经全国中小学教材审定委员会 0o4年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数孥e 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 《1.3秦九韶算法与进位制(1)》 ◆教材分析 在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序语句三种 不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在 解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数 学表达能力。秦九韶算法是我国古代数学中的著名算法,其中蕴含的算法思想深刻,也更能 体现算法的重要性:与进位制有关的算法是计算机科学中普遍使用的算法,其中蕴含的算法 思想深刻,也更能体现算法的重要性 ◆教学目标 【知识与能力目标】 了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数,提高计算效率 的实质:了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系 进行各种进位制之间的转换。 【过程与方法目标】 学习秦九韶算法在多项式求值中的应用,并理解其中的数学规律;学习各种进位制转 换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种进位制的除k取余法,并理解其中的数学规 律
《1.3 秦九韶算法与进位制（1）》 在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序语句三种 不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在 解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数 学表达能力。秦九韶算法是我国古代数学中的著名算法，其中蕴含的算法思想深刻，也更能 体现算法的重要性；与进位制有关的算法是计算机科学中普遍使用的算法，其中蕴含的算法 思想深刻，也更能体现算法的重要性。 【知识与能力目标】 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数，提高计算效率 的实质；了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系 进行各种进位制之间的转换。 【过程与方法目标】 学习秦九韶算法在多项式求值中的应用，并理解其中的数学规律；学习各种进位制转 换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除 k 取余法，并理解其中的数学规 律。 ◆ 教材分析 ◆ 教学目标
【情感态度价值观目标】 理解秦九韶算法,领悟十进制、二进制的特点,培养学生热爱生活勤于实践的品质。 ◆教学重难点 【教学重点】 秦九韶算法的特点及其程序设计:各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换。 【教学难点】 对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解:对除k取余法理解以及各进位制之间转换的 程序框图的设计。 ◆课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 ◆教学过程 、导入部分 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法程序 设计意图:从生活实际切入,激发了学生的学习兴趣,又为新知作好铺垫。 、研探新知,建构概念 1.电子白板投影出实例。 y=2*x5-5*x4-4*x3+3*x2-6*x+7 PRINT y END 上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算。优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高。那么有没有更高效的算法? 2.教师组织学生分组讨论:先让学生分析,师生一起归纳 (1)秦九韶算法的定义:一般地,对于一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+ ao,我们可以改写成如下形式:f(x)=((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+ao
【情感态度价值观目标】 理解秦九韶算法，领悟十进制、二进制的特点，培养学生热爱生活勤于实践的品质。 【教学重点】 秦九韶算法的特点及其程序设计；各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换。 【教学难点】 对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解；对除 k 取余法理解以及各进位制之间转换的 程序框图的设计。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分 设计求多项式f(𝑥) = 2𝑥 5 − 5𝑥 4 − 4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 6𝑥 + 7当 x=5 时的值的算法程序。 设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。 二、研探新知，建构概念 1.电子白板投影出实例。 x=5 y=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7 PRINT y END 上述算法一共做了 15 次乘法运算，5 次加法运算。优点是简单,易懂；缺点是不通用，不能 解决任意多项多求值问题，而且计算效率不高。那么有没有更高效的算法？ 2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）秦九韶算法的定义：一般地,对于一个 n 次多项式f(x) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0,我们可以改写成如下形式: f(x) = (… (𝑎𝑛x + 𝑎𝑛−1 )x + 𝑎𝑛−2 )x + ⋯ + 𝑎1 )𝑥 + 𝑎0 ◆ 教学重难点 ◆ ◆ 课前准备 ◆ ◆ 教学过程
