悠用蜂客智特流卷第8期 pn52013 文章编号：1000087(2013)08-08550g ⊙应用数学和力学编委会，1ssN10000837 矩形微通道热沉内单相稳态层流 流体的流动与传热分析 王丽凤，邵宝东， 程赫明，唐艳军 (昆明理工大学建筑工程学院工程力学系，昆明65050) 造果生新选分板工类位超器版内色只道淡悠的线动与苦手位 变的假设 体在矩形微酒 传热的温度方程 进而推 d数 的 论表达通 ,推导的 的解析解与其他文献的 吻合较好，面且当宽 .Nu ie数分 相同时，摩擦因数随着宽高比的城 关键词：矩形微通道：热沉：Nusselt数：Poiseuille数：稳态层流 中图分类号：TK124:035 文献标志码：A D01:10.38795.ism.1000-0887.2013.08.009 引 言 微通道热沉因其具有结构紧凑、散热效率高、功耗低及使用的冷却液少等优点而得到广泛 应用，包括涡轮叶片、聚变反应堆覆层、火箭发动机、航空电子设备、混合动力汽车电子设备、储 氢、制冷、微重力热控、毛细泵循环等领域的冷却问题四，很多学者也在相关领域进行了大量 研究，Sa山回采用最小二乘匹配技术分析了任意横截面槽道内充分发展层流与传热问颗，得到 了等腰三角形、圆角等边三角形、正弦，菱形及梯形横截面槽道内流体流动与传热的分析结果 其中，对于矩形相 面，作者 出了Nu 式，并采 用数值方法计算 不同高宽比下 的Nu l数的值.Lee等 采用实验方法和数值模拟研究了矩形微通道内热发展区的换热问 题，换热系数随给定流率减小而增加.Morini等0采用分析方法研究了Newton单相流体在矩 形微通道内自然对流层流的瞬态行为，基于Boussinesq经典假设，采用双正弦Fourier变换利 Laplace变换，求解了连续方程、动量方程和能量方程.刘赵淼等回基于连续介质方法采用数值 方法研究了液体在不同几何结构微酒道中流动和传热性能，研究发现，盘面窗高比越大，P :在e为20-1800B时，N s山数正比于水力直径和宽高比.徐斌等对矩形微 通道内单相层流流动和传热特性进行了实验研究和三维数值模拟研究。在恒热流边界条件下 ·收稿日期：201305-6：修订1 作者简介： 王丽风(1972-)，女，黑龙江鸡西人，讲师，硕土(E-mail:wanglifeng0314e163.c0m）: 邵宝东(1971一)，男，黑龙江鸡西人，副教授，博士（通讯作者.Emai:sd1221@163。 com). 85s
书 文章编号: 1000-0887( 2013) 08-0855-08 应用数学和力学编委会，ISSN 1000-0887 矩形微通道热沉内单相稳态层流 流体的流动与传热分析* 王丽凤， 邵宝东， 程赫明， 唐艳军 ( 昆明理工大学 建筑工程学院 工程力学系，昆明 650500) 摘要: 采用解析方法分析了矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热． 基于 y 方向流 速和导热不变的假设，建立流体在矩形微通道内流动的流速方程和传热的温度方程，进而推导出 Nusselt 数和 Poiseuille 数的理论表达式． 通过计算结果可以看出，推导的 Nusselt 数和 Poiseuille 数 的解析解与其他文献的结果吻合较好，而且当宽高比趋于无穷大时，Nusselt 数和 Poiseuille 数分别 趋近于 8． 235 和 96，这与其他文献结果完全相同． 在 Reynolds 数相同时，摩擦因数随着宽高比的增 加而增加，而在相同宽高比时，摩擦因数随 Reynolds 数的增加而减小． 关 键 词: 矩形微通道; 热沉; Nusselt 数; Poiseuille 数; 稳态层流 中图分类号: TK124; O35 文献标志码: A DOI: 10． 3879 /j． issn． 1000-0887． 2013． 08． 009 引 言 微通道热沉因其具有结构紧凑、散热效率高、功耗低及使用的冷却液少等优点而得到广泛 应用，包括涡轮叶片、聚变反应堆覆层、火箭发动机、航空电子设备、混合动力汽车电子设备、储 氢、制冷、微重力热控、毛细泵循环等领域的冷却问题［1］． 很多学者也在相关领域进行了大量 研究． Shah［2］采用最小二乘匹配技术分析了任意横截面槽道内充分发展层流与传热问题，得到 了等腰三角形、圆角等边三角形、正弦、菱形及梯形横截面槽道内流体流动与传热的分析结果． 