《高等传热学》课程教学资源（文献资料）考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解.pdf

第29卷第9期岩石力学与工程学报 Vol.29 No.9 2010年9月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sepm.,2010 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解夏才初1之，张国柱2，肖素光2 （山.可济大学地下建筑与工程系，上海200092：2可济大学岩士及地下工程教有部重点实验室，上海200092 清要：将隧道非齐次的瞬态传热分解为周期函数边界下的瞬态传热和恒温边界下的稳态传热，利用分离变量 Lp变换相结合的方法，求解有保温热层的率区腿道瞬之温度场的显式解析解。根据能量守恒，建立隧道内气体的气一固糯合传热模型，并获得润内气体年平均温度和温度振幅的显式解析解。村砌温度影响因素分析表明，随若隧道埋深和年平均气温的增加，二村内、外两侧的温度呈线性增加，当年平均气温低于0℃，季冻区说道埋深小于80m时，5cm厚隔热层很难单独满足防寒需求，应与主动供暖措施联合：随着隔热层厚度的增加，二村的度是增长势。增长速率却逐新减小，当隔执层厚度铝过5©m时，通过增加强执层厚度来提高电度要考虑其经济性。依据隧址区的气候及地形条件，采用工程类比和解析解相结合的方法分段计算隔热层厚度实测对比结果表明理论解端足工程精度要关键调：隧道工程：寒区隧道：温度场：解析解：隔热层厚度：分段计算中围分类号：U45 文献标识码：A 文童墙号：1000-6915201009-1767-07 ANALYTICAL SOLUTION TO TEMPERATURE FIELDS OF TUNNEL IN COLD REGION CONSIDERING LINING AND INSULATION LAYER XIA Caichu'2,ZHANG Guozhu2,XIAO Suguang!.2 1.Dep .3 Key Lab nd Ens clmical and 200092.China Abst heat co nduction for tunnel with nonhomogeneousou uction is tra med into both transient heat cond uction with convection bounda y cond on or al emperature changed with sinusoid and steady heat conduction.Using the separation of variables and Laplac transform technique can obtain analytical solution to temperature fields of tunnel with insulation layer in cold region.The analvtical solutions of the annual mean temperature and temperature amplitude can be obtained by energy conservation and experiential method considering heat conduction/convection between the tunnel ground and the air flow in the tunnel.Temperature of lining varies with both tunnel depth and annual mean temperature linearly.When the annual mean temperature is below oc and the tunnel depth is less than 80 m,5 cm thick insulation layer alone satisfy the anti-fre zing requi ements.As the in thickne of in linin P hickness of insul layer s more ha cm the inc e thickness of i sulat on t e the linir emperature is not economi The insula on thic ness can be cal lated by engineering analogy and analytica solution based on climate and terrain conditions with piecewise calculation.Accuracy of the analytical solution is examined by comparing the calculated results with measured results.It is found that the calculated values agree well with those measured in the field. 糖日期2010-01-19 作回日期2010-04-10 盖金项目：国家白然科学基主要从事随 1002016 Academic Jou al Eleetronie Publishing House.All rights www.cnki.ne

