1平面应力状态的工程表示方法 应力分量的正负号规定 正应力a.,以拉为正 切应力xx,以使单元体顺 时针转动为正 故切应力互等定理为: 2.平面应力状态分析—解析法 若某点的应力状态已知,可求出该点任意 外法线与为n的斜截面上的应力分量
1.平面应力状态的工程表示方法 x y x y y x y x y x 正应力 x ， y 以拉为正 切应力 ， 以使单元体顺 时针转动为正 x y 应力分量的正负号规定： 故切应力互等定理为： x y = − 2. 平面应力状态分析——解析法 若某点的应力状态已知，可求出该点任意 外法线与为n的斜截面上的应力分量
已知:某点单元体上的应力分量 Ox,Ov, tx 求该点外法线为n的斜截面—α面上的正应力aa, 切应力a。 沿斜面将单元体切开取分离体,设斜面面积为dA 2E=0 OadA-O(dA cos a)cos a+T,(dAcos a)sin a o, (dAsin a)sin a+t (dasin a)cos a=0 +0.0.-0 cos 2a -t sin 2a 2 0同理∑F=0可得: c sin 2a +t cos la c 2
已知：某点单元体上的应力分量 x y x , , x y x y y x y x y x n 求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力 , 切应力 。 沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dA x y x y = 0 Fn dA− x (dAcos)cos + x (dAcos)sin − y (dAsin )sin + x (dAsin ) cos = 0 n t cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = 同理 Ft = 0 可得： sin 2 cos 2 2 x x y + − =
斜面应力公式 0÷、6c0520-z,sn2a (10.1) 2 2 Opsin 2a +tx cos 2a (10.2) O c O x
斜面应力公式 cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = sin 2 cos 2 2 x x y + − = （10.1） (10.2) x y x y y x y x y x n
§104主平面、主方向、主应力、最大切应力 1.主平面主方向主应力 在变形体内某一点处: 若某一方向的斜截面上a=0,则该截面称为主平面 该斜截面的方向角a称为主方向,记为ap, 则有(10.2)xn=x 2 Sin 2a+t, coS 2a=0 27 主方向公式n2a (10.3) 0-2m内,得两个值ap1和an2,且an2=ap1+90 即这两个主平面相互垂直
§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力 1. 主平面 主方向 主应力 在变形体内某一点处： 若某一方向的斜截面上 = 0 ，则该截面称为主平面 该斜截面的方向角称为主方向，记为P， 则有 sin 2 cos 2 0 2 + = − = x x y (10.2) 0~2内，得两个值 P1 和 P2 ，且 = 90 P2 P1 x y x P − = − 2 主方向公式 tan 2 （10.3） 即这两个主平面相互垂直
主平面上的正应力称为主应力 将αp,an2代入(10.)得出主平面上的主应力为: 主应力公式 .+O +z2|(10.4) 2 2 0.+0.0.-0 由斜面应力公式(10.1) cos 2a -t sin za do 令 Ox 2sn 2a+2T cos 2a=0 da 同样有 tan 20= 2T 即(10.3)式 故,主平面上的正应力达到极值 即主应力分别对应于σn的极大值和极小值
主平面上的正应力称为主应力 由斜面应力公式（10.1） cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = 2sin 2 2 cos 2 0 2 = + − = − x x y d d 令 x y x − = − 2 同样有 tan 2 即（10.3）式 故，主平面上的正应力达到极值 即主应力分别对应于的极大值和极小值 将P1， P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为： 2 2 2 2 x x y x y + − + = 主应力公式 （10.4)