其中，对于矩形横截面，作者给出了 Nusselt 数的表达式，并采用数值方法计算了不同高宽比下 的 Nusselt 数的值． Lee 等［3］采用实验方法和数值模拟研究了矩形微通道内热发展区的换热问 题，换热系数随给定流率减小而增加． Morini 等［4］采用分析方法研究了 Newton 单相流体在矩 形微通道内自然对流层流的瞬态行为，基于 Boussinesq 经典假设，采用双正弦 Fourier 变换和 Laplace 变换，求解了连续方程、动量方程和能量方程． 刘赵淼等［5］基于连续介质方法采用数值 方法研究了液体在不同几何结构微通道中流动和传热性能． 研究发现，截面宽高比越大，Poiseuille 数越小; 在 Re 为 20 ～ 1 800 时，Nusselt 数正比于水力直径和宽高比． 徐斌等［6］对矩形微 通道内单相层流流动和传热特性进行了实验研究和三维数值模拟研究． 在恒热流边界条件下， 558 应用数学和力学，第 34 卷 第 8 期 2013 年 8 月 15 日出版 Applied Mathematics and Mechanics Vol． 34，No． 8，Aug． 15，2013 * 收稿日期: 2013-05-16; 修订日期: 2013-06-17 基金项目: 云南省应用基础研究重点项目( 2007A0015Z) 作者简介: 王丽凤( 1972—) ，女，黑龙江鸡西人，讲师，硕士( E-mail: wanglifeng0314@ 163． com) ; 邵宝东( 1971—) ，男，黑龙江鸡西人，副教授，博士( 通讯作者． E-mail: shbd_1221@ 163． com) ．
856 王丽风邵宝东 程赫明 唐艳军 摩擦因数沿流动方向有递减趋势.进口处的Nusselt数有最大值.Mansoor等团采用数值模拟方 法研究了高热流下矩形微通道内的流体流动与传热问题研究表明，换热系数随着热流的增加 而增加，并给出发展中单相流的Nus业数的关系式.鲁进利等实验研究了矩形、半圆形及三 角形截面微通道内去离子水的流动阻力特性，结果表明当截面形状相同时，摩擦阻力因数随着 量直径的 该 降低 直径接近 截面形状 同时，其摩擦阻力因数也不相同，钟主海 等实验研究 了水在水力直径167m-195m矩形硅通道和水力直径为168 1-39 圆形玻璃微管中的流动特性，结果表明微通道的形状对流动阻力特性没有明显影响.龚磊 等0采用数值方法研究了微通道双电层对压强梯度液体流动的阻力效应，给出不同电阻力数 的微通道流量、流量损失率、速度剖面的数值结果，并合理解释了双电层对微通道液体流动的 阻力效应， 尽管管槽内流体的流动与传热研究己经得到了一些经典理论，但是很彩结论都是针对圆 道内流体的流动与传热的结论大多都是基于实验和数值模拟而得到 条件改 时，所 得结果也会改变 很少有从理论上推导出矩形截面微通道流动与传热的通用分析结果.本文针对常热流边界务 件下矩形微通道内流体的单相稳态层流流动与传热问题，从理论上推导矩形微通道内流体流 速及温度分布规律的解析表达式，得到通用的Nusselt数和Poiseuille数的表达式. 1矩形微通道分析模型 单个矩形微通道结构示意图如图1所示，微通道的宽度为b,高度为4，建立图1所示直角 坐标系，流体沿 方向流动.在微通道底部施加常热流边界条件，假设微道 道内流体的温度和 速度不沿y方向变化，可以分别表示为T(,)和(,),微通道内流体的流动与传热分析基 于以下几个假设：1)流体是不可压缩的：2)流体的热物性是常数：3)流体在微通道内的层 流流动是充分发展的：4)忽略粘性耗散的影响， 2流速分析 中切应力与压力之间的简单平衡。 考虑图2所示微元体在x方向的力平衡，有