第 29 卷第 9 期岩石力学与工程学报 Vol.29 No.9 2010 年 9 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2010 收稿日期：2010–01–19；修回日期：2010–04–10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50878150)；交通部西部交通建设科技项目资助(2009318822047)；内蒙古自治区交通科技项目(NJ–2008–25) 作者简介：夏才初(1963–)，男，博士，1984 年毕业于中南大学采矿工程专业，现任教授、博士生导师，主要从事隧道、地下建筑工程、岩石力学及能源地下工程等方面的教学与研究工作。E-mail：tjxiaccb@126.com 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解夏才初 1，2 ，张国柱 1，2 ，肖素光 1，2 (1. 同济大学地下建筑与工程系，上海 200092；2. 同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092) 摘要：将隧道非齐次的瞬态传热分解为周期函数边界下的瞬态传热和恒温边界下的稳态传热，利用分离变量与 Laplace 变换相结合的方法，求解有保温隔热层的寒区隧道瞬态温度场的显式解析解。根据能量守恒，建立隧道洞内气体的气–固耦合传热模型，并获得洞内气体年平均温度和温度振幅的显式解析解。衬砌温度影响因素分析表明，随着隧道埋深和年平均气温的增加，二衬内、外两侧的温度呈线性增加，当年平均气温低于 0 ℃，季冻区隧道埋深小于 80 m 时，5 cm 厚隔热层很难单独满足防寒需求，应与主动供暖措施联合；随着隔热层厚度的增加，二衬的温度呈增长趋势，但增长速率却逐渐减小；当隔热层厚度超过 5 cm 时，通过增加隔热层厚度来提高衬砌温度要考虑其经济性。依据隧址区的气候及地形条件，采用工程类比和解析解相结合的方法分段计算隔热层厚度。与实测值对比结果表明，理论解满足工程精度要求。关键词：隧道工程；寒区隧道；温度场；解析解；隔热层厚度；分段计算中图分类号：U 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2010)09–1767–07 ANALYTICAL SOLUTION TO TEMPERATURE FIELDS OF TUNNEL IN COLD REGION CONSIDERING LINING AND INSULATION LAYER XIA Caichu1，2 ，ZHANG Guozhu1，2 ，XIAO Suguang1，2 (1. Department of Geotechnical Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education，Tongji University，Shanghai 200092，China) Abstract：The problem of time-dependent heat conduction for tunnel in cold region with nonhomogeneous outer boundary conduction is transformed into both transient heat conduction with convection boundary condition of air temperature changed with sinusoid and steady heat conduction. Using the separation of variables and Laplace transform technique can obtain analytical solution to temperature fields of tunnel with insulation layer in cold region. The analytical solutions of the annual mean temperature and temperature amplitude can be obtained by energy conservation and experiential method considering heat conduction/convection between the tunnel ground and the air flow in the tunnel. Temperature of lining varies with both tunnel depth and annual mean temperature linearly. When the annual mean temperature is below 0 ℃ and the tunnel depth is less than 80 m，5 cm thick insulation layer alone can not satisfy the anti-freezing requirements. As the increase in thickness of insulation layer，lining temperature presents an upward trend，but the growth rate has