、平面力系 力系的分类 平面力系一一各力的作用线都在同一平面内的力系。 空间力系一一各力的作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系一一作用线交于一点的力系 平面力偶系(仅由力偶组成) )的力系。 图3-4平面一船力血作国面内一点简化 F=√(ΣF2)2+(F)2,a= arctΣF3 ∑F 12简化结果的讨论 平面任意力系向一点简化,一船可得一力(主矢)和一力偶(主矩),但这并不 是简化的最终结果。当主矢和主矩出现不同值时,简化最终结果将会是下表所列 的情形。 表21平面任意力系筒化结果 四种结果 主矢主矩 M}化结果 义 M≠0合力FRFR=F,FR的作用线与简化中心O点的距离为d FR≠ MQ(知图22d,e所示,由力的平移定理逆定理得到) M=0合力FF=F,F的作用线通过简化中心O点 M≠0合力偶MM=>M(F),主矩M与简化中心O点的位置无关 平面任意力系平衡的必要和充分条件为F=0 M=0力系平衡
1 二、平面力系 力系的分类： 平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。 空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系——作用线交于一点的力系。 平面力偶系---- （仅由力偶组成） 平行力系——作用线相互平行的力系。 任意力系——作用线任意分布（既不完全交于一点又不完全平行）的力系。 1 平面任意力系的简化 1.1 平面任意力系向一点简化 1.2 简化结果的讨论 平面任意力系向—点简化，一船可得一力(主矢)和一力偶(主矩)，但这并不 是简化的最终结果。当主矢和主矩出现不同值时，简化最终结果将会是下表所列 的情形。 四种结果
例题(P30) 2平面力系的平衡方程及其应用 21平面任意力系的平衡方程 由 Fg=√(∑F,)2+(∑F)2=0 的充分和必要条件为主矢与 主矩同 得到∑F=0 (2.6) ∑M0(F)=0 式(2.6)称为平圃任意力系的平衡方程基本形式,可简称为二投影一矩式 它表明平圃任意力系平衡的解析充要条件为:力系中各力在乎团内两个任选坐标 轴的每个轴上投影的代数和均等于零,各力对平面内任意一点之矩的代数和也等 于零。式(2.6)最多能够求得包括力的大小和方向在内的3个未知量。 平面任意力系平衡方程除了式(2.6)的基本形式外,还有其它两种形式 投影两矩式平衡方程 三矩式平衡方程 ∑F2=0(或∑F=0) ∑M4(F)=0 ∑MA(F)=0 (2.7) ∑M(F)=0}(28) ∑MB(F)=0 ∑Mc(F)=0J 其中两点连线AB不能与投影轴x其中A,B,C三点不共线 (或y)垂直 22解题步骤与方法 1)确定研究对象,画出受力图 应将已匆力和未知力共同作用的物体作为研究对象分离体画受力图 2选取投影坐标釉和矩心,列平衡方程 2
2 例题 （P30） 2 平面力系的平衡方程及其应用 2.1 平面任意力系的平衡方程 由表 2．1 中式(2．5)得知，平面任意力系平衡的充分和必要条件为主矢与 主矩同时为零，即 得到 式(2．6)称为平圃任意力系的平衡方程基本形式，可简称为二投影一矩式。 它表明平圃任意力系平衡的解析充要条件为：力系中各力在乎团内两个任选坐标 轴的每个轴上投影的代数和均等于零，各力对平面内任意一点之矩的代数和也等 于零。式(2．6)最多能够求得包括力的大小和方向在内的 3 个未知量。 平面任意力系平衡方程除了式(2．6)的基本形式外，还有其它两种形式： 2.2 解题步骤与方法 1) 确定研究对象，画出受力图 应将已匆力和未知力共同作用的物体作为研究对象分离体画受力图。 2)选取投影坐标釉和矩心，列平衡方程
