重点课程运筹学案例集 表10短工的费用（元人年） 不熟练 半熟练 熟练 500 400 400 每个短工的工作量相当于正常工作的一半。 问题1：如果公司的目标是尽量减少辞退人员。试提出相应的招工和培训计划。 问题2：如果公司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少 多少？而辞退的人员将会增加多少 第6页共66页
重点课程运筹学案例集 第 6 页 共 66 页 表 10 短工的费用（元/人年） 不熟练 半熟练 熟练 500 400 400 每个短工的工作量相当于正常工作的一半。 问题 1：如果公司的目标是尽量减少辞退人员。试提出相应的招工和培训计划。 问题 2：如果公司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少 多少？而辞退的人员将会增加多少？
重点课程运筹学案例集 案例6炼油厂的优化问题 炼油厂购买两种原油（原油1和原油2），这些原油经过四道工序处理：分馏、重整、裂 化和调和 得到油和煤油用于销售。 1. 分馏将每一种原油沸点不同分解为轻石脑油，中石脑油，重石脑油，轻油，重油和残油。 轻、中、重石脑油的辛烷值分别是90,80和70，每桶原油可以产生的各种油分如下表： 表11原油分馏得到的油分（桶/桶） 轻石脑 中石脑油重石脑油轻油重油 残油 原油1 0.100.20 0.20 0.12 0.20 0.13 原油20.150.250.180.080.190.12 在分馏过程中有少量损耗。 2.重整 石脑油可以直接用来调合不同等级的汽油 也可以进入重整过程。重整过程产生辛烷值 为115的重整汽油，不同的石脑油可以得到重整汽油为： 表12石油脑经过重整后提到的重整汽油（桶/桶） 轻石脑油 中石脑油 重石脑油 重整汽油■ 0.6 052 0.45 3.裂化 轻油和重油可以直接经调合产生航空煤油，也可以经过催化裂化过程产生裂化油和裂化 汽油，裂化汽油辛烷值为105，轻油和重油裂化产生的产品如下： 表13轻油重油裂化产生的产品（桶/桶） 裂化油 裂化汽油 轻油 0.68 0.28 重油 075 020 裂化油可以用于调合成煤油和航空煤油，裂化汽油可以用于调合成汽油。残油可以用于 生产润滑油或用于调合成航空煤油或煤油， 桶残油可以产生5.5桶润滑 4.调合 (1)汽油（发动机燃料） 有两种类型的汽油，普通汽油和高级汽油，这两种汽油都可以用石脑油、重整汽油和裂 化汽油调合得到。普通汽油的辛烷值必须不低于84。而高级汽油的辛院俏必须不低手94。我 门假定，调合成的汽油的辛烷值与各成分的辛烷值及含量成线性关系 航空煤油 航空煤油可以用汽油、重油，裂化油和残油调合而成。航空煤油的蒸气压必须不超过每 平方厘米1公斤，而轻油，重油，裂化油和残油的蒸气压如表14。 表14各种油品的蒸气压（公斤/平方厘米） 轻油重油 裂化油■ 残油 蒸气压.00.61.5 0.05 可以认为，航空煤油的蒸气压与各成份的蒸气压及含量成线性关系。 (3)煤油 煤油由轻油，裂化油，重油和残油按10：4：3：1调合而成。各种油品的数量及处理能 : (A)每天原油1的可供应量为20,000桶： (B)每天原油2的可供应量为30,000桶： (C)每天最多可分馏45,000桶原油： 第7页共66页
