条件 i) sup Ex=<∞, ⅱ)当n·∞时ES2→∞, S(n) (i)imEs:"=1关于k一致地成立 那么 ES2=nh(), 其中h(n)是缓变函数且它的定义域可延拓于R使得h(x)也是R 上的缓变函数若附设 (i)∑o(2)<∞, 那么ES2/n→a2>0 为证明定理2.].4,我们需要下述引理 引理2.1.1设{X,n≥1}是P混合序列,EX1=0.若定理 2.1.4的条件()被满足,那么对于自然数p,q,m当P+q=m时有 (1-p(n)(ES森m(p)十ESm+,(q))一C1≤ES(m) (2.1.12) ≤(1+p(n))(ES()十ES+p(q))+C 其中k和n是正整数且 C1=C(m,p,n)≤20m2-12on(‖S如m(p)‖2 +‖Sn+p(q)‖2) 进一步有 (2.1.13)(1-p(n))1‖S和(p)2≤‖Smn(m)‖2+C2, 其中C2≤2an 证由P混合的定义,我们有 (2.1.14)|E(Sm(p)+Sm+p+,(q))2-(E%m()十ESm++q)) ≤P()(ES知(p)十ESm+p+(q)) 注意到S++n(q)=Sm1p(q)S加m+p(n)+S*+1)m(n),我们得 (2.1.15) ES+p1n(q)=ES+(q)+61, 其中|61|≤2an.因此从(2.1.14)和(2.1.15)即得 (2.1.16)(1-p(n))(ES知()十E%m+p(q)+62) 18
≤E(Sm(中)十S棚m++n(q))2 ≤(1+p(n))(ES(p)+ESh+p(q)+2), 其中|62!≤4cn2+4dn|Sh+p(q)‖2.我们写 Sh-(m)=Sh()+Sm+)(n)十Sm+p+n(q)一Sa+1)m(n) 那么 (2.1.17)‖Sh(m)‖2=1S←()+Sm+p+n(q)|2+03, 其中|63≤2an,因此ESh(m)=E(S-(p)十S+,+n(q))2+日4, 其中|64≤1206n2+40n(HSh(p)‖2+‖S如++n(q)‖2) 把它代入于(2.1.16)中就得证(2.1.12),此时 max((1-P(n))82+64,}(1+0(n))82+4|) 207n2+12an(‖S(抄)‖2+‖S+(q)‖2) 关于(2.1.13)的证明,由(2.1.14)蕴含着 (1-p(n)ES(p)≤E(Sm(P)十S-+叶+n(q)2, 那么从(2.1.17)即得(2.1.13)成立 定理2.1.4的证明首先我们证明对任意正整数h (2.1.18) lim ESt/ES2= h 由(2.1.12)(令k=0,m=hn,p=(h-1)n,q=n,n=[(ES)1]), 我们有 (1-p(n))(ES3h-1m+ES-1n(n))一C。≤ESn ≤(1+p(n))(ES3-1n+ES-1)n(n))+C0, 其中C。=200n2+12on(‖S-1‖2+‖S-1n(n)|2).利用条件 (i)和(i),对h用归纳法即得(2.1.18)所以 h(n) 是一缓变函数.由下式来扩充它的定义域 h(t)= Este 我们来证明 (2.1.19) limh((l-E,n)/h(n)=1, 其中εn↓0且使nn是整数.由附录性质A4, (2.1.20) lin h(ne) h(n) 19
