华东师范大学：《高等数值分析（高性能计算/并行计算）》课程教学资源（讲义）06 线性方程组直接法并行计算

华东师范大学数学科学学院 目录页 School of Mathematical Sciences,ECNU Contents LU分解 2 LU分解并行计算 3 三角线性方程组的并行求解 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan

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华东师范大学数学科学学院 目录页 School of Mathematical Sciences,ECNU Contents LU分解 ■ LU分解算法 U分解 ■ 部分选主元LU分解算法 2 LU分解并行算法 3 三角方程并行求解 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan

目录页 Contents http://math.ecnu.edu.cn/~jypan  LU 分解算法 1  部分选主元 LU 分解算法 2 LU 分解 LU分解并行算法 1 LU 分解 3 三角方程并行求解 华东师范大学 数学科学学院 School of Mathematical Sciences, ECNU

LU分解 定理(LU分解的存在性和唯一性)设A∈R”xn.则存在唯一的单位下 三角矩阵L和非奇异上三角矩阵U,使得A=LU的充要条件是A的 所有顺序主子矩阵Ak=A(1:k,1:k)都非奇异，k=1,2,.,n. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4

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LU分解 LU分解的实现一矩阵初等变换 给定一个矩阵 a11a12··a1m a21a22···a2m A= ∈Rnxn an1am2···ann」 ·第一步：假定a11卡0，构造矩阵 100·0 l2110.…0 L1= l3101.0 其中l1= a1,i=2,3,n. a11 . Lln100·1 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5

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LU分解 易知L1的逆为 100.·07 -l2110…0 L1= -l3101.0 -ln100…1 用L1左乘A,并将所得到的矩阵记为A1),则 a11a12·a1m 0 (1) (1) A(1)=LIA 022 ···02n : 0 (1) (1) an2 即左乘L11后，A的第一列中除第一个元素外其它都变为0. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6

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