gradually decreased；when the thickness of insulation layer is more than 5 cm，the increase in the thickness of insulation to improve the lining temperature is not economical. The insulation thickness can be calculated by engineering analogy and analytical solution based on climate and terrain conditions with piecewise calculation. Accuracy of the analytical solution is examined by comparing the calculated results with measured results. It is found that the calculated values agree well with those measured in the field

·1768- 岩石力学与工程学报 2010年 Key words;tunnelling engineering:tunnel in cold region:temperature field:analytical solution:insulation layer thickness:piecewise calculation 圆形。2)不考虑村砌与电岩之间的接触热阻，封 1引言砌与围岩接触良好的情况下，衬砌与围岩之间的接触热阻非常小，为便于计算忽略接触热阻对传热已建成的寒区隧道数量与日俱增，寒区隧道月的影响。(3)洞内气温只沿隧道轴线方向变化，隧暴露出来的冻害问题越来越多。对隧道温度场的研道洞内气体在径向传递的热量非常小，与轴向相比究，成为冻害研究的关键。国内多条寒区隧道进行可以忽略。4洞内气体的流速为恒定值。了温度场的现场监测及研家~匀。并获得了寒区赚 2.1寒区隧道围岩径向热传导方程道径向、轴向温度变化规律以及递道洞内温度变化寒区隧道温度场计算模型如图1所示规律。这些研究成果为寒区隧道温度场理论解的提供了指导，为验证理论解提供了依据。但寒隧道温度场监存在后性以及监测费用高等缺点，需对寒区隧道温度场的解析解进行研究，为工程设计提供依据和指导。接远明等根据海十地风的实际情况对圆形道的热传导方程进行简化，应用最纲一的最和摄动技术对简化方程进行求解，给出了圆形腾道温度场的近似解析解。张耀等根据隧道现场实测的气温资料，考虑正弦曲线规律变化的对流换热边界务件，建立了圆形隧道热传导方程，运用微分方程图1寒区膜道温度场计算地型解方法和贝赛尔特征函数的正交和展开定理，得到 Fig1 Heat 了寒区有隔热层的圆形残道温度场解析解。但上述求解都要求隧道洞内气温为已知的，当洞内气温未上述方法则无法进行围岩温度场的求解。还隧道围岩在径向传递的热量远大于其轴向，洞需开展隧道洞内气体温度场解析解的研究】内气温只沿隧道轴线方向变化，在理论计算时，仅考虑隧道围岩在径向发生热传导，传热微分方程为 M.Krarti和J.F.Kreider根据能最守恒原理我得了地下风洞洞内气体温度场的解析解，获得了年 (1) 平均温度和年温度振幅的解析解。K.Takumi等利用香加原理和能量守恒原理求得了寒风薄道洞内式中：k为第1层的热扩散系数，T为第1层的温度，”为用岩深度。气体温度场的解析解。但上述解析解并不话用于考隧道围岩及衬砌传热的边界条件为：1)洞老孤执日一计初村和用岩多层介后的实又隧道洞内白体温度的与洞内气体发生对流换热：(2)忽略隧道用岩与衬法、积分变换法和分腐分园砌之间接触热阻：（③）影响范围以外的围岩温度等变量与Laplace变换相结合的方法4o 对有衬砌利于原始地温。此时有隔热层的寒风隧道用岩温度场进行求解具有过程简 -4w小-ae小-e】a 单、计算量小的特点。本文根据能量守相，建立道洞内气体和群道衬砌的气一固摇合传热模型，对 =1,2) 3) 洞内气体年平均温度和温府据幅讲行求解，获得虑隔热月初村和围岩等多层介质的实 0.2.-4a0ma20=l.2》④ 区隧道洞内气体温度场的解析解 ar 2理论推导 T,= (5) f(=,1)=T.(=)+T.n(=)cos(ot+) 群首是一个复杂的结物休体，为获得隧道围岩利 (6) 热解析解，需做如下4点假设： ()隧道横断面为 0=2π/ 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

• 1768 • 岩石力学与工程学报 2010年 Key words：tunnelling engineering；tunnel in cold region；temperature field；analytical solution；insulation layer thickness；piecewise calculation 1 引言已建成的寒区隧道数量与日俱增，寒区隧道所暴露出来的冻害问题越来越多。对隧道温度场的研究，成为冻害研究的关键。国内多条寒区隧道进行了温度场的现场监测及研究[1～5]，并获得了寒区隧道径向、轴向温度变化规律以及隧道洞内温度变化规律。这些研究成果为寒区隧道温度场理论解的求解提供了指导，为验证理论解提供了依据。但寒区隧道温度场监测存在滞后性以及监测费用高等缺点，需对寒区隧道温度场的解析解进行研究，为工程设计提供依据和指导。