三、通过平壁的导热 1.单层平壁 如图所设,且假定λ为常数, 则将一维稳态条件用于傅立叶定律 因 dt 所以=是=cm,与x成线性关系。°炒 或qdx=-dt 沿X方向定积分,得 而由一维稳态条件,知q与X无关, (d1=d2,q1 所以q=-2d A(t1-t2) 所以q do 所以=点4 -单层平壁微分导热公式 沿平面定积分,得Cg=244as=24△ 所以Q=4S. 单层平壁导热公式 b
三、 通过平壁的导热 1．单层平壁 如图所设，且假定为常数， 则将一维稳态条件用于傅立叶定律： 得 所以 ，t与x成线性关系。 或 沿x方向定积分，得 而由一维稳态条件，知q与x无关， （ ） 所以 所以 而 所以 ——单层平壁微分导热公式 沿平面定积分，得 所以 ——单层平壁导热公式 z, t O x dx x b 1 t 2 t t t +dtdS n t q = − dx dt q = − const q dx dt = − = qdx = −dt = − 2 1 0 t t b qdx dt dS dQ q dS dQ dQ dQ q 2 2 1 1 2 1 = , = = = = − 2 1 0 t t b q dx dt b t t q ( ) 1 − 2 = dS dQ q = dS b t t dQ − = 1 2 − = − = Q S S dS b t t dS b t t dQ 0 1 2 0 1 2 0 b t t Q S 1 − 2 = b 1 dQ 2 dQ
传递过程有共同规律:过程速率=过程动力 过程阻力 如欧姆定律=,1=9,A安培)=C 单层平壁公式改写为Q=4=4-4=N R 温差,K,°C 热阻,KW 2、多层平壁 以三层平壁为例,如图所设,且假定λ为常数,及层与层之间接触良好,没有接触热阻,则 由 单层平壁公式, =1-12=Q1 b O b23 0=0=2=03 而由一维稳态条件,得 Mt,+△t+△ O 所以相加并整理,得 b2 b3 R+R2+R, ns As Ms Q 或 ∑R
传递过程有共同规律： 如欧姆定律 将单层平壁公式改写为 式中 ——温差，K，C； ——热阻，K/W。 2、多层平壁 以三层平壁为例，如图所设，且假定为常数，及层与层之间接触良好，没有接触热阻，则 由 单层平壁公式，得 而由一维稳态条件，得 所以相加并整理，得 或 ( ) ( ) , , ( ) 秒 库仑 安培 s C A t Q I R U I = = = 过程阻力 过程动力 过程速率 = R t S b t t b t t Q S = − = − = 1 2 1 2 1 2 t = t −t S b R = S b t t t Q S b t t t Q S b t t t Q 3 3 3 3 4 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 2 1 = − = = − = = − = Q = Q1 = Q2 = Q3 1 2 3 1 4 3 3 2 2 1 1 1 2 3 R R R t t S b S b S b t t t Q + + − = + + + + = = + = + − = − = n i i n n i i i n R t t S b t t Q 1 1 1 1 1 1 b1 b2 3 b 1 t 2 t 3 t 4 t z, t O x Q 1 2 3
四、通过圆筒壁的导热 1.单层圆筒壁 如图所设,且假定λ为常数 则将一维稳态条件用于傅立叶定律:q=-12 所以=如。,t与成非线性关系 ·2mdL do di 或d =-2idt 沿向定积分,得 22dt 而由一维稳态条件,知与「无关, =d2,“dO d=d,但%52m92m 所以=2x2 所以lh2=2(1-12) dO=2x-2)aL=2x(-2)-单层圆筒壁微分导热公式 In2
四、 通过圆筒壁的导热 1．单层圆筒壁 如图所设，且假定为常数 则将一维稳态条件用于傅立叶定律： 得 或 所以 ，t与r成非线性关系 或 沿r方向定积分，得 而由一维稳态条件，知 与r无关， （ ，但 ） 所以 所以 ——单层圆筒壁微分导热公式 n t q = − dr dt dS dQ q = = − dr dt rdL dQ dS dQ = = − 2 rdL dQ dr dt 2 = − dt r dr dL dQ = −2 = − 2 1 2 1 2 t t r r dt r dr dL dQ dL dQ r dL dQ q r dL dQ q 2 2 2 1 1 1 2 2 = = dL dQ dL dQ dQ dQ 1 2 1 2 = , = = − 2 1 2 1 2 r r t t dt r dr dL dQ ln 2 ( ) 1 2 1 2 t t r r dL dQ = − dL r r t t dL r r t t dQ 1 2 1 2 1 2 1 2 ln 1 2 ( ) ln 2 ( ) − = − = z, t O r 1 t 2 t t t +dt 1 r 2 r r dr L b d
