T1∑yl1→[a2(W()2-a2]=(W(1)2-1) ∑yL,是OD的。∑y12是O2(72)的。所以当T→∞时, pim()=pm(1+41,/y2 可见是B=1的一致估计量 由(410)式、(411)式和(4.13)式,当T→∞时, yr (1/2)H(1)2-1 Tw(di (B-1)是Op(T-)的 0.0 0.06 0 -20 7=100,模拟1万次的r(B-1)的分布 T(B-1)是检验单位根的一个常用统计量。有三个结论如下: (1)由上式知B是On(T1)的。由(410)式知,当y平稳时,B是O(T-)的。所 以前者的收敛速度更快。β以速度T接近真值β=1,所以称β是β=1的超一致估计量。 (2)T(B-1)的极限分布是标准维纳过程的函数。它不服从正态分布,也不服从t分布 (3)因为T(β-1)不服从t分布,所以假设检验时不能查t临界值表 检验单位根的另一个统计量是统计量。统计量在这里称DF统计量。当r →∞
6 T -1 = − T t t ut y 1 1 2 1 [ 2 (W(1) ) 2 - 2 ] = 2 2 (W(1) 2 – 1). (4.13) = − T t t ut y 1 1 是 Op(T)的。 = − T t t y 1 2 1 是 Op (T 2 )的。所以当 T → 时， plim( ˆ ) = plim(1 + 2 1 2 1 2 1 1 y T u y T T t t T t t t = − = − ) → 1 可见 ˆ 是 =1 的一致估计量。 由(4.10)式、(4.11) 式和 (4.13) 式，当 T → 时， T ( ˆ - 1) = = − − = − − T t t T t t t T y T u y 1 2 1 2 1 1 1 W i di W − 1 0 2 2 ( ) (1/ 2)[ (1) 1] ( ˆ - 1) 是 Op (T -1 )的。 -30 -20 -10 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 T=100，模拟 1 万次的 T ( ˆ - 1)的分布 T ( ˆ - 1)是检验单位根的一个常用统计量。有三个结论如下： （1）由上式知 ˆ 是 Op(T –1 )的。由 (4.10) 式知，当 yt 平稳时， ˆ 是 Op(T –1 /2 )的。所 以前者的收敛速度更快。 ˆ 以速度 T 接近真值 = 1，所以称 ˆ 是 = 1 的超一致估计量。 （2）T( ˆ - 1)的极限分布是标准维纳过程的函数。它不服从正态分布，也不服从 t 分布。 (3) 因为 T( ˆ - 1) 不服从 t 分布，所以假设检验时不能查 t 临界值表。 检验单位根的另一个统计量是 ) ˆ ( t 统计量。 ) ˆ ( t 统计量在这里称 DF 统计量。当 T → 时
siB) baodi DF统计量是O(1)的,其渐近分布与σ无关 由于该极限分布无法用解析的方法求解,一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF统 计量的有限样本分布 有限样本条件下的DF统计量的分布特征(蒙特卡罗模拟结果)。 表1 DF分布百分位数衰 生成过程 和估计式 0.010.0250050.100.900.950.9750.99 2.26-1.95 0.921.331.702.16 2.2 1.951.610.91 311.66208 情形1100-2602241.951.610901.291.64203 2.231.951.620.891291.63201 数据生成过程(DGP):y=y+1=0,B~ID(O,a2),OLS估计式:y1=1-1+ T=100,模拟1万次的DF统计量的分布结果 1000 -0482977 Minimum 059540 Skewness 0.250905 Jarque-Bera 109. 8776 Probabil 0.000000 3.75-250-1250001.252.503.75 (file: 5simudf1 情形2: 数据生成过程(DGP):y=y1+t,y=0,t~ID(0,a2) (4.1) OLS估计式:y1=a+1+u1 (4.16) H:a=0;B=1;H1;a≠0;B<1 讨论(、1的极限分布和有限样本分布特征。统计量()=DF、(a)的极限分布都 是 Wiener过程的泛函。可以证明,当T→∞时 IW(1)2-1-W()W()dhi w()di-lLw( 推导见 Hamilton《时间序列分析》(17436)式。DF统计量是O(1)的。 a2)不再服从t分布。la)的极限分布是 Wiener过程的泛函
7 W i di W s DF t − − = = 1 0 2 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ( ( )) [( (1)) 1] 2 1 1 ˆ (4.15) DF 统计量是 Op(1 )的，其渐近分布与 无关。 由于该极限分布无法用解析的方法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究 DF 统 计量的有限样本分布。 有限样本条件下的 DF 统计量的分布特征（蒙特卡罗模拟结果）。 表 1 DF 分布百分位数表 生成过程 T 和估计式 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25 - 2.66 - 2.26 - 1.95 - 1.60 0.92 1.33 1.70 2.16 50 - 2.62 - 2.25 - 1.95 - 1.61 0.91 1.31 1.66 2.08 情形 1 100 - 2.60 - 2.24 - 1.95 - 1.61 0.90 1.29 1.64 2.03 250 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.29 1.63 2.01 500 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 注：数据生成过程（DGP）：yt = yt-1 + ut, y0 = 0, ut IID(0, 2 )，OLS估计式： t t ut y = y −1 + 。 