重点课程运筹学案例集 第 7 页 共 66 页 案例 6 炼油厂的优化问题 炼油厂购买两种原油（原油 1 和原油 2），这些原油经过四道工序处理：分馏、重整、裂 化和调和，得到油和煤油用于销售。 1. 分馏 分馏将每一种原油沸点不同分解为轻石脑油，中石脑油，重石脑油，轻油，重油和残油。 轻、中、重石脑油的辛烷值分别是 90，80 和 70，每桶原油可以产生的各种油分如下表： 表 11 原油分馏得到的油分（桶/桶） 轻石脑油 中石脑油 重石脑油 轻 油 重油 残油 原油 1 0.10 0.20 0.20 0.12 0.20 0.13 原油 2 0.15 0.25 0.18 0.08 0.19 0.12 在分馏过程中有少量损耗。 2. 重整 石脑油可以直接用来调合不同等级的汽油，也可以进入重整过程。重整过程产生辛烷值 为 115 的重整汽油，不同的石脑油可以得到重整汽油为： 表 12 石油脑经过重整后提到的重整汽油（桶/桶） 轻石脑油 中石脑油 重石脑油 重整汽油 0.6 0.52 0.45 3．裂化 轻油和重油可以直接经调合产生航空煤油，也可以经过催化裂化过程产生裂化油和裂化 汽油，裂化汽油辛烷值为 105，轻油和重油裂化产生的产品如下： 表 13 轻油重油裂化产生的产品（桶/桶） 裂化油 裂化汽油 轻油 0.68 0.28 重油 0.75 0.20 裂化油可以用于调合成煤油和航空煤油，裂化汽油可以用于调合成汽油。残油可以用于 生产润滑油或用于调合成航空煤油或煤油，一桶残油可以产生 5.5 桶润滑油。 4．调合 （1） 汽油（发动机燃料） 有两种类型的汽油，普通汽油和高级汽油，这两种汽油都可以用石脑油、重整汽油和裂 化汽油调合得到。普通汽油的辛烷值必须不低于 84，而高级汽油的辛烷值必须不低于 94，我 们假定，调合成的汽油的辛烷值与各成分的辛烷值及含量成线性关系。 （2） 航空煤油 航空煤油可以用汽油、重油，裂化油和残油调合而成。航空煤油的蒸气压必须不超过每 平方厘米 1 公斤，而轻油，重油，裂化油和残油的蒸气压如表 14。 表 14 各种油品的蒸气压（公斤/平方厘米） 轻油 重油 裂化油 残油 蒸气压 1．0 0．6 1.5 0．05 可以认为，航空煤油的蒸气压与各成份的蒸气压及含量成线性关系。 （3） 煤油 煤油由轻油，裂化油，重油和残油按 10：4：3：1 调合而成。各种油品的数量及处理能 力： （A）每天原油 1 的可供应量为 20，000 桶； （B）每天原油 2 的可供应量为 30，000 桶； (C）每天最多可分馏 45，000 桶原油；
重点课程运筹学案例集 (D)每天最多可重整10,000桶石脑油： (E)每天最多可裂化处理8,000桶： ()每天生产的润滑油必须在500桶到1,000桶之间： (G)高级汽油的产量必须是普通汽油产量的40%。 各种产品的利润如表15所示。 表15各种最终产品的利润（元/桶） 高级汽油普通汽油航空煤油 油 润滑油 利润☐0.7 0.6 0.4 0.350.15 问恩：应如何制定炼油厂的生产计划，以得到最大利润。 为了清楚地表示整个炼油过程的工艺过程，用下图表示炼油厂的生产流程 汽高级汽油， 轻石油脑 重 普通汽油 原油1 中石油脑 合 重石油脑广装 置 原油2 重油 →煤航空汽油→ 油 煤油 润滑油装置 第8页共66页
重点课程运筹学案例集 第 8 页 共 66 页 (D) 每天最多可重整 10，000 桶石脑油； (E) 每天最多可裂化处理 8，000 桶； (F) 每天生产的润滑油必须在 500 桶到 1，000 桶之间； (G) 高级汽油的产量必须是普通汽油产量的 40%。 各种产品的利润如表 15 所示。 表 15 各种最终产品的利润（元/桶） 高级汽油 普通汽油 航空煤油 煤油 润滑油 利润 0．7 0．6 0．4 0．35 0．15 问题：应如何制定炼油厂的生产计划，以得到最大利润。 为了清楚地表示整个炼油过程的工艺过程，用下图表示炼油厂的生产流程。 汽 高级汽油 油 轻石油脑 重 调 普通汽油 原油 1 分 中石油脑 整 合 馏 重石油脑 装 装 置 原油 2 置 轻油 裂 重油 化 装 煤 航空汽油 残 置 油 油 调 煤油 合 润滑油装置 润滑油