2ndlGn-rit-t2 整理dQ=.2mLr2n12-F lDlR do=1 dS2-△."=2 单层圆筒壁微分导热公式 b -对数平均微元面积,m2; dS,=ds. 时S 沿柱面定积分,得 r dg=l L2x(1-12)2x(1-12) In In 所以Q=2n(4-12)2n(4-12) In2 单层圆筒壁导热公式 整理Q=x.2m(5=n).4-2 tLR Q=元 R 单层圆筒壁导热公式 式中Sn 对数平均面积,m2S当2Sm时1=S2 In 1-l2 —温差,K,°C R b 热阻,KW
整理 ——单层圆筒壁微分导热公式 式中 ——对数平均微元面积，m2； 当 时 ， 。 沿柱面定积分，得 所以 ——单层圆筒壁导热公式 整理 ——单层圆筒壁导热公式 式中 ——对数平均面积，m2；当 时， 。 ——温差，K，C； ——热阻，K/W。 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 ln 2 ( ) r r t t dLr dLr dL r r dQ − − − = dSm b t t r r t t dS dS dS dS dQ − = − − − = 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 ln 1 2 2 1 ln dS dS dS dS dSm − = dS1 = dS2 dSm = dS1 = dS2 − = − = Q L L dL r r t t dL r r t t dQ 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 ln 2 ( ) ln 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ln 1 2 ( ) ln 2 ( ) r r L t t r r L t t Q − = − = 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 ln 2 ( ) r r t t Lr Lr L r r Q − − − = R t S b t t b t t S r r t t S S S S Q m m = − = − = − − − = 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 ln 1 2 2 1 ln S S S S Sm − = S1 = S2 Sm = S1 = S2 1 2 t = t −t S b R =
课堂练习:设2=+a,试求单层圆筒壁的导热传热速率计算公式。 解:由g dt ds 2nrdl dr do dr 2丌Mdt 沿r方向定积分,得 fe.如 do c2 dr 2r(o+at dt 所以 氵q.如 2z|0(t2-1)+ t1+ Tl 1+ (41-12) 2nL(0+at1-12)2mLl(t1-12) n 所以当λ与成线性关系时,只要将导热公式中的λ用算术平均温度下的代替,即可 求解变导热系数的导热问题。否则,要用积分平均值代替
课堂练习：设 ，试求单层圆筒壁的导热传热速率计算公式。 解：由 得 沿r方向定积分，得 所以 得 所以当与t成线性关系时，只要将导热公式中的用算术平均温度下的代替，即可 求解变导热系数的导热问题。否则，要用积分平均值代替。 = + at 0 n t q = − dr dt dS dQ q = = − dr dt rdL dQ dS dQ = = − 2 dt r dr dL dQ = −2 = − 2 1 2 1 2 t t r r dt r dr dL dQ = − + 2 1 2 1 2 ( ) 0 r r t t at dt r dr dL dQ 2 1 ) 2 ln 2 ( 2 0 1 2 t t t a t r r dL dQ = − + ( ) 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 ln 2 ( ) t t t t a t t a t t r r dL dQ − + = + = − − + − 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 ln 2 ( ) ln 2 ( )( ) ln ( ) 2 2 r r L t t r r L at t t r r t t t t L a Q − = + − = − + + =