摩擦因数沿流动方向有递减趋势． 进口处的 Nusselt 数有最大值． Mansoor 等［7］采用数值模拟方 法研究了高热流下矩形微通道内的流体流动与传热问题． 研究表明，换热系数随着热流的增加 而增加，并给出发展中单相流的 Nusselt 数的关系式． 鲁进利等［8］实验研究了矩形、半圆形及三 角形截面微通道内去离子水的流动阻力特性，结果表明当截面形状相同时，摩擦阻力因数随着 当量直径的减小而降低，当量直径接近而截面形状不同时，其摩擦阻力因数也不相同． 钟主海 等［9］实验研究了水在水力直径 167 μm ～ 195 μm 矩形硅通道和水力直径为 168 μm ～ 399 μm 圆形玻璃微管中的流动特性，结果表明微通道的形状对流动阻力特性没有明显影响． 龚磊 等［10］采用数值方法研究了微通道双电层对压强梯度液体流动的阻力效应，给出不同电阻力数 的微通道流量、流量损失率、速度剖面的数值结果，并合理解释了双电层对微通道液体流动的 阻力效应． 尽管管槽内流体的流动与传热研究已经得到了一些经典理论，但是很多结论都是针对圆 管，而矩形等其它截面槽道内流体的流动与传热的结论大多都是基于实验和数值模拟而得到 的经验公式． 这些公式只适用于某些特殊实验条件下，当实验条件改变时，所得结果也会改变． 很少有从理论上推导出矩形截面微通道流动与传热的通用分析结果． 本文针对常热流边界条 件下矩形微通道内流体的单相稳态层流流动与传热问题，从理论上推导矩形微通道内流体流 速及温度分布规律的解析表达式，得到通用的 Nusselt 数和 Poiseuille 数的表达式． 1 矩形微通道分析模型 单个矩形微通道结构示意图如图 1 所示，微通道的宽度为 b，高度为 a，建立图 1 所示直角 坐标系，流体沿 x 方向流动． 在微通道底部施加常热流边界条件． 假设微通道内流体的温度和 速度不沿 y 方向变化，可以分别表示为 T( z，x) 和 u( z，x) ． 微通道内流体的流动与传热分析基 于以下几个假设: 1) 流体是不可压缩的; 2) 流体的热物性是常数; 3) 流体在微通道内的层 流流动是充分发展的; 4) 忽略粘性耗散的影响． 图 1 单个矩形微通道 Fig． 1 A single rectangular micro-channel 2 流 速 分 析 在充分发展区内，流体力学状态的一个重要特征是径向速度分量 v 及轴向速度分量的梯 度( u /x) 处处为 0 ． 在充分发展区净动量通量处处为 0，因此动量守恒的要求就简化为流体 中切应力与压力之间的简单平衡． 考虑图 2 所示微元体在 x 方向的力平衡，有 856 王 丽 凤 邵 宝 东 程 赫 明 唐 艳 军
矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热分析 857 bdks -rbdx+4(bd)ds p*bd:-pbds+(p-bdz)ds=0, (1) 式(1)经化简得 -出=出 (2) 由Newton流体的粘性定律，假设，=-u(du/d),代入式(2)，有 u业=出 (3) 将式(3)积分两次，分别得到 出=+G (4) u)=()号+G+G. 将边界条件u(a2,x)=0,(au/:)10=0代入式(4)和(5)，得 c=0,6=-(受). 将所得积分常数代回式(5)，得 e--（], (6) 式(6)为矩形微通道内充分发展流体的速度表达式.式(6)可以用来求解某一截面流体的平均 速度.流体的质量流率为m=pu.A.,也可写成 i=[pu(z,)dA. 对于矩形截面微通道，d4。=bd,因此 (7) 但=引-（1 (8) “ 图3为速度比值在矩形微通道横截面：方向的变化规律，从图3可以看出在矩形微通道 中心速度达到最大值，最大速度是平均速度的1.5倍，而在壁面处为0
图 2 充分发展层流微元体的力平衡 Fig． 2 Force balance on a differential element for fully developed laminar flow τ·bdx － τbdx + d dz [ ] ( τ·bdx) dz + p·bdz － p·bdz + d dx [ ] ( p·bdz) dx = 0， ( 1) 式( 1) 经化简得 － dτ dz = dp dx ． ( 2) 由 Newton 流体的粘性定律，假设 τ = － μ( du /dz) ，代入式( 2) ，有 μ d2 u dz 2 = dp dx ． ( 3) 将式( 3) 积分两次，分别得到 du dz = 1 μ dp d( ) x z + C1， ( 4) u( z，x) = 1 μ dp d( ) x z 2 2 + C1 z + C2 ． ( 5) 将边界条件 u( a /2，x) = 0，( u /z) | z = 0 = 0 代入式( 4) 和( 5) ，得 C1 = 0，C2 = － 1 2μ dp d( ) x a ( ) 2 2 ． 