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即1=anx+an-1,然后由内向 外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,U3=12x+an-3,…1n2=vn-1x+a0;这 样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。这种算法称为秦九韶算法。 (2)秦九韶算法的用处是什么?秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。 (3)秦九韶算法的特点:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这 种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算 和n次加法运算,大大提高了运算效率。 设计意图:在自主探究,合作交流中构建新知,体验秦九韶算法的优点。 三、质疑答辩,发展思维 1、举例:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值。 解:原多项式先化为:f(x)=2x6-5x5+0×x4-4x3+3x2-6x+0.在将多项式 改成如下的形式:f(x)=(((2x-5)x+0)x-4)x+3)x-6)x+0;按照从内到外的顺序, 依次计算一次多项式当x=5时的值。v1=2×5-5=5,v2=5×5+0 25,3=25×5-4=121,v4=121×5+3=608 vs=608×5-6=3034v6=3034×5+0=15170 2、思考1:观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到uk-1的值。怎么 用秦九韶算法求多项式的 k=vk-1x+ a (k=1,2,……n)这是一个在秦九韶算法中反 复执行的步骤,因此可用循环结构来实现。 INPUTal, a2, a3, a4,as NPUT v-a WHILE n<=5 V-vo as tan-5 n=n+1 PRiNT END 思考2:我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比 如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制。那么什么是进位制?不同的
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即𝑣1 = 𝑎𝑛𝑥 + 𝑎𝑛−1,然后由内向 外逐层计算一次多项式的值，即𝑣2 = 𝑣1𝑥 + 𝑎𝑛−2, 𝑣3 = 𝑣2𝑥 + 𝑎𝑛−3,…𝑣𝑛 = 𝑣𝑛−1𝑥 + 𝑎0；这 样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值。这种算法称为秦九韶算法。 （2）秦九韶算法的用处是什么？秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。 （3）秦九韶算法的特点：把求一个 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值，通过这 种转化，把运算的次数由至多 n(n+1)/2 次乘法运算和 n 次加法运算，减少为 n 次乘法运算 和 n 次加法运算，大大提高了运算效率。 设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体验秦九韶算法的优点。 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：用秦九韶算法求多项式 f(𝑥) = 2𝑥 6 − 5𝑥 5 − 4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 6𝑥当 x=5 时的值。 解:原多项式先化为: f(𝑥) = 2𝑥 6 − 5𝑥 5 + 0 × 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 6𝑥 + 0.在将多项式 改成如下的形式：f(x)=(((((2x-5)x+0)x-4)x+3)x-6)x+0；按照从内到外的顺序， 依次计算一次多项式当 x=5 时的值。𝑣1 = 2 × 5 − 5 = 5, 𝑣2 = 5 × 5 + 0 = 25, 𝑣3 = 25 × 5 − 4 = 121, 𝑣4 = 121 × 5 + 3 = 608, 𝑣5 = 608 × 5 − 6 = 3034𝑣6 = 3034 × 5 + 0 = 15170; 2、思考 1： 观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式,可见𝑣𝑘 的计算要用到𝑣𝑘−1 的值。怎么 用秦九韶算法求多项式的值{ 𝑣0 = 𝑎𝑛 𝑣𝑘 = 𝑣𝑘−1𝑥 + 𝑎𝑛−𝑘 (k=1,2,……n)这是一个在秦九韶算法中反 复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。 INPUT𝑎1 ,𝑎2 , 𝑎3 ,𝑎4 ,𝑎5 INPUT 𝑥6 n=1 v= 𝑎5 WHILE n<=5 v=𝑣0 𝑎5 +𝑎𝑛−5 n=n+1 WEND PRINT v END 思考 2：我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比 如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制。那么什么是进位制？不同的
