变换的数学基础 矩阵运算的基本性质 交换律与结合律师 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a (a+b)= aA+aB a(A·B)=(aA)B=A(aB) (a+b)a=aA+ bA a (ba=(ab)a 浙江大学计算机学院 计算机图形学
浙江大学计算机学院 计算机图形学 矩阵运算的基本性质 • 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C • 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A ·B) = (aA) ·B=A ·(aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 变换的数学基础
变换的数学基础 ·矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C)=(AB)C (A+B)·C=A·C+B·C C·(A+B)=C·A+C·B 矩阵的乘法不适合交换律 浙江大学计算机学院 计算机图形学
浙江大学计算机学院 计算机图形学 • 矩阵乘法的结合律及分配律 A(B ·C) = (A ·B)C (A+B) ·C = A ·C+ B ·C C ·(A+B) = C ·A + C ·B • 矩阵的乘法不适合交换律 变换的数学基础
齐次坐标 所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示 个n维向量。如n维向量(P,P Pn)表示 为(hP1hP2…hPnh),其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值,所以同一点的齐次 坐标不是唯一的 如普通坐标系下的点(2,3)变换为齐次坐标 可以是(11.5,0.5)(46,2)6,9,3)等等。 2、普通坐标与并次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标×→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐杉 3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化 坐标”,因为前n个坐标就是普通坐标系下 的n维坐标。 浙江大学计算机学院 计算机图形学
浙江大学计算机学院 计算机图形学 所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示 一个n维向量。如n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示 为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次 坐标不是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标 可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化 坐标” ，因为前n个坐标就是普通坐标系下 的n维坐标。 齐次坐标
齐次坐标 (x,y)点对应的齐次坐标xy,h h hy,h≠0 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线 h=hx h 浙江大学计算机学院 计算机图形学
浙江大学计算机学院 计算机图形学 齐次坐标 (x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线 (x , y ,h) h h xh = hx, yh = hy,h 0 = = = z h y hy x hx h h h
齐次坐标的作用 1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法 2.便于表示无穷远点。 例如:(x×h,y×h,h),令h等于0 3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段,平面变 换成平面,多边形变换成多边形,多面体变换成多面 体 4.变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现 浙江大学计算机学院 计算机图形学
浙江大学计算机学院 计算机图形学 1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x h, y h, h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变 换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面 体。 4. 变换具有统一表示形式的优点 –便于变换合成 –便于硬件实现 齐次坐标的作用