重点课程运筹学案例集 案例7电信网中继电路应配数的估算方法及其分析 一、问颗的提出 电信 :继电路应配数（简称应配电路数）的估算方法是电信网运行管理中的 个重要问 题。如何利用网管系统采集到电路群的有关话务数据，根据电信网服务质量的要 ,米用 队论和话务理论的方法估算合理的应配电路数，这对于在保证一定的电信网服务质量水平条 件下，降低电信网运行成本，具有重要的实际意义。 在实际申信网行理程中，网铭管理人品利用现有的网管系统（如长途申话网的三期 网管系统)可采集到的去话电路群的忙时话务数据主费 武呼 占用次数N 成 次数Ns,应答次数N阳 平均占用时长T,平均通话是时长（或有效占用时长）T,完成话务 (或占用话务量)Ac和应答话务量（或有效话务量）Ae等。这些话务数据是估算应配电路数的型 出数据。 根据电路群的试呼溢出比大小，可把电信网应配电路数问题分为两类。第一类问题是实 一珍》绣的心悠定的资出比。这类问是配置的电路数多于实乐黄要的电路 算出应配电路数 应考虑适当减少原来配置的电路数， 以免浪费 电路 第二类问题是实际电路群的溢山比高于规定的溢出比，这类问题是配置的电路数少于实际需 要的电路数，采用合理方法估算出应配电路数后，应考虑适当增加原来配置的电路数，以保 证电信网的服务质量。 :、应电路数估算方法现状 1、第一类问题：实际电路群的溢出比低于规定的溢出比 对于这一类问题，由于实际电路群的溢出比低丁规定的溢出比，电路群的总试呼不存在 因电路阻塞而产生的重复试呼，因此，总试呼流可看成是泊松流。另外，试呼对电路的平均 占用时长服从负指数分布。所以，这类问题可看成是M/M/损失制、无限源标准服务系统， 可利用爱尔郎呼损公式确定电路群输入话务量、电路数和滋出比（或呼损率）三者之间的关系 肌 B-B(A, n 其中，A为输入话务量，n为电路数，B为溢出比（或呼损率）。 例如，2001年4月7日9一10时福州TS1长途局至闽清方向电路群的观测话务数据为： 总试呼次数N=652次，占用次数NC=650次，成功次数Ns=554次，应答次数NE=395次平 均占用时长Tc=144.89秒.平均通话是时长（或右效占用时长）=212.63秒 根据上述观测话务数据，可知，在所选的观测时段内 该方向电路群的溢出比很小，仅 为(652 -650)/652=0.003。小于规定的出比0.005。因此属本案例的第一类问题 此外，由观测到的话务数据输入话务量为A=652*144.89/3600=26.24(爱尔朗)若取斯 定的溢出比为0.005，则查爱儿朗呼损表可得，根据规定的溢出比为0.0O5和观测到的话务 数据，该方向电路群的应配电路数为39条（每线约0.67爱尔朗）。当然，在实际确定某一方 对于这一类问题，由于实际电路群的溢出比高于规定的溢出比，电路群的总试呼中存在 因电路群阻塞而产生的重复试呼，因此，总试呼流不能看成是泊松流。在实际电信网网络调 整时，通常采用如下方法计算电路群的等效泊松流输入话务量。这种方法选自原电部【自 动长途局间电路群设置标准和路由选择规则】（暂行规定），它认为电路群的等效泊松流输入 话务量A由完成话务量AC和损失话务量A两部分组成，即 A=A十A 其中，A按如下公式估算 第9页共66页
