24.证明(26-14)式中的归一化常数是A'= si(x+a),k<a ≥a 由归一化,得 1=Lla dx=l a2sin2m-(x+a)dr cOs—(x+ A,2a n丌 sm -(x+a) ∴归一化常数/1 16
16 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 = 证： + = x a x a x a a n A n 0, sin ( ), 由归一化，得 A a x a a n n A a A a x a dx a A n x A x a dx a n A x a dx a n dx A a a a a a a a a a a n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( ) 2 cos ( ) 2 2 [1 cos ( )] 2 1 1 sin ( ) = + = − + − = = − + = = + − − − − − ∴归一化常数 a A 1 =
25求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解:v(x) vvt axe 0(x)=(x)2=4a2a=x2e- 20 do, (x) 2a 2x-2ax'Je -a2x2 do,(x) 0,得 由O1(x)的表达式可知,x=0,x=±∞时,1(x)=0。显然不是最大几率的位置 d-o,(x)2a 而 [(2-6a2x2)-2a2x(2x-2a2x)e2 4 1-5a2x2-2a2x)e-2 丌 d2o1( 4a31 <0,可见x=± 是所求几率最大的位置 17
17 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 2 2 2 1 2 2 ( ) x x xe − = 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 4 x x x e x x x e − − = = = 2 2 [2 2 ] ( ) 2 2 3 3 1 x x x e dx d x − = − 令 0 ( ) 1 = dx d x ，得 x = x = x = 1 0 由 ( ) 1 x 的表达式可知， x = 0，x = 时， ( ) 0 1 x = 。显然不是最大几率的位置。 2 2 2 2 [(1 5 2 )] 4 [(2 6 ) 2 (2 2 )] ( ) 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 x x x x e x x x x e dx d x − − = − − 而 = − − − 0 4 1 2 ( ) 3 2 1 2 1 2 = − = dx e d x x ， 可见 = = 1 x 是所求几率最大的位置。 #
26在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U(-x)=U(x),证明粒子的定态波函数具 宇称 证:在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 d y(x)+U(x)y(x)=Ey(x) 将式中的x以(-x)代换,得h2d2 y(-x)+U(-x)(-x)=Ev(-x) 2u dx 利用U(-x)=U(x),得 h d y(-x)+U(x)(-x)=Ev( 比较①、③式可知,v(-x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写 的是同一个状态,因此v(-x)和v(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x>-x)而得其对方,由①经x--x反演,可得③, 由③再经一x→x反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的 v(x)=cy(x) ④乘⑤,得v(x)(-x)=cv(x(-x),可见,c2=1,所以c=±1 当C=+1时,v(-x)=v(x),→v(x)具有偶宇称, 当c=-1时,ψ(-x)=-v(x),→v(x)具有奇宇称, 18 当势场满足U(-x)=U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称
18 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(−x) = U(x) ，证明粒子的定态波函数具有确定的 宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = ① 将式中的 x以(−x) 代换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − − = − ② 利用U(−x) = U(x)，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − = − ③ 比较①、③式可知，(−x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写 的是同一个状态，因此(−x)和(x)之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 (x −x)而得其对方，由①经 x →−x反演，可得③， (−x) = c(x) ④ 由③再经− x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 (x) = c(−x) ⑤ ④乘 ⑤，得 (x) ( x) c (x) ( x) 2 − = − ， 可见， 1 2 c = ，所以 c = 1 当c = +1时， (−x) = (x)，(x)具有偶宇称， 当c = −1时， (−x) = −(x)，(x)具有奇宇称， 当势场满足 U(−x) = U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称
27一粒子在一维势阱中 U(x)= 0.>a ≤a 运动,求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程。 解:粒子所满足的S-方程为 V(x)+U(xy(x)=Eylx 2u dx 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为 35(x)+Uv1(x)=Ev1(x) 00<X<a h2 d Ⅱ v,(x)=Ey,(x) a≤x≤a 2u dx 2x3(x)+U3(x)=Ev(x) a<x<00 19
19 2.7 一粒子在一维势阱中 = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 运动，求束缚态( 0 0 E U )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = 按势能U(x) 的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 1 0 1 1 2 2 − + = − x a ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x E x dx d − = − a x a ② Ⅲ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 3 0 3 3 2 2 − + = a x ③
整理后,得 2(U0-E) 2uE 0 方2 2u(Uo-E 令k uUo-e kv1=0 v2-k2v2=0⑧ Ⅲ:v3-kv1=0 各方程的解为 V,=Ae+Be Y3- Trex. osk.x V2=Csn k, X+de 20
20 整理后，得 Ⅰ： 0 2 ( ) 2 1 0 1 = − − U E ④ Ⅱ：. 0 2 E 2 + 2 2 = ⑤ Ⅲ： 0 2 ( ) 2 3 0 3 = − − U E ⑥ 令 2 2 2 2 2 0 1 2 2 ( ) E k U E k = − = 则 Ⅰ： 0 1 2 1 − k1 = ⑦ Ⅱ：. 0 2 2 2 − k2 = ⑧ Ⅲ： 0 1 2 3 − k1 = ⑨ 各方程的解为 k x k x 3 2 2 2 k x k x 1 1 1 1 1 Ee Fe Csin k x Dcos k x Ae Be + − − = + = + = +