、微分方程式的建立 (一)弹簧一质量一阻尼器系统 E 图2-1表示一个弹簧质量 阻尼器系统 力f(t)作 用时,系统产生位移y 要求写出系统在外力f(作 用下的运动方程式。f(t)是 M 系统的输入,y(是系统的 输出。列出的步骤如下: (1)运动部件质量用M表示 r(t) (2)列出原始方程式。根 据牛顿第二定律,有 图2-1弹簧一质量一阻尼器系统
一、微分方程式的建立 （一）弹簧—质量—阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧—质量— 阻尼器系统。当外力f (t)作 用时，系统产生位移y(t)， 要求写出系统在外力f (t)作 用下的运动方程式。f (t)是 系统的输入，y(t)是系统的 输出。列出的步骤如下： （1）运动部件质量用M表示. （2）列出原始方程式。根 据牛顿第二定律，有： 图2-1 弹簧—质量—阻尼器系统
f(t)-f()-f2(t)=M dt 式中f1()阻尼器阻力; ∫2(1)弹簧力。 (3)f()和f2(为中间变量,找出它们与其它因素的 关系。阻尼器阻力与运动方向相反,与运动速度成正 比,故有: f(1)=B(t) (2.2) dt 式中B一阻尼系数 设弹簧为线性弹簧,则有: f2(D)=Ky() 式中K弹性系数
（3）f 1 (t)和f 2 (t)为中间变量，找出它们与其它因素的 关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正 比，故有： 2 1 2 2 d ( ) ( ) ( ) d y f t f t f t M t − − = 式中 f 1 (t)——阻尼器阻力； f 2 (t)——弹簧力。 (2.1) (2.2) 1 d ( ) ( ) d y t f t B t = 式中B —— 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f 2 (t) = Ky(t) (2.3) 式中 K—— 弹性系数
(4)将式(22)和式(23代入式(2.1),得系统的微 方程式 d2+B9 Mu(t dt+ Ky(t)=f(t) 式中M、B、K均为常数,此机械位移系统为线性定 常系统。 式(24)还可写成 Mdy0+B90+y0)=10(243) K B K K 则有 d2y+)、y+y)=f()(24b) dt dt K
（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分 方程式 : 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定 常系统。 式(2.4)还可写成: 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d y t y t M B Ky t f t t t + + = (2.4) (2.4a) 2 2 d ( ) d ( ) 1 ( ) ( ) d d M y t B y t y t f t K t K t K + + = B B T K = 2 M M T K = 则有 (2.4b) 2 2 2 d ( ) d ( ) 1 ( ) ( ) d d M B y t y t T T y t f t t t K + + = 令