重点课程运筹学案例集 第 9 页 共 66 页 案例 7 电信网中继电路应配数的估算方法及其分析 一、问题的提出 电信网中继电路应配数(简称应配电路数)的估算方法是电信网运行管理中的一个重要问 题。如何利用网管系统采集到电路群的有关话务数据，根据电信网服务质量的要求，采用排 队论和话务理论的方法估算合理的应配电路数，这对于在保证一定的电信网服务质量水平条 件下，降低电信网运行成本，具有重要的实际意义。 在实际电信网运行管理过程中，网络管理人员利用现有的网管系统(如长途电话网的三期 网管系统)可采集到的去话电路群的忙时话务数据主要有：总试呼次数 N，占用次数 Nc，成功 次数 Ns，应答次数 NE，平均占用时长 Tc，平均通话是时长(或有效占用时长)TE，完成话务量 (或占用话务量)Ac 和应答话务量(或有效话务量)Ae 等。这些话务数据是估算应配电路数的基 础数据。 根据电路群的试呼溢出比大小，可把电信网应配电路数问题分为两类。第一类问题是实 际电路群的溢出比低于规定的溢出比，这类问题是配置的电路数多于实际需要的电路数，采 用合理方法估算出应配电路数后，应考虑适当减少原来配置的电路数，以免浪费电路资源； 第二类问题是实际电路群的溢山比高于规定的溢出比，这类问题是配置的电路数少于实际需 要的电路数，采用合理方法估算出应配电路数后，应考虑适当增加原来配置的电路数，以保 证电信网的服务质量。 二、应配电路数估算方法现状 1、第一类问题：实际电路群的溢出比低于规定的溢出比 对于这一类问题，由于实际电路群的溢出比低丁规定的溢出比，电路群的总试呼不存在 因电路阻塞而产生的重复试呼，因此，总试呼流可看成是泊松流。另外，试呼对电路的平均 占用时长服从负指数分布。所以，这类问题可看成是 M／M／n 损失制、无限源标准服务系统， 可利用爱尔郎呼损公式确定电路群输入话务量、电路数和溢出比(或呼损率)三者之间的关系。 即 B＝B(A，n) 其中，A 为输入话务量，n 为电路数，B 为溢出比(或呼损率)。 例如，2001 年 4 月 7 日 9—10 时福州 TSl 长途局至闽清方向电路群的观测话务数据为： 总试呼次数 N＝652 次，占用次数 Nc＝650 次，成功次数 Ns＝554 次，应答次数 NE＝395 次平 均占用时长 Tc＝144．89 秒，平均通话是时长(或有效占用时长)＝212．63 秒。 根据上述观测话务数据，可知，在所选的观测时段内，该方向电路群的溢出比很小，仅 为(652—650)／652＝0．003。小于规定的溢出比 0.005。因此属本案例的第一类问题。 此外，由观测到的话务数据输入话务量为 A=652*144．89／3600＝26.24(爱尔朗)若取规 定的溢出比为 0．005，则查爱儿朗呼损表可得，根据规定的溢出比为 0．005 和观测到的话务 数据，该方向电路群的应配电路数为 39 条(每线约 0．67 爱尔朗)。当然，在实际确定某一方 向电路群的电路数时还要考虑到电路的双向性和话务量发展的需要。 2、第二类问题：实际电路群的溢出比高于规定的溢出比 对于这一类问题，由于实际电路群的溢出比高于规定的溢出比，电路群的总试呼中存在 因电路群阻塞而产生的重复试呼，因此，总试呼流不能看成是泊松流。在实际电信网网络调 整时，通常采用如下方法计算电路群的等效泊松流输入话务量。这种方法选自原邮电部【自 动长途局间电路群设置标准和路由选择规则】(暂行规定)，它认为电路群的等效泊松流输入 话务量 A 由完成话务量 Ac 和损失话务量 AL 两部分组成，即 A＝AC 十 AL 其中，AL 按如下公式估算
