Y,=Ae V2=Csin k,x+ Dcos k,x V3=Ee +h,x y1(-∞)有限→B W3(∞)有限 →E=0 因此 ∴1=A+x Y3 由波函数的连续性,有 U/0)=v2(0),→A=D v(O)=v2(0),→k1A=k2C w2(2a)=y3(2a), =k, Ccos 2k, a-k, Dsin 2k, a=-k Fe(6) w2(2a)=v3 (2a),=C sin 2k,a+Dcos 2k, a=Fe2-2k a (代入()Cm2k1a+Dcs2kC02+2Dm2 利用(4)、(5),得 26
26 k x k x k x k x Ee Fe C k x D k x Ae Be 1 1 1 1 3 2 2 2 1 sin cos + − + − = + = + = + ( ) 0 ( ) 0 3 1 = − = E B 有限 有限 因此 k x k x Fe Ae 1 1 3 1 − = = 由波函数的连续性，有 (2a) (2a), Csin 2k a Dcos 2k a Fe (7) (2a) (2a), k Ccos 2k a k Dsin 2k a k Fe (6) (0) (0), k A k C (5) (0) (0), A D (4) 2k a 2 3 2 2 2k a 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 − − = + = = − = − = = = = (7)代入(6) D k a k k C k a k k C k a D k a 2 1 2 2 1 2 2 2 sin2 + cos2 = − cos 2 + sin2 利用(4)、(5)，得
L-Asin 2K,a+ Acos 2 k, a=Acos 2k s/ on 2k,a A k L-isin 2k, a+ cos 2 k,a]=0 A≠0 k k2 )sin 2k2a+ 2 cos 2,a=o k1 两边乘上(-k2)即得 (k,-kisin 2k, a-2k,k, cos 2k,a=0 27
27 (k k )sin 2k a 2k k cos 2k a 0 ( k k ) )sin 2k a 2cos 2k a 0 k k k k ( A 0 )sin 2k a 2cos 2k a] 0 k k k k A[( Dsin 2k a k k Asin 2k a Acos 2k a Acos 2k a k k 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 − − = − − + = − + = + = − + 两边乘上 即得
28分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 <0 U0≤x<a, U(x) U1,a≤x≤b, 0,b 求束缚态的能级所满足的方程。 解:势能曲线如图示,分成四个区域求解。 定态S方程为 h- d- udr2vx)+U(x)y(x)=Ev(x) 对各区域的具体形式为 +U(x)M=E1(x<0) I:-v2+U0v2=Ev2(0≤x 方2 Ⅲ:-v3-U1v3=Ev3(a≤x≤b) 28
28 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 − = ， ， ， ， 0, , , 0 , 0 ( ) 1 0 b x U a x b U x a x U x 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = 对各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( 0) 2 1 1 1 2 − +U x = E x Ⅱ： (0 ) 2 2 0 2 2 2 − +U = E x a Ⅲ： ( ) 2 3 1 3 3 2 − −U = E a x b
h2 (b<x) 对于区域I,U(x)=∞,粒子不可能到达此区域,故 v(x)=0 而.V2 2(U-1 0 h2 y, 2H(U1+ 2HE 对于束缚态来说,有-U<E<0 v2-kv2=0 2(U。-E) vy3+k3=0 k 2(U1+E) v+k4v4=0 k2=-2E/h 各方程的解分别为 v2= Ae+ Be V3=Csin k,x+Dcosk,x Va= Eeg Fe- g 29
29 Ⅳ： 0 ( ) 2 4 4 2 − + = E b x 对于区域Ⅰ，U(x) = ，粒子不可能到达此区域，故 ( ) 0 1 x = 而 . 0 2 ( ) 2 2 0 2 = − − U E ① 0 2 ( ) 2 3 1 3 = + + U E ② 0 2 4 + 2 4 = E ③ 对于束缚态来说，有−U E 0 ∴ 0 2 2 2 − k1 = 2 2 0 1 2 ( ) U E k − = ④ 0 3 2 3 + k3 = 2 2 1 3 2 ( ) U E k + = ⑤ 0 4 2 4 + k4 = 2 2 4 k = −2E / ⑥ 各方程的解分别为 k x k x k x k x Ee Fe C k x D k x Ae Be 3 3 1 1 4 3 2 2 2 sin cos + − − = + = + = +
由波函数的有限性,得v(∞)有限,→E=0 Va=Fe 由波函数及其一阶导数的连续,得 v(0)=v2(0)→B=-A V2=A(e b,(a=v(a=A(e-e )=Sink, a+ Dot,a v(a)=v(a)→Ak(e+e)=Ck2osk2a-Dk2sink2a⑧ V3 (6)=V4(6)=Csn k, b+ Dcos k,b= Fe v(b)=vb)→Ck2sink2b-Dk2Cosk2b=-Fk3e→ Ccos k, a-Dcosk a 由⑦、⑧,得 k e+e (1) k2e-e- Csin k2 a+ dcos k,a 由回、⑩得(k2csk2bC-(k2sink2b)D=(-k3sink2b)C-(k3cosk2b)D cos,b+si,b)C=(-c0s,b+sik, b)D=0(12) 30
30 由波函数的有限性，得 ( ) 0 4 有限， E = ∴ k x Fe 3 4 − = 由波函数及其一阶导数的连续，得 1 (0) = 2 (0) B = −A ∴ ( ) 3 3 2 k x k x A e e − = − a a A e e C k a D k a k x k x 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) sin cos 3 3 = − = + − ⑦ a a Ak e e Ck k a Dk k a k a k a 3 3 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos sin 3 3 = + = − − ⑧ k b b b C k b D k b Fe 3 3 4 2 2 ( ) ( ) sin cos − = + = ⑨ k b b b Ck k b Dk k b Fk e 3 3 4 2 2 2 2 3 ( ) ( ) sin cos − = − = − ⑩ 由⑦、⑧，得 C k a D k a C k a D k a e e e e k k k a k a k a k a 2 2 2 2 2 1 sin cos cos cos 1 1 1 1 + − = − + − − (11) 由 ⑨、⑩得(k2 cosk2 b)C − (k2 sink2 b)D = (−k3 sink2 b)C − (k3 cosk2 b)D ( cos sin ) ( cos sin ) 0 2 2 3 2 2 2 3 2 + = − k b + k b D = k k k b k b C k k (12) 令 2 1 1 1 1 1 k k e e e e k a k a k a k a − + = − − ，则①式变为 ( sin cos ) ( cos sin ) 0 2 2 2 2 k a − k a C + k a + k a D =