sin(ot):所以x(t)=e-a 二(ejapf-e-jeor2单边指数衰减信号x()=e-"(a>0,t≥0)的频谱密度函数为a-joX,(f)= f" x(t),e-jodt=J"e"e-jodt =a+joa+o根据频移特性和叠加性得：X(0)-[x(α-0)-x(@+0)]-[-10--/0+)]2ja+(0-0)~a+(+0)2j0[α? -(0? -02))2a0.0[a? +(-0)"[a? +(+0)]-[? +(-)"[a? +(+0)]X(0)(w)0W00指数衰减信号的频谱图1-7设有一时间函数()及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cos0t(の>のm）。在这个关系中，函数()叫做调制信号，余弦振荡cos.t叫做载波。试求调幅信号f(t)coso.t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又间：若の。<の时将会出现什么情况？)4F(o)oT0m00-0m图1-27题1-7图
( ) 0 0 0 1 sin( ) 2 j t j t t e e j − = − 所以 ( ) 0 0 1 ( ) 2 at j t j t x t e e e j − − = − 单边指数衰减信号 1 ( ) ( 0, 0) at x t e a t − = 的频谱密度函数为 1 1 2 2 0 1 ( ) ( ) j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a − − − − − = = = = + + 根据频移特性和叠加性得： 0 0 1 0 1 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 [ ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ][ ( ) ] a j a j X X X j j a a a a j a a a a − − − + = − − + = − + − + + − − = − + − + + + − + + 1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡 0 0 cos ( ) ω m t ω ω 。在这个关系 中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 0 cosω t 叫做载波。试求调幅信号 0 f t( )cosω t 的傅里叶变换，示意画 出调幅信号及其频谱。又问：若 ω0 ωm 时将会出现什么情况？ 0 0 X(ω) -π π φ(ω) ω ω 指数衰减信号的频谱图 图 1-27 题 1-7 图 ω F(ω) 0 f(t) 0 t -ωm ωm
解: x(t)= f(t)cos(ot)F(o)=F [f(t)cos(ot)f(t)ejerf(t)e-je)所以x(t)=根据频移特性和叠加性得：X(f)=F(0-0)+=F(0+0)22可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频00，同时谱线高度减小一半。X()-000of调幅信号频谱若<の将发生混叠。1-8求正弦信号x(t)=xsin(ot+)的均值μ、均方值和概率密度函数p(x)。解答：2元1x(t)dt =(1) μ,= lim -xsin(ot+)dt=0，式中T=正弦信号周期7202dt=2x~ r% 1-cos 2(o1+g),x sn2(o1+0)d=(2)-r(a=-TJTJo22(3)在一个周期内To = Af +A, = 2AtT_To-24P[x<x(0)≤x+△x]= lim -T TT。12 At-2 dtP[x<x(0)≤x+Ar]limp(x)= limAr-0AxAr-0 T △xT dx元/x?-x?
解： 0 x t f t t ( ) ( )cos( ) = F f t ( ) [ ( )] =F ( ) 0 0 0 1 cos( ) 2 j t j t t e e− = + 所以 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 j t j t x t f t e f t e− = + 根据频移特性和叠加性得： 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 X f F F = − + + 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 ω0，同时谱线高度减小一半。 若 ω0 ωm 将发生混叠。 1-8 求正弦信号 0 x t x ( ) sin( ) = + ωt φ 的均值 x μ 、均方值 2 ψx 和概率密度函数 p(x)。 解答： (1) 0 0 0 0 0 1 1 lim ( )d sin( )d 0 T T x T μ x t t x ωt φ t → T T = = + = ，式中 0 2π T ω = —正弦信号周期 (2) 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 cos 2( ) lim ( )d sin ( )d d 2 2 T T T x T x x ωt φ ψ x t t x ωt φ t t → T T T − + = = + = = (3)在一个周期内 T t t t x0 1 2 = + = Δ Δ 2Δ 0 0 0 2Δ [ ( ) Δ ] lim x x T T T t P x x t x x → T T T + = = = Δ 0 Δ 0 2 2 0 0 0 [ ( ) Δ ] 2 Δ 2 d 1 ( ) lim lim x x Δ Δ d P x x t x x t t p x x T x T x π x x → → + = = = = − f X(f) ω0 -ω0 调幅信号频谱
x(0)x+Arx正弦信号第二章测试装置的基本特性2-1进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即S=90.9(nC/MPa)×0.005(V/nC)×20(mm/V)=9.09mm/MPa。偏移量：1=Sx3.5=9.09x3.5=31.815mm。2-2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？11解：设一阶系统H(s)=H(@)TS+11+ jto11A(0)=H(0)T是输入的正弦信号的周期1+(t0)元稳态响应相对幅值误差8=A(）-1×100%，将已知周期代入得58.6% T=ls8 ~32.7% T = 2s8.5%T = 5s2-3求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t-45°)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。11解：H(の)=A(0)Φ(@)=-arctan(0.005)1+j0.0050/1+(0.005@)2该装置是一线性定常系统，设稳态响应为)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到()=yo1cos(10t+(pi)+yo2cos(100t-45°+@2)1×0.5~0.499,9,=(10)==arctan(0.005×10)~-2.86°其中 yo=A(10)xo1/1+(0.005×10)2