重点课程运筹学案例集 /损失呼叫次数N*t,/3600 01 损失呼叫次数N1.5t:/3600 0.1<K<0.15 A= 损失呼叫次数N*2t/3600 15<K<0. 损失呼叫次数N*3t:/3600 0.2<K<0.25 \损失呼叫次数N,*4tz/3600 K>0.25 其中，K为应答试呼比，t:为没有应答试呼的平均占用时长，通常取15一20秒。 上述计算方法是一种近似计算方法，在实际应用过程中有较大误差。如1998年12月北 京至太原某 路群的某 忙时实测话务数据为总试 数N 8742次，溢出试呼次 N=11313次，溢出比B=0.6036,Ac=126.2爱尔朗，平均占用时长tc=61.14秒，平均 通话时长为te=154.14秒，应答试呼比K=0.1216,应答占用比a=0.3067。 根据上述公式和实测话务数据，可求得损失话务量为（取t2=20秒） A.=94.28爱尔朗 所以，等效泊松流输入话务量为 A=Ac十A=126.2十94.28=220. 查爱尔朗呼损表，可得在满足溢出比0.005条件下的应配电路数约为251条。但实践表 明按这种方法估算的电路应配数通常多于实际需要数。 三、应配电路数的改讲估算方法 按上述方法估算的电路应配数通常多于实际需要数，这表明等效泊松流输入话务量的估 算值偏大。 放 入话务量等于完成话务量与损失话务量之和。完成话务量是观测 由此可见，等效泊松流输入话务量的估算值偏大的原因是由于损失话务量的估算方法不适当 造成的。为此，我们提出如下估算损失话务量的方法。这种方法认为，在所有溢出试呼中， 由于重复试呼的存在，溢出试呼分为两类，第一类为初次溢出试呼，第二类为重复溢出试呼， 面复进出试呼是由于知次浩试呼造成的，只有初次治出武呼才是直正意义的损失试呼。因 此损失话务量可按如下公式计算： A=初次溢出试呼次数*平均占用时长tc =(总溢出试呼次数/)*平均占用时长tc 其中，m为用户初次试呼阻塞时，平均重复试呼的次数。通常取m=4一5次。 按这一方法，利用上面的同样数据，可求得损失话务量为 A.=11313/4 61.14)/3600=42.7爱尔朗。 A=168.9爱尔朗 查爱尔朗呼损表，可得在满足溢山比0.05条件下的应配电路数约为195条。但实践表 明，按这种方法估算的电路应配数通常还是多于实际需要数。这是为什么呢？ 四、应配电路数估算方法的进一部讨论 从罗辑上分析上述应配申路数的改讲估算方法总合理的，但为什么还是有问颗呢？ 通过对电路群调整前后的实测话务数据进行分析后，我们了解到，关键问题出在电路 调整前后的平均通话时长发生了较大变化。如还是以我们上面讨论的北京至太原的电路群为 例，当电路群调整后，其溢出比降到0.005左右时，平均通话时长从调整前的154.14秒降 到112.5秒，平均占用时长则从61.14秒降到48.4秒。这一因素是我们以前没有考虑到。在 考虑这一因素后，可估算出申路群调整后可能的输入话务量为 A[(总损失试呼次数M/m)+占用试呼次数]*平均占用时长t [(11313/4.5)+18742-11313]*48.4/3600=99.9爱尔朗 查爱尔朗呼损表，可得在满足溢出比0.005条件下的应配电路数约为131条。其结果与 前面计算的结果差别是明显的。实践表明，按这种计算方法确定的应配电路数与实际需求数 是比较一致的。 第10页共66页