T=100，模拟1万次的DF统计量的分布结果。 0 200 400 600 800 1000 1200 -3.75 -2.50 -1.25 0.00 1.25 2.50 3.75 Series: DF Sample 1 10000 Observations 10000 Mean -0.403611 Median -0.482977 Maximum 3.710184 Minimum -4.059540 Std. Dev. 0.996819 Skewness 0.250905 Kurtosis 3.109055 Jarque-Bera 109.8776 Probability 0.000000 （file：5simudf1） 情形 2： 数据生成过程（DGP）：yt = yt-1 + ut, y0 = 0, ut IID(0, 2 ) (4.1) OLS 估计式： t t ut y = + y −1 + (4.16) H0： = 0； = 1； H1： 0； 1 讨论 ) ˆ ( t 、 ( ˆ) t 的极限分布和有限样本分布特征。统计量 ) ˆ ( t = DF、 ( ˆ) t 的极限分布都 是 Wiener 过程的泛函。可以证明，当 T → 时， 2 1 0 1 0 2 1 0 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ( ( )) [ ( ) ] [( (1)) 1] (1) ( ) 2 1 1 ˆ − − − − = = W i di W i di W W W i di s DF t 推导见 Hamilton《时间序列分析》（17.4.36）式。DF 统计量是 O(1 )的。 ( ˆ) t 不再服从 t 分布。 ( ˆ) t 的极限分布是 Wiener 过程的泛函
W()w()2di-[(W(1)2-lW(n)dh t(a) Ga统计量是o(1)的。(推导见张晓峒,攸频:DF检验式中漂移项和趋势项的t统计量研 究,《数量经济技术经济研究》,2006,2,p,126-137。) 有限样本条件下的DF统计量的分布特征(蒙特卡罗模拟结果)。 表2 DF分布百分位数表 生成过程 和估计式 0.010.0250050.100.900.950.9750.99 3.33 2.630.37 0.34 50-3.583.22-293-2 0.29 0.66 情形2 3.513.172.892.580.420.050.260.63 2.57-0.42-0.060.240.62 5003.443.13-2.872.570.430.070.240.61 注:数据生成过程(DGP):y=y1+m110=0,t~ID(0,a2),OLS估计式:y=a+v-1+l1 7=100,模拟1万次的DF统计量的分布结果 Mean 1.531341 Maximum 1934342 0.131914 arque- Bera 74.10418 robability 0.000000 3.75-250-1250.00125 (file: 5simu-dn2) 表3 估计式y=a+1-1+v中1(a的分布(糗拟5万次) CV0005CV0.025 CV0.05 CV095CV0.975Cv0.995 303.71607298201-2641942.510202864673.56780 3.57894-2912532.583412528262887223.58953 100-347011-285596-2.549972558332885393.50376 -3.44065-2.853782.544702.57503290392 56663 200 -3429022824712529792.546312877993.56599 .37406-2.823172533742.540352884943.56644 注:( M. Fileunitrootl02) 注:数据生成过程为y=y1+l,l~ⅢD(O,1)。OLS估计式:yr=a+1-1+u T=100条件下,l(a)的分布见图
8 = ( ˆ) ( ˆ) ˆ s t − − − 1 0 2 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 2 ( ( )) [ ( ) ] ( ( )) [( (1)) 1] ( ) 2 1 (1) ( ( )) W i di W i di W i di W W i di W W i di ( ˆ) t 统计量是 Op(1 )的。（推导见张晓峒，攸频：DF 检验式中漂移项和趋势项的 t 统计量研 究，《数量经济技术经济研究》，2006,2, p,126-137。） 有限样本条件下的 DF 统计量的分布特征（蒙特卡罗模拟结果）。 表 2 DF 分布百分位数表 生成过程 T 和估计式 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25 - 3.75 - 3.33 - 3.00 - 2.63 - 0.37 0.00 0.34 0.72 50 - 3.58 - 3.22 - 2.93 - 2.60 - 0.40 - 0.03 0.29 0.66 情形 2 100 - 3.51 - 3.17 - 2.89 - 2.58 - 0.42 - 0.05 0.26 0.63 250 - 3.46 - 3.14 - 2.88 - 2.57 - 0.42 - 0.06 0.24 0.62 500 - 3.44 - 3.13 - 2.87 - 2.57 - 0.43 - 0.07 0.24 0.61 - 3.43 - 3.12 - 2.86 - 2.57 - 0.44 - 0.07 0.23 0.60 注：数据生成过程（DGP）：yt = yt-1 + ut, y0 = 0, ut IID(0, 2 )，OLS估计式： t t ut y = + y −1 + 。 