令hn=max(h:hnen<(1-E)n),注意到 Smn =S,-Shm(ne, )+Sme (p)-Sh me, +w(p), 其中p=n-(h十1)nEn≤nE由(2.1.13)(m=mEn,=hn和hn 1),我们有 lSn.n.‖2-1Sl2|≤S,m(nen)|2+ 1!2 (S,n(nen)‖2+S(hn+1)n(nen)‖2+4i), 其中取使得p(i)<1用S,‖2除上述不等式两边,并利用(ii) 和(2.1.20)就得(2.1.19)。对整数k>0存在n使对每一n≥nk 由于h(n)是缓变的,我们有 力(nk) (2.1.21) g 不失一般性,可设n关于k是严格增加的.令t>1,对整数n>0, 定义k=qn使得n≤n<n+1那么(2.1.21)蕴含着 (2.1.22) lim log( h(int] am)/h(nt))=0 令pn=1qn1].那么p=[k]k.因此由(2.121)也可推出 (2.1.23) lim log(h(nPn)/(n))=0. 另外,从(2.L.19)有 limh(int Ja,)/h(npn)= 它与(21.22)和(2.1.23)相结合就得 limb(nt)/h(n)=1 所以由附录性质A1就得证 h([x]) lIn tm h([x]) 现在我们来考察定理的第二部分·由(2.1.12)让m=2N,p q=N,n=[N3,我们有 (2.1.24) (1-p(N])(ES(N)+ES2x+1N(N)(1-aN) ≤ES(2N) 20
≤(1+p([N13]))(E5(N)+E2x+1(N))(1+aN), 其中 20GN23+12N13(‖S(N)‖2+‖Sa+1(N)‖ sup (1-p([N1/]))(ES(N)+ES2mN(N)) 且N充分大使当N≥N时p([N13])<1.条件()和(i)蕴含着 N2+N‖S‖2 S‖2 由附录的性质42,对任给0<E<1/6 lim N'eS3/N=∞ 因此(ES)1=O(N-1+),且进一步有 (2.1.25) ay=0(N-t+) 那么从(2.1.24),对整数r>P≥N,P([2])<1,有 (2126)Ⅱ(1-([2)(1-a2)∑ES2(2")≤ES ≤Ⅱ(1+([21)(1+a)∑ESa(2) 由条件(ⅳ),>P(22])<∞.另外,从(21.25)也有∑a(2) ∞.所以从(2.1.26)我们得 imEs/∑ES2(2)= 这样从条件(i)即得 imh(2)/h(2)=1, P 且进一步,h(2)收敛于…个正的常数.应用性质A3于h(t)和1/ h(t),就得h(n)与h(2)收敛于同一个极限.定理2.1.4证毕 对强平稳P混合序列,我们也有下列结果 定理2.1.5( Ibragimov1975)设{X,n≥1}是强平稳p混合 序列EX1=0,EK?<∞且∑(2)<.那么{Xn具有连续谱 密度且当f(0)≠0时
(2.1.27)(VarS,)=2rf(0)n+0(n),n→∞ 定理2.1.5的证明参见 Ibragimov和 Rozanav(1978)的引理 17.其证明概略是这样的:首先在条件∑p(2)<∞下证明{Xn) 具有一有界谱密度f(λ).然后证明 E()≤128maxf(4)∑(2-hn), 其中E(f)是指在[一丌,丌]上函数∫(4)用次数不超过n的三角多 项式最佳過近的误差,借助这一结果可知谱密度f(A是[-r,x] 上的连续函数.最后利用定理2.1.1即得(2.1.27)成立 2.2进一步的不等式 为证明关于混合序列的极限定理,除去§1.2中的基本不等 式以外,常常需要某些进一步的不等式 下述关于a混合序列的拓广 Octavian不等式是由林正炎 (1982)给出的.对随机变量序列{X,},记a=a(x;a≤i≤b) 引理2.2.I设{Xn,n≥1}是a混合序列.对任给正整数p,q 和k设分是驴路,可测的,=1,2…若 Pln+…+≤C}≥,!=1,…,-1, 那么 P{max|51+…+|>2C ≤2P{51+…+6>C}+2ka(q) 证设事件 A=P{mx1+…+5>2C}, BAA :+…+爿|>C}, 1}>2C}, maX |≤2C,11+…+>2C}, l=2