赖远明等[6]根据冻土地区的实际情况对圆形隧道的热传导方程进行简化，应用量纲一的量和摄动技术对简化方程进行求解，给出了圆形隧道温度场的近似解析解。张耀等[7]根据隧道现场实测的气温资料，考虑正弦曲线规律变化的对流换热边界条件，建立了圆形隧道热传导方程，运用微分方程求解方法和贝赛尔特征函数的正交和展开定理，得到了寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解。但上述求解都要求隧道洞内气温为已知的，当洞内气温未知时，上述方法则无法进行围岩温度场的求解。还需开展隧道洞内气体温度场解析解的研究。 M. Krarti 和 J. F. Kreider[8]根据能量守恒原理获得了地下风洞洞内气体温度场的解析解，获得了年平均温度和年温度振幅的解析解。K. Takumi 等[9] 利用叠加原理和能量守恒原理求得了寒区隧道洞内气体温度场的解析解。但上述解析解并不适用于考虑隔热层、二次衬砌、初衬和围岩等多层介质的寒区隧道洞内气体温度场的求解。与常用的格林函数法[10]、积分变换法[11]和分离变量法[12，13]相比，分离变量与 Laplace 变换相结合的方法[14～16]对有衬砌和隔热层的寒区隧道围岩温度场进行求解具有过程简单、计算量小的特点。本文根据能量守恒，建立隧道洞内气体和隧道衬砌的气–固耦合传热模型，对洞内气体年平均温度和温度振幅进行求解，获得考虑隔热层、二次衬砌、初衬和围岩等多层介质的寒区隧道洞内气体温度场的解析解。 2 理论推导隧道是一个复杂的结构体，为获得隧道围岩传热解析解，需做如下 4 点假设：(1) 隧道横断面为圆形。(2) 不考虑衬砌与围岩之间的接触热阻，衬砌与围岩接触良好的情况下，衬砌与围岩之间的接触热阻非常小，为便于计算，忽略接触热阻对传热的影响。(3) 洞内气温只沿隧道轴线方向变化，隧道洞内气体在径向传递的热量非常小，与轴向相比可以忽略。(4) 洞内气体的流速为恒定值。 2.1 寒区隧道围岩径向热传导方程寒区隧道温度场计算模型如图 1 所示。图 1 寒区隧道温度场计算模型 Fig.1 Heat conduction model of tunnel in cold regions 隧道围岩在径向传递的热量远大于其轴向，洞内气温只沿隧道轴线方向变化，在理论计算时，仅考虑隧道围岩在径向发生热传导，传热微分方程为 2 2 i ii 1 i T TT k r rr t ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ (1) 式中： i k 为第 i 层的热扩散系数，Ti 为第 i 层的温度， r 为围岩深度。隧道围岩及衬砌传热的边界条件为：(1) 洞壁与洞内气体发生对流换热；(2) 忽略隧道围岩与衬砌之间接触热阻；(3) 影响范围以外的围岩温度等于原始地温。此时有 1 1 0 110 ( ) [ ( ) ( )] T r t Tr t fz t r λ α ∂ − =− − ∂ ，，， (2) 1 () () Tt r T t r iii i ，， = + ( 1 2) i = ， (3) 1 1 () () ii i i i i Tt r T t r r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ，， ( 1 2) i = ， (4) T T 3 0 = (5) M in A in ( ) ( ) ( )cos( ) 2π / fz t T z T z t ω ϕ ω φ =+ + ⎫⎪ ⎬ = ⎪⎭ ，，， (6)

第 29 卷第 9 期夏才初，等. 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 • 1769 • 0c 01 T T H R RK =+ − − ( ) (7) 式中：T1 为隔热层温度，T2 为衬砌温度，T3为围岩的温度，λi 为第 i 层导热系数，α1为洞壁与气体之间的换热系数，f ( ) z t ，为隧道洞内气温[3～5]，TM in ，为洞内气体的年平均温度，TA in ，为洞内气体的温度振幅，z 为距洞口的距离，φ 为气温变化周期，ϕ 为相位，Tc 为恒温层围岩的温度，T 为气温变化周期， H 为隧道埋深， 0r 为隔热层的内半径，R0 为隧道围岩温度场影响深度，R1为恒温层埋深，K 为围岩地温增长梯度。在隧道建设初期，受施工影响，隧道围岩初始温度场被扰动，为便于计算，在求解隧道围岩瞬态温度场时，初始温度按 0 ℃考虑。根据叠加原理可得，隧道围岩温度场Ti 由周期函数 v 0 T td sin( ) ω + 确定的瞬态温度场T1i 和年平均温度Tm 确定的稳态温度场T2i 两者叠加而得，即 TT T iii = + 1 2 (8) 2.1.1 周期函数边界下的隧道温度场隧道围岩传热微分方程为 2 1 11 2 i ii 1 i T TT k r rr t ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ (9) (1) 边界条件： 11 1 0 1 11 0 v ( ) [ ( ) ( )] T r t Tt r Tz t r λ α ∂ − =− − ∂ ，，， 0 ( ) r r = (10) 1 1( 1) () () Tt r T t r ii i i ，， = + i r r = ( 1 2) i = ， (11) 1 1( 1) 1 ( ) ( ) i i i i i i Tt r T tr r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ，， i r r = ( 1 