列平衡方程前应先确定力的投影坐标轴和矩心的位置,然后列方程。若受力 图上有两个未知力相互平行,可选垂直于此:一力的直线为投影轴;若无两未知 力相互平行,则选两未知力的交点力矩心;若有两正交未知力,则分别选取两未 知力所在直线为投影坐标轴,选两未知力的交点力矩心。恰当选取坐标轴和矩心, 可使单个平衡方程中未知量的个数减少,便于求解 3)求解末知量,讨论结果 将已知条件代人平衡方程式中,联立方程求解未知量。必要时可对影响求解 结果的因素进行讨论;还可以另选一不独立的平衡方程,对某一解答进行验算。 例题(P32、33) 23平面特殊力系的平衡方程 平面交汇力系的平衡方程 由于平面汇交力系中备力作用线汇交了一点,显然M=∑M(F)=0,于 是得其平衡的 系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别 等于零。即 ∑F,=0 ∑F=0 式(2.9)称为平面汇交力系的平衡方程,最多可求解包括力的大小和方向在 内的2个未知量 2.平面力偶系的平衡方程 按式(1.11)平面力偶系简化结果为一合力偶,所以平面力偶系平衡的充要 条件为:力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即 M=∑M1=0 若力系中各力的作用线与y(或x)轴平行,显然式(26)中 ∑F≡0(或∑F=0),则力系独立的平衡方程为 未知量。 ∑F,=0(或F2=0) (2.11 ∑M0(F)=0
3 列平衡方程前应先确定力的投影坐标轴和矩心的位置，然后列方程。若受力 图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此：—力的直线为投影轴；若无两未知 力相互平行，则选两未知力的交点力矩心；若有两正交未知力，则分别选取两未 知力所在直线为投影坐标轴，选两未知力的交点力矩心。恰当选取坐标轴和矩心， 可使单个平衡方程中未知量的个数减少，便于求解。 3)求解末知量，讨论结果 将已知条件代人平衡方程式中，联立方程求解未知量。必要时可对影响求解 结果的因素进行讨论；还可以另选一不独立的平衡方程，对某一解答进行验算。 例题 （P32、33） 2.3 平面特殊力系的平衡方程 1. 平面交汇力系的平衡方程 由于平面汇交力系中备力作用线汇交了一点，显然 M0 = M0 (F) 0 ，于 是得其平衡的必要且充分条件为：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别 等于零。即 式(2．9)称为平面汇交力系的平衡方程，最多可求解包括力的大小和方向在 内的 2 个未知量。 2. 平面力偶系的平衡方程 按式(1．11)平面力偶系简化结果为一合力偶，所以平面力偶系平衡的充要 条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即 式(2．10)称为平面力偶系的平衡方程，此方程只能求解 1 个未知量。 3. 平面平行力系的平衡方程
式(2。11)表明平面平行力系平衡的充要条件为:力系中各力在与力平行的坐 标轴上投影的代数和为零,各力对任意点之矩的代数和也为零 平面平行力系的平衡方程另一种形式为二矩式,即 M()=0(AB连线不与各力F平行)(2:12 ∑M2(F)=0 例题(P35、36、37、38) 3静定与超静定问题物系的平衡 31静定与超静定问题的概念 静定问题:在物体平衡计算问题中,应求解未知量的个数均未超过其相应的 独立平衡方程个数,可以求得惟一解,此类问题即为静定问题。静力学只研究静 定问题。 对工程中多数构件与结构,为了提高其安全可靠性,常采用增加约束的方法 从而使所受未知力的个数增加,超过了相应的独立平衡方程的个数。对此类问题 仅用静力学平衡方程不能求得全部未知力,力学中称此类问题称为超静定问题。 方程,然后才能 卫<x 学中)。 a,b静定问题c,d一次超静定问题 32物系的平衡 若干个物体以一定的约束方式组合在一起即成物体系统,简称物系。对静定 的物系平衡问题,由于系统内的每个物体或某一局部也都处于平衡状态,这时, 既可选择整个物系为研究对象,也可选择某一局部的几个物体,或单个物体为研 究对象,作用于研究对象上的力系都满足平衡方程,所有末切力也均可以通过平
4 式(2。11)表明平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力在与力平行的坐 标轴上投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零 平面平行力系的平衡方程另一种形式为二矩式，即 例题（P35、36、37、38） 3 静定与超静定问题 物系的平衡 3.1 静定与超静定问题的概念 静定问题：在物体平衡计算问题中，应求解未知量的个数均未超过其相应的 独立平衡方程个数，可以求得惟一解，此类问题即为静定问题。静力学只研究静 定问题。 对工程中多数构件与结构，为了提高其安全可靠性，常采用增加约束的方法， 从而使所受未知力的个数增加，超过了相应的独立平衡方程的个数。对此类问题， 仅用静力学平衡方程不能求得全部未知力，力学中称此类问题称为超静定问题。 求解超静定问题必须考虑物体受力后产生的变形，建立变形协调方程，然后才能 解出全部未知力。具体解法将在第 4 章、第 8 章中介绍（材料力学中）。 a，b 静定问题 c，d 一次超静定问题 3.2 物系的平衡 若干个物体以—定的约束方式组合在—起即成物体系统，简称物系。对静定 的物系平衡问题，由于系统内的每个物体或某一局部也都处于平衡状态，这时， 既可选择整个物系为研究对象，也可选择某一局部的几个物体，或单个物体为研 究对象，作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有末切力也均可以通过平
衡方程求得。 为了简化计算过程,必须有序地选取研究对象。对简单的静定物系平衡问题, 可按下列步骤进行 1)在具体求解前,画出系统整体、局部及每个物体的分离体受力图。 2)分析各受力图。可能出现三类情况:一是有的受力图上未知力的个数等于 或少于相应的独立平衡方程个数,这类受力图是可解的;二是有的受力图上未知 力的个数大于相应的独立平衡方程个数,但仍可求出部分未知力。如受平面任意 力系作用的分离体上有4个未知力,其中3个末细力汇交于一点(或相互平行), 取交点为矩心(或取投影袖垂直于三力),列出力矩平衡方程(或投影平衡方程), 即可求出第四个未知力,这类受力图是局部可解的;三是所有受力图的未知力暂 时都无法求解,这类受力图是暂不可解的。 3)在分析基础上确定求解顺序。先从可解的或局部可解的分离体着手,求出 某些末细力。将已求出的未知力视为己知力,从而使其它暂不可解的分离体转化 为可解的分离体,这样按题意可依次解出待求的未知力。对物系中各受力图均为 暂不可解的,则应选取两个相同未知力的分离体,列出乎衡方程联立求解,从而 同样达到转化暂不可解分离体的目的 下面举例说明物系平衡问题的解法 例题(P41、42、34) 在研究物系的平衡问题时,我们把物系以外的物体作用于物系的力称为该物 系的外力;把物系内各物体间相互作用的力,称为该物系的内力。对整个物系来 说,内力总是成对出现的,所以在研究整个物系的平衡问题时,内力无需考虑。 内力与外力是相对的。当研究物系中某一物体的平衡时,物系中其他物体对 所研究物体作用的力就转化为外力。 当整个物系平衡时,组成该物系的每一个物体必处于平衡状态。因此对于每 个物体,在一般情况下可以写出三个独立的平衡方程。 设物系由n个物体,有3m个独立方程
5 衡方程求得。 为了简化计算过程，必须有序地选取研究对象。对简单的静定物系平衡问题， 可按下列步骤进行： 1)在具体求解前，画出系统整体、局部及每个物体的分离体受力图。 2)分析各受力图。可能出现三类情况：一是有的受力图上未知力的个数等于 或少于相应的独立平衡方程个数，这类受力图是可解的；二是有的受力图上未知 力的个数大于相应的独立平衡方程个数，但仍可求出部分未知力。如受平面任意 力系作用的分离体上有 4 个未知力，其中 3 个末细力汇交于一点(或相互平行)， 取交点为矩心(或取投影袖垂直于三力)，列出力矩平衡方程(或投影平衡方程)， 即可求出第四个未知力，这类受力图是局部可解的；三是所有受力图的未知力暂 时都无法求解，这类受力图是暂不可解的。 3)在分析基础上确定求解顺序。先从可解的或局部可解的分离体着手，求出 某些末细力。将已求出的未知力视为已知力，从而使其它暂不可解的分离体转化 为可解的分离体，这样按题意可依次解出待求的未知力。对物系中各受力图均为 暂不可解的，则应选取两个相同未知力的分离体，列出乎衡方程联立求解，从而 同样达到转化暂不可解分离体的目的。 下面举例说明物系平衡问题的解法。 例题（P41、42、34） 在研究物系的平衡问题时，我们把物系以外的物体作用于物系的力称为该物 系的外力；把物系内各物体间相互作用的力，称为该物系的内力。对整个物系来 说，内力总是成对出现的，所以在研究整个物系的平衡问题时，内力无需考虑。 内力与外力是相对的。当研究物系中某一物体的平衡时，物系中其他物体对 所研究物体作用的力就转化为外力。 当整个物系平衡时，组成该物系的每一个物体必处于平衡状态。因此对于每 一个物体，在一般情况下可以写出三个独立的平衡方程。 设物系由 n 个物体，有 3n 个独立方程