重点课程运筹学案例集 第 10 页 共 66 页 ／损失呼叫次数 NL*t2／3600 K＜0．1 损失呼叫次数 NL *l．5t2／3600 0．1＜K＜0．15 AL＝ 损失呼叫次数 NL*2t2／3600 0．15＜K＜0．2 损失呼叫次数 NL*3t2／3600 0. 2＜K＜0．25 ＼损失呼叫次数 NL*4t2／3600 K＞0．25 其中，K 为应答试呼比，t2 为没有应答试呼的平均占用时长，通常取 15—20 秒。 上述计算方法是一种近似计算方法，在实际应用过程中有较大误差。如 1998 年 12 月北 京至太原某一电路群的某一忙时实测话务数据为总试呼次数 N＝18742 次，溢出试呼次数 NL=ll313 次，溢出比 B＝0．6036，Ac＝126．2 爱尔朗，平均占用时长 tc＝61．14 秒，平均 通话时长为 tE＝154．14 秒，应答试呼比 K＝0．1216，应答占用比 a＝0．3067。 根据上述公式和实测话务数据，可求得损失话务量为(取 t2＝20 秒) AL＝94．28 爱尔朗 所以，等效泊松流输入话务量为 A＝Ac 十 AL＝126．2 十 94．28＝220．48 查爱尔朗呼损表，可得在满足溢出比 0．005 条件下的应配电路数约为 251 条。但实践表 明按这种方法估算的电路应配数通常多于实际需要数。 三、应配电路数的改进估算方法 按上述方法估算的电路应配数通常多于实际需要数，这表明等效泊松流输入话务量的估 算值偏大。等效泊松流输入话务量等于完成话务量与损失话务量之和。完成话务量是观测值， 由此可见，等效泊松流输入话务量的估算值偏大的原因是由于损失话务量的估算方法不适当 造成的。为此，我们提出如下估算损失话务量的方法。这种方法认为，在所有溢出试呼中， 由于重复试呼的存在，溢出试呼分为两类，第一类为初次溢出试呼，第二类为重复溢出试呼， 重复溢出试呼是由于初次溢山试呼造成的，只有初次溢出试呼才是真正意义的损失试呼。因 此损失话务量可按如下公式计算： AL＝初次溢出试呼次数 NOl*平均占用时长 tc ＝(总溢出试呼次数 NL／m)*平均占用时长 tc 其中，m 为用户初次试呼阻塞时，平均重复试呼的次数。通常取 m＝4—5 次。 按这一方法，利用上面的同样数据，可求得损失话务量为 AL＝(11313／4．5*61．14)/3600＝42．7 爱尔朗。 A＝168．9 爱尔朗 查爱尔朗呼损表，可得在满足溢山比 0．005 条件下的应配电路数约为 195 条。但实践表 明，按这种方法估算的电路应配数通常还是多于实际需要数。这是为什么呢? 四、应配电路数估算方法的进一部讨论 从逻辑上分析上述应配电路数的改进估算方法是合理的，但为什么还是有问题呢? 通过对电路群调整前后的实测话务数据进行分析后，我们了解到，关键问题出在电路群 调整前后的平均通话时长发生了较大变化。如还是以我们上面讨论的北京至太原的电路群为 例，当电路群调整后，其溢出比降到 0.005 左右时，平均通话时长从调整前的 154．14 秒降 到 112.5 秒，平均占用时长则从 61.14 秒降到 48.4 秒。这一因素是我们以前没有考虑到。在 考虑这一因素后，可估算出电路群调整后可能的输入话务量为 A=[(总损失试呼次数 NL／m)+占用试呼次数]*平均占用时长 tc ＝[(11313／4.5)+18742-11313]]*48.4／3600＝99.9 爱尔朗。 查爱尔朗呼损表，可得在满足溢出比 0.005 条件下的应配电路数约为 131 条。其结果与 前面计算的结果差别是明显的。实践表明，按这种计算方法确定的应配电路数与实际需求数 是比较一致的