x-x y-Vo 切线方程FF G GGG_GG 20 y 法平面方程为 fF y x-no+ G. G (y-J)+ (z-d0)=0 G.G x 例2求曲线x2+y2+x2=6,x+y+z=0在 点(1,-2,1)处的切线及法平面方程 解1直接利用公式 解2将所给方程的两边对x求导并移项,得
切线方程 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 − + − + z − z = G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z 例 2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ，x + y + z = 0在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式; 解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得
中y,d z-x y;十z 中y,dz x-y dx dx y-3 d 1,-2.1 (1,-2,1) 由此得切向量T={1,0,-1}, 所求切线方程为 x-1y+2z-1 法平面方程为(x-1)+0·(y+2)-(z-1)=0, →x-z=0
+ = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − = 0, (1, 2, 1) = − dx dy 1, (1, 2, 1) = − dx − dz 由此得切向量 T = {1, 0,−1}, 所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x − 1) + 0 ( y + 2) − (z − 1) = 0, x − z = 0
二、曲面的切平面与法线 I。设曲面方程为 x,y,z)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 「x=y() r:{y=v(t), z=a( 曲线在M处的切向量T={y(40,y(t0),O'(t), 令n={F(x0,y,),F(x,y,z,F2(x0,y
二、曲面的切平面与法线 Ⅰ。设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) : = = = z t y t x t n T M 曲线在M处的切向量 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = t t t 令 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z