2) i = ， (12) 13 T = 0 ( 0 r R = ) (13) (2) 初始条件： 1 (0) 0 T i = (14) v A in Tt T z t ( ) ( )cos( ) = + ， ω ϕ (15) 为便于计算，将式(15)表示成复数的形式，在复坐标系下进行方程求解，即 i( ) v A in ( ) Re[ ( )e ] t Tt T z ω ϕ+ = ， (16) 对式(9)进行 Laplace 变换可得 2 2 1 i i i i R R k sR r rr ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ (17) 其相应的边界条件为 1 1 0 11 0 v ( ) [ ( ) ( )] R r s Rs r R s r λ α ∂ − =− − ∂ ，， 0 ( ) r r = (18) 1 () () Rii i i rs R rs ，， = + ( 1 2) i rri = = ，， (19) 1 1 () () ii i i i i R rs R rs r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ，， ( 1 2) i rri = = ，， (20) 3 R = 0 ( 0 r R = ) (21) 求解式(17)可得 R A I s kr B K s kr i im i im i = + 0 0 ( / / ) ( ) (22) 式中： 0 I ( )⋅ 为第一类修正贝赛尔函数； 0 K ( )⋅ 为第二类修正贝赛尔函数； Aim ， Bim 均为由边界条件确定的系数： T 1 1 1v 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 0 0 0 0 0 m m m m m m A R r B A B A B ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ −α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ I K I K I K (23) 其中， 1 1 1 00 1 0 1 1 1 I = − { ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0} I hI I I η ηεε ，，，，， (24) 1 1 1 00 1 0 1 11 K =− − − { ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0} K hK K K η ηε ε ，，，，， (25) 2 0 2 11 2 0 2 1 2 I =− − {0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0} ，，，，， I hI I I η η εε (26) 2 0 2 11 2 0 2 1 2 K =− − {0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0} ，，，，， K hK K K η ηε ε (27) 3 0 3 11 3 0 3 I = −− {0 0 0 ( ) ( ) ( )} ，，，，， I hI I η η ε (28) 3 0 3 11 3 0 3 K = − {0 0 0 ( ) ( ) ( )} ，，，，， K hK K η η ε (29) 0 1 11 1 1 1 / /( ) / i i i i ii i ii i i i i q sk h q qr qr h k k α λ λ η ε λ + − + = = ⎫ ⎪ ⎬ = == ⎪ ⎭ ，，， (30) 将式(22)代入边界条件式(18)～(21)，可得

• 1770 • 岩石力学与工程学报 2010年考虑衬砌及隔热层的寒区隧道瞬态温度场为 1 v Re[ (i ) ( )] T F rT z t i = ω，， (31) 2.1.2 恒温边界下的隧道温度场隧道衬砌及围岩传热微分方程 2 2 2 2 1 0 i i i T T k r rr ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ (32) 边界条件为 21 1 1 21 M in 0 [ ( )] T T T rz r λ α ∂ − =− − ∂ ，， 0 ( ) r r = (33) T T 2 2( 1) i i = + ( 1 2) i rri = = ，， (34) 2 2( 1) 1 i i i i T T r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ( 1 2) i rri = = ，， (35) T T 23 0 = ( 0 r R = ) (36) 求解式(32)可得 22 2 ln T A rB ii i = + (37) 将式(37)代入边界条件方程可得 1 1 0 21 1 21 1 M in 0 ln rA B T r λ α αα ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − =− ⎝ ⎠ ， (38) 2 2 2( 1) 2( 1) ln ln A rB A rB ii i i i i += + + + (39) 1 2 2( 1) i i i i i i A A r r λ λ + − =− + (40) 23 3 23 0 A ln( ) rBT + = (41) 由式(37)～(41)可得 ΔS′的表达式： Δ = S′ 1 10 1 0 1 1 1 2 1 1 ln 0 0 0 0 ln 1 ln 1 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r λ α α λ λ − − − − − 2 2 2 3 2 2 3 0 ln 1 ln 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ln 1 r r r r r λ λ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − − ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ (42) 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道稳态温度场为 2 M in 0 () () T FrT GrT i = + ， (43) 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道温度场为 T F rT z t FrT i = + Re[ (i ) ( )] ( ) + ω，，v M in ， c 01 Gr T H R R K ( )[ ( ) ] + −− (44) 为获得完整的围岩温度场解析解，还需要确定年平均温度TM in ，和温度振幅TA in ，。 2.2 隧道洞内气体温度场理论解隧道洞内气温轴向传热模型如图 2 所示。图 2 隧道洞内气温轴向传热模型 Fig.2 Heat conduction model of air flow in tunnel 图 2 中， 0 T t( ) 为洞口温度， d Tz t ( ) ，为洞壁处的温度， f ( ) z t ，为洞内气温，而 z q 为围岩与洞内气体传递的热量。隧道洞内 dz 微元体的能量守恒方程如下： f f d p () () [ ( ) ( )] fz t fz t ph V fz t T z t t z Ac ρ ∂ ∂ + =− − ∂ ∂ ，，，， (45) 其中， d 10 T z t Tr z t ()( ) ，，， = (46) M in A in fz t T z T z t ( ) ( ) ( )cos( ) ， = ，， + + ω ϕ (47) 式中： p c 为隧道内气体的比热容，Vf 为洞内气体风速， A 为隧道断面的截面积， p 为隧道环向弧长， f h 为围岩与洞内气体的对流换热系数。由式(45)～(47)即可获得洞内气温的年平均温度TM in ，和年温度振幅TA in ，。此时有 i( ) i( ) A in A in f d d ie e d d t t T T M in T V z z ωϕ ωϕ ω + + ⎡ ⎤ + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，，， f i( ) M in A in 2d 1d p e ph t T T TT Ac ω ϕ ρ + − + −− ⎡ ⎤ ⎣ ，， ⎦ (48) 2.2.1 年平均温度TM in ，的确定年平均温度的微分方程为 M in f f M in 2d p d ( ) d T ph V TT z Ac ρ =− − ，， (49)

第29卷第9期夏才初，等。考虑村砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 ·1771 边界条件为以式(57)作为边界条件，获得的隧道衬砌及围岩温度场理论解与实测值对比结果。隔热层内、外 T4.m=Tn.。(e=0) (50) 侧温度-时间曲线如图3所示。求解式(49)可得 ,。理验信其中， C(52) 11 2.2.2年温度振幅T.。的确定年温度振幅的微分方程为 m+战22-小边界条件为 Fig.3 Relationship between temperature and time in both inside and outside of insulation layer T。=T。(e=0) (54) 由图3可知隔热层两侧温差很大，最大值求解式(53)可得 7℃，说明隔热层起到很好的保温作用：隔热层两五.=[+周 (53) 侧温度都呈现简谐振动，但内侧的温度振幅较外侧小很多，并且两侧温度存在相位差：理论解与实测其中值在温度最低处吻合很好：由于计算模型中未考忠小小号相变对燧道温度场的影响，在最高点处理论解与 (56) 实测值存在一定误差，但能满足工程精度要求。 4参数分析 3算例对比分析为了直观反映年平均温度、隧道埋深及隔热层以青藏铁路风火山隧道为例，将现场实测值与厚度对寒区隧道温度场的影响，按如下计算参数进理论计算值进行对比分析，从而验证理论解的精行比较分析。隧道等效半径为3.5m:隔热层位于度。递道计算内径为3.5m,二次封商厚度为0.5m: 二村内侧：二衬厚度为0.5：初衬和围岩按同隔热层厚度为0.05m,初砌厚度为0.3m,围岩的介质考虑，厚度为10m(闹内气温对围岩温度场的厚度为10m。影响深度网。对于隔热层：导热系数为00 根据实测气温资料（由中铁西南科学研究院 W(m·℃)，热容量为0.072Jcm3.