．则 z dS 2 =________________________； （难） 15、设 为球心在原点，半径为 R 的球面的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy + + = ____________（中 等） 三、计算题： 1、计算 2 L y ds ，其中 L 为摆线的一拱 x = a(t − sin t) ， y = a(1− cost) （ 0 t 2 ）.（中等） 2 、计算 2 2 ( )d L x y s + ,其中 L 是以 (0,0),(2,0),(0,1) 为顶点的三角形（较难）. 3、计算曲线积分 (x + y )ds 2 2 ，其中 L 是圆周 x + y = ax 2 2 .（中等） 4. 计算 + L xydx x dy 2 2 ，其中 L 为 （较易） （1） 抛物线 2 y = x 上从 O(0,0) 到 B(1,1) 的一段弧； （2） 抛物线 2 x = y 上从 O(0,0) 到 B(1,1) 的一段弧； （3） 有向折线 OAB ，这里 O、A、B 依次是（0，0），（1，0），（1，1）. 5．计算 ( )d d ( ) L x y x y x y + + − ，其中 L 是 （较易） (1)抛物线 y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段； (3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； y
角线积分与由由积分题库及答案《根据教学大州编溪) (4)曲线x=2++1,y=+1上从点(1.1)到点(42)的一段弧. 6、设L是曲线x=1+1y=+1上从点(1,1)到点(2,2)的一段弧，计算1=厂2达+(2-x (较易)》 7、计算任+地：任-迪其中L为酒得+少=日（教递时针方向绕行）.（中等 x+y 8,计算xd+广+：d,其中Γ是从点(，1)到点(2,34)的直线段.（中等） ,计算∫0-)山+(-)西+(x-)止，【为+y1在第I卦部分的边界曲线，方向按 由线依次经过心平面部分，C平面部分和红平面部分。（难 10.利用曲线积分，求双细线产=©28所围成的图形的面积《较难) 11、利用格林公式计算/=手-x,其中L是圈周x2+y少2=a2(按逆时针方向)，（仲） 2,计算I=(e'sy-mvt+(e'cosy-m,其中L是x2+y2=am从点a,0到点 O0.0)的上半园组，m为常数.（难） 13、计算曲线积分/= 、x小-b 其中L是以点(1,0)为中心，R为半轻的圆周(R>1),数逆时 针方向。 (难) 14、应月格林公式计算下列积分： ()(2红-y+4+(3x+5y-6),其中L为三现点分别为0.0).(3.0)(32)的三角形正向边界： (中等) (24.(yosx+2切n-e)t+Kn-2e,其中L为E向限形线r+y=a>0:《中 等) 方玲玲编满 5
曲线积分与曲面积分题库及答案（根据教学大纲编撰） 方玲玲编撰 5 (4)曲线 x = 2t 2+t+1, y = t 2+1 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧． 6、设 L 是曲线 2 x t y t = + = + 1, 1 上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 2 (2 ) L I ydx x dy = + − . （较易） 7、计算 + + − − L x y x y x x y y 2 2 ( )d ( )d ,其中 L 为圆周 2 2 2 x y a + = （按逆时针方向绕行）.（中等） 8、计算 2 2 2 x x y y z z d d d + + ,其中 是从点 (1,1,1) 到点 (2,3, 4) 的直线段.（中等） 9、计算 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 d d d L y z x z x y x y z − + − + − ，L 为 x 2+y 2+z 2=1 在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按 曲线依次经过 xOy 平面部分，yOz 平面部分和 zOx 平面部分． (难) 10．利用曲线积分，求双纽线 r 2 = a 2 cos2θ 所围成的图形的面积（较难） 11、利用格林公式计算 2 2 d d L I xy y x y x = − ，其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a （按逆时针方向）.(中等) 12、计算 = − + − L x x I (e sin y my)dx (e cos y my)dy ，其中 L 是 x + y = ax 2 2 从点 A(a,0) 到点 O(0,0) 的上半圆弧， m 为常数. （难） 13、计算曲线积分 + − = L x y xdy ydx I 2 2 4 ，其中 L 是以点 (1,0) 为中心， R 为半径的圆周（ R 1 ），取逆时 针方向。 （难） 14、应用格林公式计算下列积分： (1) (2 4 3 5 6 − + + − )d d + ( ) x y x y x y ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； （中等） (2) ( ) ( ) 2 2 2 cos 2 sin e sin 2 e d d x x L x y x xy x y x x y + − − x y + ，其中 L 为正向星形线 ( ) 2 2 2 3 3 3 x y a + = a 0 ；（中 等）