(2)J2=(v2Vv2-W2Vv) e (e" 2m r ar [-(--2+k-)-(--2-i)6 hk mI 可见,J2与F反向。表示向内(即向原点)传播的球面波 补充:设y(x)=e“,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化? .y*ur= dx=oo ∷波函数不能按(x)x=1方式归一化 其相对位置几率分布函数为 O=V2=1表示粒子在空间各处出现的几率相同
11 r mr k r mr k r r ik r r r ik m r r i e r r r e r e r r e m r i m i J ikr ikr ikr ikr 2 0 3 2 2 0 0 * 2 * 2 2 2 )] 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 [ 2 )] 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ 2 ( ) 2 (2) = − = − = − + − − − − = = − − − 可见， J r 2与 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx (x) = e ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ = = *dx dx ∴波函数不能按 ( ) 1 2 = x dx 方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 = = 表示粒子在空间各处出现的几率相同
23一粒子在一维势场 U(x)=0,0≤x≤a 0,x>a 中运动,求粒子的能级和对应的波函数 解:U(x)与无关,是定态问题。其定态S一方程 mdr(x)+U()u(x)=Ey(x) 在各区域的具体形式为 方2d V,(x)+U(x)y,(x)=Ey,(x) O 2m dx Ⅱ1:0≤x<a 2m dr2V2(x)=Ev2() 12
12 2.3 一粒子在一维势场 = x a x a x U x ， ， ， 0 0 0 ( ) 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：U(x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d m − + = 在各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 1 2 2 x U x x E x dx d m x − + = ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 2 x E x dx d m x a − = ②
Ⅲ:x>a 2m2如(x)+U(x)(x)=Ev3(x)③ 由于(1)、(3)方程中,由于U(x)=∞,要等式成立,必须 v(x)=0 v2(x)=0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 dv2(x) 2mE d x 方2%2()=0 令k2 2me d2v2(x)+k2v(y=0 其解为v2(x)= Asin kx+ Bcos kx 13
13 Ⅲ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 x U x x E x dx d m x a − + = ③ 由于(1)、(3)方程中，由于U(x) = ，要等式成立，必须 ( ) 0 1 x = ( ) 0 2 x = 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 + x = mE dx d x 令 2 2 2 mE k = ，得 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 + k x = dx d x 其解为 (x) Asin kx Bcoskx 2 = + ④
根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得 v2(0)=v1(0)⑤ v2(a)=v3(a)⑥ ⑤→B=0 ⑥→ asin ka=0 A≠0 →ka=n丌(n=1,2,3,…) v2(x)=As 由归一化条件 得 In del n丌 x*Sn“xax 14
14 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 (0) (0) 2 =1 ⑤ ( ) ( ) 2 3 a = a ⑥ ⑤ B = 0 ⑥ Asin ka = 0 ( 1, 2, 3, ) sin 0 0 = = = k a n n k a A ∴ x a n x A ( ) sin 2 = 由归一化条件 ( ) 1 2 = x dx 得 sin 1 0 2 2 = a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m = 2 sin sin
→A 2.n丌 V2( 2me h2 →E2h2 n(n=123…)可见E是量子化的 2ma 对应于En的归一化的定态波函数为 n丌 0≤x<a yn(x,t)=va x<a. x>a 15
15 x a n a x a A sin 2 ( ) 2 2 = = 2 2 2 mE k = ( 1,2,3, ) 2 2 2 2 2 = n n = ma En 可见 E 是量子化的。 对应于 En 的归一化的定态波函数为 = − x a x a x e x a a n x t a E t i n n 0, , sin , 0 2 ( , )