由波函数的有限性,有 v1(-∞)有限 v()有限→E=0 因此 V,=Be 由波函数的连续性,有 v(a)=V2(a),= Be x =-Csin k, a+ Dcosk,a (10) Ga)=v2(a), =k Be d=k,Ccosk,a+k,Dsin k, a (11) v2(a)=v3(a),=Csin k,a+Dcos k,a=Fe -la (12) wi(a)=vj(a),k2 Ccosk2a-k2 Dsin k, a=-k Feka(13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式,并合并成方程组,得 e b+sin k aC-cosk aD+0=0 k, B-k,cosk,aC-k,sin k,aD+0=0 0+sin k aC +cosk, aD-e*F=0 0+k coskaC-k sin kad+k,e-f=0
21 由波函数的有限性，有 ( ) 0 ( ) 0 3 1 = − = E A 有限 有限 因此 k x 3 k x 1 1 1 Fe Be − = = 由波函数的连续性，有 (a) (a), k Ccos k a k Dsin k a k Fe (13) (a) (a), Csin k a Dcos k a Fe (12) ( a) ( a), k Be k Ccos k a k Dsin k a (11) ( a) ( a), Be Csin k a Dcos k a (10) k a 2 3 2 2 2 2 1 k a 2 3 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 1 2 2 k a 1 2 1 1 1 1 − − − − = − = − = + = − = − = + − = − = − + 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0 k cos k aC k sin k aD k e F 0 0 sin k aC cos k aD e F 0 k e B k cos k aC k sin k a D 0 0 e B sin k aC cos k aD 0 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 + − + = + + − = − − + = + − + = − − − −
解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组有非零解,必须 k cos k k. sin k. 0 0 o k cos k sin ka k, Be sin ka coS,a k cos k 2 sin Kya K,e k 0 k,e cos k k,a e e[-k,k,- cos k a+kfe"jd sin k, a cos k,a kk k,a cosk,a] Ke-ka(k,e-k1a sin k,a cosk, a+k, e-ka cos'k,a+ 1e ka-k k,a e-2k1a[-2k, k, cos 2k, a+k, sin 2k, a-k sin 2k, a] 1a/L2 a ≠0 (h2-k1)sin 2k, a-2 k, k, cos 2K,a=0 即(k2-k2)g2a-2kk2=0为所求束缚态能级所满足的方程。 22
22 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 0 0 k cos k a k sin k a k Be 0 sin k a cos k a e k e k cos k a k sin k a 0 e sin k a cos k a 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 = − − − − − − − − e [(k k )sin2k a 2k k cos2k a] e [ 2k k cos 2k a k sin 2k a k sin 2k a] k e sin k a cos k a k e sin k a] k e [k e sin k a cos k a k e cos k a k k e sin k a k e sin k a cos k a] e [ k k e cos k a k e sin k a cos k a k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e sin k a cos k a 0 k e k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e k cos k a k sin k a 0 0 e 2 1 2 2 2 1 2 2 2k a 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2k a 2 k a 2 2 2 2 k a 1 2 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 1 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 k a k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − = − + − + − − + + + + − = − + + = − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∵ 0 1 2 − k a e ∴ ( )sin 2 2 cos2 0 2 1 2 2 2 1 2 k2 − k k a − k k k a = 即 ( ) 2 2 0 2 1 2 2 1 2 k2 − k tg k a − k k = 为所求束缚态能级所满足的方程
方法二:接(13)式 -Csin k a +Dcosk a =-Ccos k a +-2Dsin k, a k Csn k,a+dcos k,a=--Ccos k,a+-dsn k,a -cosk,a+sin k a -sin, a-cosk, a k k1 0 cos k,a+sin k, a k k, m2-cos k, a coS k2 a+sin k,a)( sin k, a-cos k, a) k cos,a+sin k, a)sin k, -cosk, @)=0 k cos, a+sink, a(sin k, a-cosk, a)=0 k1 sin k acos k,a+-sink a--cosk, a-sin k, acos.a=0 (-1+,2)sin2k2a-c0s2k2a=0 2-ki)sin 2 k, a-2k, k, cos 2k, a=0 23
23 方法二：接（13）式 Dsin k a k k Ccos k a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 − 2 + 2 = + Dsin k a k k Ccos k a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 2 + 2 = − + ( )sin2 2k cos 2 0 cos 2 0 2 ( 1 )sin2 sin cos sin cos sin cos 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 cos sin ( sin cos ) cos sin sin cos 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 − − = − + − = + − − = + − = − + − = − + − = + − − + − k k k a k k a k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k
另一解法 (11)-(13) ke(B+F) (10)+(12)=>2Dcosk,a=e(B+F) (11)-(13) →k2gk2a=k1 (10)+(12) (11)+(13)= 2k, C cos k, a=-k, (F-B)e-m (12)-(10)= 2Csin k, a=(F-B)e f111⊥f1?1 (12 (10) 令5 k,a,则 72=(k1+k2) 2HU 合并(a)(b) tg2k. a 2k, k 2 k2-k2 利用tg2k tak tg 24
24 另一解法： (11)-(13) 2 sin ( ) 1 k2D k2 a k1 e B F k a = + − (10)+(12) 2Dcosk a e (B F) k a 2 1 = + − k tgk a k (a) (10) (12) (11) (13) 2 2 = 1 + − (11)+(13) ik a k C k a k F B e 1 2 cos ( ) 2 2 1 − = − − (12)-(10) ik a 2 1 2Csin k a (F B)e − = − 令 = k2 a， = k2 a，则 ctg (d) tg (c) = − = 或 (f) 2 U a (k k ) 2 2 2 0 2 2 1 2 2 + = + = 合并 (a)、(b) ： 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k k k tg k a − = 利用 1 tg k a 2tgk a tg2k a 2 2 2 2 − = （b） k ctgk a k (12) (10) (11) (13) 2 2 = − 1 − +
2-7一粒子在一维势阱 U(x)= 0, x>a 0,x≤a 中运动,求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程。 解:(最简方法-平移坐标轴法) y"+U01=Ey1 (x≤0) v2=Ey, (0<x<2a) y3+Uv3=Ey 2 2(U 2=0 2p(U0-E) yi-Kiyu 2u(Uo-E)/n v2+k2=0(2)k2=2E/h2束缚态0<E<U v3-kv3=0(3) 25
25 2-7 一粒子在一维势阱 = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 中运动，求束缚态 (0 ) E U0 的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ： 1 0 1 1 2 2 − + U = E （χ≤0） Ⅱ： 2 2 2 2 − = E （0＜χ＜2 a ） Ⅲ： 3 0 3 3 2 2 − + U = E （χ≥2 a ） = − − + = = − − 0 2 ( ) 0 2 0 2 ( ) 2 3 0 3 2 2 2 2 1 0 1 U E E U E − = + = = − = = − k 0 (3) k 0 (2) k 2 E k 0 (1) k 2 (U E) 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 2 1 1 束缚态0 ＜ E ＜U0