3.6.23.6.13.6.3Taylor多项式Taylor公式证明只要注意到f(）-Tn（Co;）及其直至n阶的导数当一→Co时都是无穷小量这个事实，然后在计算极限f(ac) -Tn(aco; α)lim(α - co)nC→0的过程中连续使用LHospital法则，即可完成证明特别，如果函数f在=0附近n阶导数，定理2中取ao=0,则Taylor公式为f(0)f(n)(0)f(α) = f(0) +α"+o(α"),a→0c+1!n!并称之为函数f（a）的n阶具有Peano余项的Maclaurin公式（或展开式）返回全屏关闭退出6/27
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª y² 5¿ f(x) − Tn(x0; x) 9Ù n ê x → x0 , Ѵáþù¯¢, ,3O4 lim x→x0 f(x) − Tn(x0; x) (x − x0) n L§¥ëY¦^ L’Hospital {K, =¤y². AO, XJ¼ê f 3 x = 0 NC n ê, ½n 2 ¥ x0 = 0, K Taylor úª f(x) = f(0) + f 0 (0) 1! x + · · · + f (n) (0) n! x n + o(x n ), x → 0 ¿¡¼ê f(x) n äk Peano { Maclaurin úª£½Ðmª¤. 6/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Taylor公式3.6.13.6.23.6.3Taylor多项式定理3设函数f(α)在区间I内有n+1阶导数，且n阶导数在I上连续设 和 &o是I中任意两个不同的数,Tn(ao;c）是f在 ao处的 n阶Taylo1多项式。则在和Co之间存在一个数，使得f(αc) = Tn(co; α) + Rn公式中的余项Rn具有下列形式f(n+1)(E)o)n+1Rn:C-(n + 1)!其中Rn称为Lagrange余项，而上面这个公式称为带Lagrange余项的Tayloi公式.或者说f（）在点处可以表示成f(n+1)(≤)f(n) (co)f'(co)(α-co)n+1f(α) = f(co) +-o+.co1!n!(n + 1)!返回全屏关闭退出7/27
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª ½n 3 ¼ê f(x) 3«m I Sk n + 1 ê, n ê3 I þëY. x Ú x0 ´ I ¥?¿üØÓê, Tn(x0; x) ´ f 3 x0 ? n Taylor õª. K3 x Ú x0 m3ê ξ, ¦ f(x) = Tn(x0; x) + Rn úª¥{ Rn äke/ª Rn = f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x0) n+1 , Ù¥ Rn ¡ Lagrange {, þ¡ùúª¡ Lagrange { Taylor úª. ½ö` f(x) 3 x :?±L«¤ f(x) = f(x0)+f 0 (x0) 1! (x−x0)+· · ·+ f (n) (x0) n! (x−x0) n+ f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x−x0) n+1 . 7/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.13.6.2Taylor公式3.6.3Taylor多项式证明 考虑函数 G(a) = (n+)(α - ao)n+1 和f(k)(co)R(α) = f(α) -ZTok!k=0显然有G(co) = G'(co) = ... = G(n)(co) = 0,R(co) = R(co) = ... = R(n)(co) = 0,反复应用Cauchy中值定理，知在ao与a之间存在S1,S2，···，Sn，使得R(n+1)(E)R(α)R'($1)R(α) - F(co)G(α)G(n+1)()G'(≤1)G(α) - G(αco)于是f(n+1)(E)R(α)(c-ao)n+11(n+1)!即,f(n+1)(E))n+1R(c) Co(n + 1)!返回全屏关闭退出II-8/27
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª y² ļê G(x) = 1 (n+1)!(x − x0) n+1 Ú R(x) = f(x) − X n k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k , w,k G(x0) = G0 (x0) = · · · = G(n) (x0) = 0, R(x0) = R0 (x0) = · · · = R(n) (x0) = 0, EA^ Cauchy ¥½n, 3 x0 x m3 ξ1, ξ2, · · · , ξn, ξ ¦ R(x) G(x) = R(x) − F(x0) G(x) − G(x0) = R0 (ξ1) G0(ξ1) = · · · = R(n+1)(ξ) G(n+1)(ξ) . u´ R(x) (x−x0) n+1 (n+1)! = f (n+1)(ξ) 1 , =, R(x) = f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x0) n+1 . 8/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1Taylor多项式Taylor公式3.6.23.6.3定理4设函数f(c)在区间I内有n+1阶导数，且n阶导数在I上连续设和&o是I中任意两个不同的数,Tn(ao;c）是f在o处的n阶Taylor多项式，则对于任意一个在以Co和&为端点的闭区间的上连续，在其内部可导且导数不等于零的函数(α),都存在和o之间的一个数,使得 (a) = T,(c0 ) 2(a) ~2() (+1()(α -t)".(3.2)p'(s)n!证明在以o和&为端点的闭区间J上考虑辅助函数f'(t)f(n)(t)F(t) = f(α) -f(t) -t)+1!n!返回全屏关闭退出9/27
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª ½n 4 ¼ê f(x) 3«m I Sk n + 1 ê, n ê3 I þëY. x Ú x0 ´ I ¥?¿üØÓê, Tn(x0; x) ´ f 3 x0 ? n Taylor õª. Kéu?¿3± x0 Ú x à:4«mþëY, 3ÙSÜ êØ u"¼ê ϕ(x), Ñ3 x Ú x0 mê ξ, ¦ f(x) = Tn(x0; x) + ϕ(x) − ϕ(x0) ϕ0(ξ)n! f (n+1)(ξ)(x − ξ) n . (3.2) y² 3± x0 Ú x à:4«m J þÄ9ϼê F(t) = f(x) − f(t) + f 0 (t) 1! (x − t) + · · · + f (n) (t) n! (x − t) n . 9/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