℃)方对于二衬：提供)，2004年隧道DK1159+046断面的气温边界导热系数为1.55w(m·℃)，热容量为2.46J/ 条件（其中，时间：单位为d)为 (cm3℃)片对于岩石：导热系数为15~40WmC), 热容量为1.67~2.09J(cm ·℃)对于围岩：导热 (2 T0=446+856co361- (57 系数取2.75W/mC,热容量取1.83J/(cm3·℃)。 41年平均温度对二村温度场的影响由式(57)可得利用式(4)确定年平均温度与村砌内、外侧温 0=Rc856e侵- 度的关系如图4所示。由图4可知：在隔热层厚度、 (58) 隧道埋深一定的情况下，衬内、外侧温度随着年平均温度的增加呈线性增加趋势：当年平均温度低 Tm=8.56,T4.n=4.46 (59) 于0℃时，衬砌内侧最低温度始终位于0℃以下，5 1994-2016Chim Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights erved. http://www.cnki.ne

第 29 卷第 9 期夏才初，等. 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 • 1771 • 边界条件为 T T M in m 0 ，， = ( 0) z = (50) 求解式(49)可得 M in m 0 e D Az D T T C C ⎛ ⎞ =+ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，， (51) 其中， f f 0 00 pf pf [ ( ) 1] ( ) ph ph C Fr D Gr T ρ ρ Ac V Ac V = −= ， (52) 2.2.2 年温度振幅TA in ，的确定年温度振幅的微分方程为 A in f A in f 0 A in p d i [ (i ) ] d T ph T V F rT z Ac ω ω ρ += − ，，，， (53) 边界条件为 T T A in A 0 ，， = ( 0) z = (54) 求解式(53)可得 A in A 0 Re e A Bz A T T B B − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = −+ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ，， (55) 其中， f f 0 f p f pf i (i ) ph ph A F rB V Ac V Ac V ω ω ρ ρ = =+ ，， (56) 3 算例对比分析以青藏铁路风火山隧道为例，将现场实测值与理论计算值进行对比分析，从而验证理论解的精度。隧道计算内径为 3.5 m，二次衬砌厚度为 0.5 m，隔热层厚度为 0.05 m，初砌厚度为 0.3 m，围岩的厚度为 10 m。根据实测气温资料[7](由中铁西南科学研究院提供)，2004 年隧道 DK1159+046 断面的气温边界条件(其中，时间t 单位为 d)为 2 ( ) 4.46 8.56cos 365 Tt t ⎛ ⎞ π =− + −π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (57) 由式(57)可得 2 i 365 v ( ) Re 8.56e t T t ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ −π ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (58) A in M in T T ，， = =− 8.56 4.46 ， (59) 以式(57)作为边界条件，获得的隧道衬砌及围岩温度场理论解与实测值对比结果。隔热层内、外侧温度–时间曲线如图 3 所示。时间/年月日图 3 隔热层内、外侧温度–时间曲线 Fig.3 Relationship between temperature and time in both inside and outside of insulation layer 由图 3 可知，隔热层两侧温差很大，最大值达 7 ℃，说明隔热层起到很好的保温作用；隔热层两侧温度都呈现简谐振动，但内侧的温度振幅较外侧小很多，并且两侧温度存在相位差；理论解与实测值在温度最低处吻合很好；由于计算模型中未考虑相变对隧道温度场的影响，在最高点处理论解与实测值存在一定误差，但能满足工程精度要求。 4 参数分析为了直观反映年平均温度、隧道埋深及隔热层厚度对寒区隧道温度场的影响，按如下计算参数进行比较分析。隧道等效半径为 3.5 m；隔热层位于二衬内侧；二衬厚度为 0.5 m；初衬和围岩按同一介质考虑，厚度为 10 m(洞内气温对围岩温度场的影响深度[9]) 。对于隔热层：导热系数为 0.03 W/(m·℃)，热容量为 0.072 J/(cm3 ·℃)；对于二衬：导热系数为 1.55 W/(m·℃)，热容量为 2.46 J/ (cm3 ·℃)；对于岩石：导热系数为 1.5～4.0 W/(m·℃)，热容量为 1.67～2.09 J/(cm3 ·℃)；对于围岩：导热系数取 2.75 W/m℃，热容量取 1.83 J/(cm3 ·℃)。 4.1 年平均温度对二衬温度场的影响利用式(44)确定年平均温度与衬砌内、外侧温度的关系如图 4 所示。由图 4 可知：在隔热层厚度、隧道埋深一定的情况下，衬砌内、外侧温度随着年平均温度的增加呈线性增加趋势；当年平均温度低于 0 ℃时，衬砌内侧最低温度始终位于 0 ℃以下，5 T/℃ 20040101 20040401 20040701 20041001 20050101 理论值实测值外侧内侧