18微波技术基础示。此即传输线的电路模型；线元等效为集总元件构成的『型或T型网络；实际的传输线则表示为各线元等效网络的级联，如图2.1-1）、（c）所示。2.传输线方程（1）一般传输线方程(z, )HD(z, t)i(z, t)(z+, t)YYYY++L,4zR,zC,A (*+, 1)(z,t),z4.图2.1-2线元&的集总参数等效电路及其电压、电流定义如图2.1-2所示线元&z的集总参数等效电路，按照泰勒级数(Taylor'sseries）展开，忽略高次项，有a(2.24z(z+ Nz, t) = (z, t) +aaza(z, 1)(z +Az, ) = (z, t) + sNaz则线元z上的电压、电流的变化（减小）为(z, 1z(2,t) (z+ Az, ) =-dz(z,t)i(z, 0) -(z + Az. ) =42az应用基尔霍夫定律（Kirchhoff'slaw），得到(z, t)n(z, t)=RN·2,)+z.azataaP = Gs (a, 0) + Cs. g?aza令Az0，便得到方程(z, t)a(2,t)- R(2, t) -)dza(2. 1 - 1)(z, 1)(z, t)Gw(z, t) -Gaza此即一般传输线方程，又称电报方程（telegraghequation），是一对偏微分方程，式中的r和
第二章传输线理论19既是空间（距离z）的函数，又是时间的函数。其解析解的严格求解不可能，一般只能作数值计算，作各种假定之后，可求其解析解。（2）时谐均匀传输线方程a，时谐传输线方程对于常用的分布参数R，、LI、C,和G不随位置变化的均匀传输线稳态情况，式（2.1-1）可以简化。此时电压和电流可用角频率@的复数交流形式表示为(z, ) - Re(V(z)ear)(2. 1 - 2)i(z, t) = Re(l(z)eia)代入式（2.1-1)可得时谐传输线方程：dv(z)(R + jL)I(2) =-ZI(z)dz(2. 1 - 3)di(z)- (G + jC))V(z) =-Y,I(z)dz式中(2.1 - 4)Z=R+joLYiGr+jaC(2. 1 - 5)分别称为传输线单位长度的串联阻抗和并联导纳。b.电压、电流的通解为求解式（2.1-3），对再微商一次，得到方程dv(a)ZYV(2)=0dz2(2.1- 6)de1(z)(2)= 0dz2定义电压传播常数=Z=R+aL(G+C)(2.1-7)则方程(2.1-6)变成dv(2)- V(z) = 0dz2(2. 1 ~ 8)P1(2)rI(2) = 0dz电压解为V(z) = Are-r + Azer(2.1 -9a)电流解可由式(2.1~3)第一式求得，即有1dV(2)1(2) :Aer)(2. 1 - 96)(Ae)=R, + jaldz20式中R, +joLZo(2. 1 ~ 10)VG+jaC
微波技术基础20C。电压、电流的定解解式(2.1~9)中的常数A,和A2可由传输线的端接条件确定。如图2.1~3所示，端接条件有三种：终端条件、始端条件、信号源和负载条件。lft20++vV.Va.β,z,Z1Sd:-0图2.1-3传输线的端接条件①终端条件解：这是最常用的情况。此时已知终端的电压V，和电流1t，代入式(2.1-9)，得到V(t)=V=Ae-x+AzewI(1) =h=(Are-w -- A2e")由此求得li+IZoenAs = Vt- lizo-xA=22代回解式（2.1-9），得到解为Ir+Zoon)+VhZo-u-)V(2) 22Vi+hZooxi-V-IZo1(2) =t220270换用坐标d=1一2，则解为V(d) = V t Iizen + z-1202a(2. 1 - 11)(d) =+liZo _Vr-IZo22n2Z0用双曲函数可表示为(d)=Vrchd+ltZoshd(2. 1 - 12)sh+ lhrch yI(d)一Z写成矩阵形式为ch wZe sh yav(d)sh id(2.1 -13)ch yd(d)I.Z②始端条件解：
第二章传输线理论21此时已知始端的电压V。和电流1o，解为1(2) = Vo ± lz20e + Vo= lo20n22(2. 1 - 14)1(2) ot(20e-n _ Vo= 1Zen2Zm270③信号源和负载条件解：此时已知信号源电动势Ea、内阻抗2和负载阻抗Zz，由信源端条件和负载端条件导出的代数方程确定常数A和A2，代入解式(2.1-9)可求得解为erwBeZy(d) =Ze + Zo'i-IrFoe-(e" + re-")(2.1 - 15)e-xBa1a) = z 1- re-α(ex - Te")式中张三级，1a=张三级fZ + ZoZ+Zo上述三种解形均说明，一般情况下，传输线上的电压和电流是由从信号源向负载传播的入射波和从负载向信号源传播的反射波的叠加，呈行驻波混合分布，3.传输线的特性参数在上面求解传输线方程的过程中得到的Z和，直接与传输线的分布参数有关，称为传输线的特性参数。（1）特性阻抗2Z%传输线上行波的电压与电流之比定义为传输线的特性阻抗（characteristicimpedance），用Zo表示；其倒数为传输线的特性导纳（characteristicadmittance），用r。表示。由通解（2.1-9），得到特性阻抗的一般表示式为R+j0L(2.1 - 10)ZmVG+jaC可见特性阻抗通常是个复数，与工作频率有关：如下两种特殊情况，特性阻抗与频率无关仅由传输线本身的分布参数决定，且为纯电阻：a.无耗线此时R;=G=0，则得LZo =-(2. 1 - 16)VCb.微波低耗线此时有R<L，Gi《Ci，则R+joL层(1+)(1+)八=20 =CVG+o层(1+)(1)-1
22微波技术基础[+（盘是】层(2.1 -17)双导线的特性阻抗为()-120 n B+Zo = 120 In (2.1 ~18)同轴线的特性阻抗为9~in Zo =(2 1 - 19)平行板传输线的特性阻抗为凯Zg =(2. 1 - 20)（2）传播常数传播常数（propagationconstant）y是描述导行波沿导行系统传播过程中的衰减和相位变化的参数，通常为复数：y=VR+jaL)(G+jaCi)=a+(2. 1 - 21)式中，α为衰减常数（attenuationconstant），单位为Np/m或dB/m(1Np=8.686dB）；β为相位常数（phaseconstant），单位为rad/m。一般是频率的复杂函数，对于无耗和微波低耗情况，其表示式十分简单：a.无耗线此时R=Gi=0，V=joVC，因此得到a=0(2. 1 - 22)BLGb.微波低耗线此种情况下，R<wln，G,《wCr，则(1+)(1 +α)y=VR+juL)(G+joC)=Vju)LCiV[1+1+G2j0L2jaC)如V[+(盘+岛)(层+层)+g因此得到层-R+G0=/5+0(2. 1 -23a)a+a2V1+2Vc22mB-WVLG(2. 1 -235)式中，4二R1/2Z表示由单位长度分布电阻决定的导体衰减常数；α=G2%/2表示由单位长度满电导决定的介质衰减常数