进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统,约定满二进一,就是二进制 满十进一,就是十进制:满十六进一,就是十六进制;等等。“满几进一”,就是几进制 几进制的基数就是几。可使用数字符号的个数称为基数。基数都是大于1的整数 如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数 字,基数是10;十六进制可使用的数字或符号有0-9等10个数字以及AF等6个字母(规定 字母AF对应10-15),十六进制的基数是16。 注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,如100101表示二进制数, 34表示5进制数。十进制数一般不标注基数 思考3:k进制数怎么转化成十进制数? 其方法是先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即 1…a1a1(k)=an×kh+ kn-1+…+a1×k1+ 再按照十进制数的运算规则计算出结果。 思考4:十进制数怎么转化成k进制数? 其方法是除k取余法,用十进制数除以k进制数,将各步所得的余数从下到上排列,就会得 到相应的k进制数。 3、例题 例1求多项式f(x)=x5-x3+2x2-3在x=5时的函数值。 解:原多项式先化为:fx)=x5+0×x14-x3+2x2+0×x-3;在将多项式改成 如下的形式:f(x)=(((x+0)x-1)x+2)x+0)x-3.按照从内到外的顺序,依次计算 次多项式当x=5时的值 U1=1×5+0=5,12=5×5-1=24,13=24×5+2=122,v4=122×5+0=610 Us5=610×5-3=3047,所以多项式在x=5时的函数值为3047 例2把89化为五进制的数 解:以5作为除数,相应的除法算式为:5L89 余数 5|17 4 2 ∴89=3244 4、巩固练习
进位制之间又有什么联系呢？ 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制；满十六进一，就是十六进制；等等。 “满几进一”，就是几进制， 几进制的基数就是几。可使用数字符号的个数称为基数。基数都是大于 1 的整数。 如二进制可使用的数字有 0 和 1，基数是 2；十进制可使用的数字有 0,1,2,…,8,9 等十个数 字,基数是 10；十六进制可使用的数字或符号有 0-9 等 10 个数字以及 A-F 等 6 个字母(规定 字母 A-F 对应 10-15),十六进制的基数是 16。 注意:为了区分不同的进位制，常在数字的右下脚标明基数，如100101（2）表示二进制数， 34（5）表示 5 进制数。十进制数一般不标注基数。 思考 3:k 进制数怎么转化成十进制数？ 其方法是先把 k 进制的数表示成不同位上数字与基数 k 的幂的乘积之和的形式,即 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 … 𝑎1𝑎1(𝑘) = 𝑎𝑛 × 𝑘 𝑛 + 𝑎𝑛−1 × 𝑘 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 × 𝑘 1 + 𝑎0 × 𝑘 0 再按照十进制数的运算规则计算出结果。 思考 4：十进制数怎么转化成 k 进制数？ 其方法是除 k 取余法，用十进制数除以 k 进制数，将各步所得的余数从下到上排列,就会得 到相应的 k 进制数。 3、例题 例 1 求多项式𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3在𝑥 = 5时的函数值。 解：原多项式先化为: f(𝑥) = 𝑥 5 + 0 × 𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 0 × 𝑥 − 3 ；在将多项式改成 如下的形式：f(x)=((((x+0)x-1)x+2)x+0)x-3.按照从内到外的顺序，依次计算 一次多项式当 x=5 时的值。 𝑣1 = 1 × 5 + 0 = 5, 𝑣2 = 5 × 5 − 1 = 24, 𝑣3 = 24 × 5 + 2 = 122, 𝑣4 = 122 × 5 + 0 = 610, 𝑣5 = 610 × 5 − 3 = 3047，所以多项式在𝑥 = 5时的函数值为 3047 例 2 把 89 化为五进制的数。 解:以 5 作为除数,相应的除法算式为: 5 89 余数 5 17 …… 4 5 3 …… 2 0 …… 3 ∴ 89 = 324(5) 4、巩固练习
(1)求多项式f(x)=4x5-3x4+2x2-x在x=5时的函数值 原多项式先化为:f(x)=4x5-3×x4+0×x3+2x2-1×x+0:在将多项式改成如 下的形式:f(x)=(((4x-3)x+0)x+2)x-1)x+0.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 5时的值 U1=4×5-3=17,v2=17×5+0=85,3=85×5+2=427,v4=427×5-1= 2134U5=2134×5+0=10670,所以多项式在x=5时的函数值为10670 (2)三进制数10221化为二进制数 解:第一步:先把三进制数化为十进制数 10221=1×34+0×3+2×32+2×32+1×3%=81+18+6+1=106 第二步:再把十进制数化为二进制数 2 余数 2 2|13 01010 106=1101010 10221=106=1101010 四、课堂小结: 1、秦九韶算法 2、进位制 五、作业布置: 课后书面作业:习题1.3A组第2和3题 ◆教学反思
(1) 求多项式𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥 2 − 𝑥在𝑥 = 5时的函数值。 解：原多项式先化为: f(𝑥) = 4𝑥 5 − 3 × 𝑥 4 + 0 × 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 1 × 𝑥 + 0 ；在将多项式改成如 下的形式：f(x)=((((4x-3)x+0)x+2)x-1)x+0.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5 时的值。 𝑣1 = 4 × 5 − 3 = 17 , 𝑣2 = 17 × 5 + 0 = 85 , 𝑣3 = 85 × 5 + 2 = 427 , 𝑣4 = 427 × 5 − 1 = 2134,𝑣5 = 2134 × 5 + 0 = 10670，所以多项式在𝑥 = 5时的函数值为 10670。 （2）三进制数 10221(3)化为二进制数 解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34 +0×33 +2×32 +2×31 +1×30 =81+18+6+1=106 第二步:再把十进制数化为二进制数: 2 106 余数 2 53 …… 0 2 26 …… 1 2 13 …… 0 2 6 …… 1 2 3 …… 0 2 1 …… 1 0 …… 1 106=1101010(2) ∴10221(3)=106=1101010(2) 四、课堂小结： 1、秦九韶算法 2、进位制 五、作业布置： 课后书面作业： 习题 1.3A 组第 2 和 3 题。 略。 ◆ 教学反思