3随机变量函数的数学期望 定理411:设X是随机变量,Y=g(X,且E(g(X存在,则; (1)若x为离散型PX=xn}=pn=1,2,,有E(8(X)=∑(x,)n (2若x为连续型随机变量X1x)则E(g(X)=8(x)f(x) 思考: E(ag(X)+b=aE(g(X))+b 例41.2.设随机变量X的概率分布为X|0 求E(X2+2) P1/21/414 解:E(X2+2)=(02+2)×12+(12+2)×14+(22+2)×1/4 =1+3/4+6/4=13/4
3.随机变量函数的数学期望: 定理4.1.1:设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P{X=xn }=pn ,n=1,2,...,有 = n E g X g xn pn ( ( )) ( ) (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则 + − E(g(X)) = g(x) f (x)dx 例4.1.2.设随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 求E(X P 1/2 1/4 1/4 2+2). (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4 =1+3/4+6/4=13/4 解: E(X2+2)= 思考: E(ag(X)+b)=aE(g(X))+b ?
例413(973)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8点的第X分钟到达底层侯机处,且X在[0,60上均匀分 布,求该游客等侯时间的数学期望。 60 解:由题意得X~f(x)=160 ∈|0,60 g(x)dx 0其它 60 25 设Y表示旅客候车时间,则 (5-x)dx+.(25-x)c 60 5-X 0<X 60 +1,(55-x)x+(65-x)dl 25X5<X<25, 25 Y=g(X)= 5 5<X≤55, (125+200+450+375) 60 65-X55<X<60 1167(分) E(Y=E(g(X)=g(x)f(x)dx
例4.1.3 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处，且X在[0，60]上均匀分 布，求该游客等侯时间的数学期望。 解:由题意得:X~ = 0 其它 [0,60] 60 1 ( ) x f x 设Y表示旅客候车时间, 则 Y=g(X)= 0<X≤5, 5<X≤25, 25<X≤55, 55<X≤60. E(Y)=E(g(X))= + − g(x) f (x)dx = 60 0 ( ) 60 1 g x dx + − + − = − + − 6 0 5 5 5 5 2 5 5 0 2 5 5 (55 ) (65 ) ] [ (5 ) (25 ) 60 1 x dx x dx x dx x dx (12.5 200 450 37.5) 60 1 = + + + =11.67(分) 5-X 25-X 55-X 65-X
定理412设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E|g(XY)存在, (1)若X,Y)为离散型随机向量PX=x,Y=y}=p=1,2…),则 Eg(X,Y)=∑∑g(x1,y)P (2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)(x2y),则 0+oO eig(X,,,, I ∫∫ g(x,y)∫(x,y)dd
= i j E g X Y g xi y j pi j [ ( , )] ( , ) 定理4.1.2 设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在, (1)若(X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi ,Y=yj }=pij ,(i,j=1,2…),则 (2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则 + − + − E[g(X,Y )] = g(x, y) f (x, y)dxdy
例4.14随机变量(X,Y)y)=g+y0<x<20<2 解应用定理42EB(,∥=B一它 求EX,EY,E(X2),E(XY) g(x, y)f(x, y)dxdy ++ E(X)= oo-00 f(x,y)dxdy=S x(x+y)dxdy=7/6 oO E(X2)= x2f(x,y)dcd小= x2(x+y)tc=5/3 8 同理由对称性:E(Y)=Ju(x,y)dd=76EY=58 E(Xn ∫ (xy)f(, y)dxdy xy(x+y)dxdy=4/3 8
例4.1.4.随机变量(X,Y)~f(x,y)= + 0 其 它 ( ) 0 2 0 2 8 1 x y x y 求EX,EY,E(X2 ),E(XY) 解:应用定理4.1.2: + − + − E(X) = xf (x, y)dxdy + − + − E[g(X,Y )] = g(x, y) f (x, y)dxdy = + 2 0 2 0 ( ) 8 1 x x y dxdy =7/6 = + 2 0 2 0 2 ( ) 8 1 x x y dxdy =5/3 同理由对称性: =7/6 EY2=5/3 + − + − E(X ) = x f (x, y)dxdy 2 2 + − + − E(Y) = yf (x, y)dxdy + − + − E(XY) = (xy) f (x, y)dxdy = + 2 0 2 0 ( ) 8 1 xy x y dxdy =4/3
4.几种重要的离散型分布的数学期望 (1)、参数为p的0-1分布: X 0 1-p EX p 2)、二项分布 EX=np (3)、 Possion分布 概率分布为Px=m=,-2(m=0,2, EX=入
4.几种重要的离散型分布的数学期望 X 0 1 P 1-p p (1)、参数为p的0-1分布: EX=p； (2)、二项分布 EX=np (3)、.Possion分布 概率分布为 ( 0,1,2, , , ), ! { } e m n m P X m m = = = − EX=λ