将所得积分常数代回式( 5) ，得 u( z，x) = － 1 2μ dp d( ) x a ( ) 2 2 1 － z a / ( ) 2 [ ] 2 ， ( 6) 式( 6) 为矩形微通道内充分发展流体的速度表达式． 式( 6) 可以用来求解某一截面流体的平均 速度． 流体的质量流率为 m = ρum Ac，也可写成 m = ∫ A c ρu( z，x) dAc ． 对于矩形截面微通道，dAc = bdz，因此 um = ∫ A c ρu( z，x) dAc ρAc = 1 a ∫ a/2 －a/2 u( z，x) dz = － a2 12μ dp dx ． ( 7) 由式( 6) 和式( 7) 可以得到 u( z) um = 3 2 1 － z a / ( ) 2 [ ] 2 ． ( 8) 图 3 为速度比值在矩形微通道横截面 z 方向的变化规律． 从图 3 可以看出在矩形微通道 中心速度达到最大值，最大速度是平均速度的 1． 5 倍，而在壁面处为 0 ． 矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热分析 857
王丽风 邵宝东程赫明唐艳军 0 -08 -1.0 1.0 12 图3ua.沿：方向变化规律 3热平衡分析 由Newton冷却定律q=c,(T-T),忽略x方向的导热，在充分发展区域，z方向的速 府为0， 因此考虑图4所示微元体x方向对流换热和：方向传导换热的热能平衡有 )-9()+= aclreo+r2-rtl (9) 经整理得 (dm),ard (10) 、、 ds. 微元体的质量流率为dm=pubd止，在某一截面 处（即x等于某一值时）沿：方向的热流 图4矩形微通逍中的微元体 a. (11) 将式(11)代入式(10)，得 (12) 其中，a=k/(c,p）),式(12)为流体在微通道内传热的热能平衡方程。 将式(8)代入式(12)，得 是-(]臣= (13) 对于表面常热流边界，忽略x方向导热，有T/a2=0.当g为常数，有 (14) 将式(13)积分两次，分别得到
图 3 u /um 沿 z 方向变化规律 Fig． 3 Variation of u /um along z direction 3 热平衡分析 由 Newton 冷却定律 q = mcp ( Tout － Tin ) ，忽略 x 方向的导热，在充分发展区域，z 方向的速 度为 0 ． 因此考虑图 4 所示微元体 x 方向对流换热和 z 方向传导换热的热能平衡有 q( z，x) － q( z，x) + q( z，x) z [ ] dz = ( dm) cp T( z，x) + T( z，x) x ( ) dx － T( z，x [ ] ) ． ( 9) 图 4 矩形微通道中的微元体 Fig． 4 A differential element in the rectangular micro-channel 经整理得 ( dm) cp T( z，x) x dx = － q( z，x) z dz， ( 10) 微元体的质量流率为 dm = ρ·u·b·dz，在某一截面 处( 即 x 等于某一值时) 沿 z 方向的热流 q( z) = － k T( z，x) ( ) z bdx ． ( 11) 将式( 11) 代入式( 10) ，得 u T( z，x) x = α 2 T( z，x) z 2 ， ( 12) 其中，α = k /( cp ρ) ． 式( 12) 为流体在微通道内传热的热能平衡方程． 将式( 8) 代入式( 12) ，得 3 2 um 1 － z a / ( ) 2 [ ] 2 T x = α 2 T z 2 ． ( 13) 对于表面常热流边界，忽略 x 方向导热，有 2 T /x 2 = 0 ． 当 q″ s 为常数，有 T x fd，t = dTm dx fd，t ． ( 14) 将式( 13) 积分两次，分别得到 858 王 丽 凤 邵 宝 东 程 赫 明 唐 艳 军
矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热分析 859 器-(-a剖+c (15) r0-(号-a+G+G, (16) 考虑如下边界条件： =o.分小a. (17) 求得积分常数分别为 G=0,G=r)-). 将积分常数代入式(16)得 do-器密语+为-门 (18) 式(18)为矩形通道内充分发展流体的温度表达式.由式(18)可以得到平均温度表达式： ).p,7u pu()e,T(z,x)bd pu abe nu(e)T,x)d， (19a 元=Ta-色an} (19b) 对于矩形截面有 P=2(a+b),i purab, puabe, 则式(19b)可以写为 r-r.田=-号（是aa (20) 将式(20)代入Newton冷却定律的表达式得 ” 706 h=.田1的=7aa+ (21) 根据Nusselt数的定义有 (22 令槽道高宽比&=a/b,则 a-增aa (23) 式(23)表明，Nussel山数只与矩形截面的宽高比a有关，而与Reynolo山数无关，这与很多由 实验得到的经验公式结果相似.式(23)与Kay和Crawford得到的式(24)比较，本文所得公 式为更直观简洁的解析表达式，而且无R数的条件限制应用范围更旷 Nm=8.235(1-1.883/a+3.767/a2-5.814/a+5.361/a-2/a).(24) 根据摩擦因数和Reynolds数的定义有
T z = 3um 2α dTm d ( ) x z － 1 ( a /2) 2 z 3 [ ] 3 + C1， ( 15) T( z，x) = 3um 2α dTm d ( ) x z 2 2 － 1 ( a /2) 2 z 4 [ ] 12 + C1 z + C2 ． ( 16) 考虑如下边界条件: T z z = 0 = 0，T a 2 ( ) ，x = Ts( x) ． ( 17) 求得积分常数分别为 C1 = 0，C2 = Ts( x) － 5um 8α dTm d ( ) x a ( ) 2 2 ． 将积分常数代入式( 16) 得 T( z，x) = Ts( x) － 3um 2α dTm d ( ) x a ( ) 2 2 5 12 + 1 12 z a / ( ) 2 4 － 1 2 z a / ( ) 2 [ ] 2 ， ( 18) 式( 18) 为矩形通道内充分发展流体的温度表达式． 由式( 18) 可以得到平均温度表达式: Tm ( x) = ∫ A c ρucpTdAc mcp = ∫ a/2 －a/2 ρu( z) cpT( z，x) bdz ρum abcp = 1 aum ∫ a/2 －a/2 u( z) T( z，x) dz， ( 19a) Tm ( x) = Ts( x) － 17 35 um ( a /2) 2 ( ) α dTm d ( ) x ． ( 19b) 对于矩形截面有 P = 2( a + b) ，m = ρum ab， dTm dx = q″ sP mcp = q″ s2( a + b) ρum abcp ，Dh = 4Ac P = 2ab a + b ． 则式( 19b) 可以写为 Tm ( x) － Ts( x) = － 17 70 q″ s k a( a + b) ( ) b ． ( 20) 将式( 20) 代入 Newton 冷却定律的表达式得 h = q″ s Ts( x) － Tm ( x) = 70 17 kb a( a + b) ． ( 21) 根据 Nusselt 数的定义有 NuDh = hDh k = 35 68 D2 h ( a /2) 2 = 140 17 1 ( 1 + a /b) 2 ． ( 22) 令槽道高宽比 α = a /b，则 NuDh = 140 17 1 ( 1 + α) 2 ． ( 23) 式( 23) 表明，Nusselt 数只与矩形截面的宽高比 α 有关，而与 Reynolds 数无关，这与很多由 实验得到的经验公式结果相似． 式( 23) 与 Kays 和 Crawford ［11］得到的式( 24) 比较，本文所得公 式为更直观简洁的解析表达式，而且无 Reynolds 数的条件限制，应用范围更广． Nufd = 8． 235( 1 － 1． 883 /α + 3． 767 /α2 － 5． 814 /α3 + 5． 361 /α4 － 2 /α5 ) ［11］ ． ( 24) 根据摩擦因数和 Reynolds 数的定义有 矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热分析 859