T=100，模拟1万次的DF统计量的分布结果。 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -5.00 -3.75 -2.50 -1.25 0.00 1.25 Series: DF Sample 1 10000 Observations 10000 Mean -1.531341 Median -1.555245 Maximum 1.934342 Minimum -5.380393 Std. Dev. 0.867661 Skewness 0.131914 Kurtosis 3.329006 Jarque-Bera 74.10418 Probability 0.000000 （file：5simu-df2） 表 3： 估计式 t t t y = + y + v −1 中 ( ˆ) t 的分布（模拟 5 万次） T CV0.005 CV0.025 CV0.05 CV0.95 CV0.975 CV0.995 30 -3.71607 -2.98201 -2.64194 2.51020 2.86467 3.56780 50 -3.57894 -2.91253 -2.58341 2.52826 2.88722 3.58953 100 -3.47011 -2.85596 -2.54997 2.55833 2.88539 3.50376 150 -3.44065 -2.85378 -2.54470 2.57503 2.90392 3.56663 200 -3.42902 -2.82471 -2.52979 2.54631 2.87799 3.56599 250 -3.37406 -2.82317 -2.53374 2.54035 2.88494 3.56644 注：(M.File:unitroot02) 注：数据生成过程为 yt = yt-1 + ut , ut IID(0, 1)。OLS 估计式： t t ut y = + y −1 + T = 100 条件下， ( ˆ) t 的分布见图
Series: DRIFT Sample 1 10000 Mean 0000423 4.278126 Skewness -0.002115 Jarque-Bera 554 2285 robability 0.000000 (file: 5: 情形3: 数据生成过程(DGP):y=a+y1+t,a是否为零均可,y=0,l~ID(0,a2) OLS估计式:y1=a+1-1++l1 (4.17) 为防止α不为零时从而使估计式引入时间趋势项,导致解释变量多重共线性,等价的 OLS估计式是 yI yt+ur 其中,a*=(1-B)x,*=B,y*=y+Bo Hn:a=ao;B=1;y=0。相当于:H:a=0;P=1;y2=ao f<1;y≠0 讨论DF=、l(a)、()的极限分布和有限样本分布特征。可以证明,当T→∞时, 12F 其中 v(idi l/2 w(idi w(o-di l/2 ()d1/3 推导见 Hamilton《时间序列分析》(17455)式。DF统计量是O(1)的,其渐近分布既不依 赖于α,也不依赖于σ。 a),l()服从的是如下极限分布。 w(O-di t:→ 其中F1和F2都是 Wiener过程的泛函。la),G)统计量是O(1)的,其渐近分布既不依赖于
9 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -5.0 -2.5 0.0 2.5 Series: DRIFT Sample 1 10000 Observations 10000 Mean 0.000423 Median -0.028121 Maximum 4.278126 Minimum -4.938927 Std. Dev. 1.713000 Skewness -0.002115 Kurtosis 1.846687 Jarque-Bera 554.2285 Probability 0.000000 （file：5simu-df2） 情形 3： 数据生成过程（DGP）：yt = + yt-1 + ut, 是否为零均可，y0 = 0, ut IID(0, 2 ) OLS 估计式： t t ut y = + y −1 +t + (4.17) 为防止 不为零时从而使估计式引入时间趋势项，导致解释变量多重共线性，等价的 OLS 估计式是 t t ut y = *+ * y −1 *+ *t + 其中， * = (1− ), * = ,* = + H0： = 0； = 1； = 0。相当于：H0：* = 0；* = 1；* = 0 H1： 0； 1； 0 讨论 DF= ) ˆ ( t 、 ( ˆ) t 、 ( ˆ) t 的极限分布和有限样本分布特征。可以证明，当 T → 时， − = = ) ˆ ( ) ˆ ( 1 ˆ s DF t A 12F2 其中 F2= ( (1) 1) 24 1 (1) ( ) 2 1 (1) ( ) 6 1 2 1 0 1 0 − + − W W i di W iW i di W + − 2 1 0 1 0 1 0 [ ( ) ] 2 1 W (i)di iW(i)di W i di A = 1/ 2 ( ) 1/ 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1/ 2 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 iW i di W i di W i di iW i di W i di 推导见 Hamilton《时间序列分析》（17.4.55）式。