第二章 测试装置的基本特性 2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9nC/MPa，将它与增益为 0.005V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为 20mm/V。 试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为 3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量：y=S3.5=9.093.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s、2s 和 5s 的正弦信号，问稳态响应幅值 误差将是多少？ 解：设一阶系统 1 ( ) 1 H s s = + ， 1 ( ) 1 H j = + 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) A H T = = = + + ，T 是输入的正弦信号的周期 稳态响应相对幅值误差 = − A( ) 1 100% ，将已知周期代入得 58.6% 1s 32.7% 2s 8.5% 5s T T T = = = 2-3 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−45)通过传递函数为 H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳 态响应。 解： 1 ( ) 1 0.005 H j = + ， 2 1 ( ) 1 (0.005 ) A = + ， ( ) arctan(0.005 ) = − 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得 到 y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t−45+2) 其中 01 01 2 1 (10) 0.5 0.499 1 (0.005 10) y A x = = + ， 1 = = − − (10) arctan(0.005 10) 2.86 x(t) 正弦信号 x x+Δx Δt Δt t
1x0.2~0.179，P,=p(100)=-arctan(0.005×100)~-26.57yo2 = A(100)xo2 /1+(0.005×100)所以稳态响应为y(t)=0.499cos(10t-2.86°)+0.179cos(100t-71.57°)2-4气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5m/s的上升速度通过大气层。设温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为-1℃。试问实际出现-1℃的真实高度是多少？1解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为H(s)=温度随高度线性变化，对温度计来说相15s+1当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数-15s，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是15s以前的温度，所以实际出现-1℃的真实高度是H=H-V-3000-5x15=2925m2-5想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：设该一阶系统的频响函数为1H(0) =t是时间常数1+ jto1则A(0)=y1+(to)2稳态响应相对幅值误差8=A(0)-1×100%100%1+(2元f)令≤5%，f-100Hz，解得≤523us如果f=50Hz，则I11<100%=1.3%相对幅值误差：8=00%/1+(2元f)?/1+(2元×523×10-×50)相角差：()=-arctan(2元tf)=-arctan(2元×523×10-x50)~-9.332-6试说明二阶装置阻尼比多采用0.6~0.8的原因。解答：从不失真条件出发分析。在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。2-7将信号cOScot输入一个传递函数为H(s)=1(ts+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出()的表达式。s解答：令x(0)=cosot，则X(s)，所以52+021sY(s)= H(s)X(s)T$+1 $2+02利用部分分式法可得到111111Y(s) =1+(ot)12(1+ jto) s-jo2(1-jto)s+ joN利用逆拉普拉斯变换得到
02 02 2 1 (100) 0.2 0.179 1 (0.005 100) y A x = = + ， 2 = = − − (100) arctan(0.005 100) 26.57 所以稳态响应为 y t t t ( ) 0.499cos(10 2.86 ) 0.179cos(100 71.57 ) = − + − 2-4 气象气球携带一种时间常数为 15s 的一阶温度计，以 5m/s 的上升速度通过大气层。设温度按每升 高 30m 下降 0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在 3000m 处所记录的温 度为−l℃。试问实际出现−l℃的真实高度是多少？ 解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为 1 ( ) 15 1 H s s = + 。温度随高度线性变化，对温度计来说相 当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数=15s，如果不计 无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是 15s 以前的温度，所以实际出现−l℃的真实高度是 Hz=H-V=3000-515=2925m 2-5 想用一个一阶系统做 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，那么时间常数应 取多少？若用该系统测量 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为 1 ( ) 1 H j = + ，是时间常数 则 2 1 ( ) 1 ( ) A = + 稳态响应相对幅值误差 2 1 ( ) 1 100% 1 100% 1 (2 ) A f = − = − + 令≤5%，f=100Hz，解得≤523s。 如果 f=50Hz，则 相对幅值误差： 2 6 2 1 1 1 100% 1 100% 1.3% 1 (2 ) 1 (2 523 10 50) f − = − = − + + 相角差： 6 ( ) arctan(2 ) arctan(2 523 10 50) 9.33 f − = − = − − 2-6 试说明二阶装置阻尼比多采用 0.6~0.8 的原因。 解答：从不失真条件出发分析。在 0.707 左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲 线最接近直线。 2-7 将信号 cost 输入一个传递函数为 H(s)=1/(s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出 y(t)的表达式。 解答：令 x(t)=cost，则 2 2 ( ) s X s s = + ，所以 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 s Y s H s X s s s = = + + 利用部分分式法可得到 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 2(1 ) 2(1 ) 1 Y s j s j j s j s = − + + + + − − + + 利用逆拉普拉斯变换得到