DF 统计量是 Op(1 )的，其渐近分布既不依 赖于，也不依赖于。 ( ˆ) t , ( ˆ) t 服从的是如下极限分布。 t ( ˆ) 2 1 0 1 0 2 1 ( ( )) [ ( ) ] 3 1 A W i di − W i di F t ( ˆ) 2 1 0 1 0 2 3 ( ( )) [ ( ) ] A W i di − W i di F 其中 F1 和 F2 都是 Wiener 过程的泛函。 ( ˆ) t , ( ˆ) t 统计量是 Op(1 )的，其渐近分布既不依赖于
也不依赖于 有限样本条件下的DF统计量的分布特征(蒙特卡罗模拟结果)。 表 DF分布百分位数表 生成过程 0.025 0.05 0.950.9750.99 4.383.953.60-3.24-1.140.800.500.15 18-1.190.87-0.58 情形3 4.04 0.28 0.92-0.64 3.41 注:数据生成过程:y=1+1=0,m~ⅢDO,a2),OLS估计式:y1=a*+B*y1-1*+y*t+ T=100,模拟1万次的DF统计量的分布结果 Observations 10000 2.177181 2.164688 0.76774 Kurtosis Probability (file: 5simu-df3) 有限样本条件下的ta分布的估计结果见表4 表5: 估计式y2=a+例7-1++中1(a)的分布(模拟5万次) Cv0.005CV0.025Cv0.05Cv0.95Cv0.975Cv0.995 07560-3.321382928162.800003.194623.99269 -394834-3.25371-2.864652.832573.198083.87910 100 -3.85926-3.17450-2815062870253217653.83482 503.760033098512774222895 3.260193.90150 200 3.76003-3.106292771772.89391325672390993 3.749543.105822771192914743299413.95097 注:( M. File unitroot01) T=100,模拟1万次的ta)分布见图
10 ，也不依赖于。 有限样本条件下的 DF 统计量的分布特征（蒙特卡罗模拟结果）。 表 4 DF 分布百分位数表 生成过程 T 和估计式 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25 - 4.38 - 3.95 - 3.60 - 3.24 - 1.14 - 0.80 - 0.50 - 0.15 50 - 4.15 - 3.80 - 3.50 - 3.18 - 1.19 - 0.87 - 0.58 - 0.24 情形 3 100 - 4.04 - 3.73 - 3.45 - 3.15 - 1.22 - 0.90 - 0.62 - 0.28 250 - 3.99 - 3.69 - 3.43 - 3.13 - 1.23 - 0.92 - 0.64 - 0.31 500 - 3.98 - 3.68 - 3.42 - 3.13 - 1.24 - 0.93 - 0.65 - 0.32 - 3.96 - 3.66 - 3.41 - 3.12 - 1.25 - 0.94 - 0.66 - 0.33 注：数据生成过程：yt = yt-1 + ut, y0 = 0, ut IID(0, 2 )，OLS估计式： t t ut y = *+ * y −1 *+ *t + 。 T=100，模拟1万次的DF统计量的分布结果。 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Series: DF Sample 1 10000 Observations 10000 Mean -2.177181 Median -2.164688 Maximum 0.814376 Minimum -5.444336 Std. Dev. 0.767743 Skewness 0.005023 Kurtosis 3.399799 Jarque-Bera 66.64172 Probability 0.000000 （file：5simu-df3） 有限样本条件下的 ( ˆ) t 分布的估计结果见表 4。 表 5： 估计式 t t ut y = + y −1 +t + 中 ( ˆ) t 的分布（模拟 5 万次） T CV0.005 CV0.025 CV0.05 CV0.95 CV0.975 CV0.995 30 -4.07560 -3.32138 -2.92816 2.80000 3.19462 3.99269 50 -3.94834 -3.25371 -2.86465 2.83257 3.19808 3.87910 100 -3.85926 -3.17450 -2.81506 2.87025 3.21765 3.83482 150 -3.76003 -3.09851 -2.77422 2.89550 3.26019 3.90150 200 -3.76003 -3.10629 -2.77177 2.89391 3.25672 3.90993 250 -3.74954 -3.10582 -2.77119 2.91474 3.29941 3.95097 注：(M.File:unitroot01) T =100，模拟 1 万次的 ( ˆ) t 分布见图