我们还可指出 Lorentz变换(21,1)是保持dr2不变的仅 有的非异坐标变换x→*x(“非异”的意思是x(x)和x(x) 都是正规的可微分函数,并使矩阵6x/0x2有确定的逆矩阵 bx/x)一个一般的坐标变换x→x将把d变成dv ar u ax's faB dx'dx 6x? 如果此式对所有dx都等于dr2,则必有 axa ax arr ar8 把上式对x求导数得 8x′aa2x 0=a 02x3x+7a Stare axd dxr dx dxe 为要解出二阶导数,我们将上式加上y与6互换后所得的同 方程再减去E与8互换后的方程;即 axa ox9. 8x 8x 0=可 af LaxAr26x oxa ax Orax a darr dxa 62 十 azxo ax a2x a ax'axa axs axa a 最后一项与第二项相消,倒数第二项与第四项相消(因为ηe= ),第一项等于第三项,因而我们有 0=2a x arar. ax 可是因为7和Ox/0x3都是非异矩阵因而立即得到 or (2.1.8 6x0 当然,方程(218)的通解正是线性函数(21.1),把(211)代 人(21.7)中可看出A“p必满足条件(212).在第十三章中我 们将要讨论对称空间这里的证明是一个初等例子。(附带提
一下,如果我们仅假定变换x→x当d=0时,即当粒子按 光速运动时,保持4x不变,则我们会发现这些变换一般说来 是非线性的;并构成15参数群即共形群。它包含 Lorentz群 作为一个子群,不过自由粒子以恒速运动这一陈述不会是 个不变的陈述,除非这个速度就是光速。而由于世界上存在 着质量非零的粒子,所以我们必须排除把共形群作为自然界 的一种可能的不变性 形如(21.1)的所有 ,arent变换的集合被正确地称为非 齐次 Lorentz群,或 Poincare群.而a=0的子集合称为齐 次 Lorentz群,齐次 Lorentz群与非齐次 Lorentz群二者都 有子群分别称为正齐次 Lorentz群和正非齐次 Lorentz群, 其定义是对A作如下的附加要求 A0≥1;DeA=+1 (219) 注意,由(212)知 (4)2-1+∑()2≥1 〔21.10) =】:233 以及 (Det 4)=1 (2111) [方程(21.10)可由(212)取γ=δ=0而得.方程(21.1) 可由把(212)写成矩阵方程?=A7nA再取其行列式而得. 由此推出,任何A只要可以通过其参数的连续变化而变到单 位元素°在则必是正Locn变换因为通过参数的连续变化 不可能由A≤一1跳到A≥+13或者由DeA=-1跳到 DetA=+1,而单位元素有A0=+1和DeA一十1.非正 Lorentz变换包含着空间反射(DeA=-1,A0≥1),现在知 道它并非自然界的严格对称性还包含着时间反演(DeA 1,A≤-1)2人们强烈猜测它也非自然界的严格对称性 此外还包含着空间反射与时间反演的乘积,我们要研究的全
都是正1 rentz变换除非另有声明我们总假定任何 Lorentz 变换满足方程(21.9) 正次 Lorentz变换有一个子群是由转动构成的,它们 是 n 式中R;是一个么模正交矩阵(即DR=1且RR=1)而 指标ij遍历值1,2,3.只涉及转动和空一时平移x"→x“+a 时, Lorentz群与第一章中讨论过的Gllo群没有区别.区 别仅发生在那些称为推动(bost)的变换,它改变坐标系的速 度.假定一个观测者O看到一个粒子处于静止,而第二个观 测者O′看到此粒子以速度v运动,由(21)我们有 (2112) 或者,因为dx等于零, Ad;(i=1,2,3) (2I13) d e' ae monde 2114) 用d'除dx则得速度v因而 2115) 我们可以得到A与A°的第二个关系,只须在方程(212) 中令y=8=0即可: 1=A°A°e=2()-(A)3(21.1 F=123 方程组(2115)与(2116)的解是 A (21.17) (2118) 式中 ≡(1-v2)1 (2119) 其它的A不是唯一确定的,因为如果A把一个粒子由静止 变到有速度v,则A°,R(其中R是任意转动)也可把此粒子 31
由静止变到有速度v.满足方程(212)的一个很方便的选 择是 r tit (2.120) A,=yu (2121) 不难看出,任何正齐次 Lorentz变换皆可表为推动A(v)与 转动R的乘积 2.时间膨胀 虽然 Lorentz变换是为解释光速的不变性而创立的,但由 Galileo相对性原理到狭义相对性原理的改变却对以小于光 速运动着的物体有直接的运动学后果,最简单而且最重要的 是运动时钟的时间膨胀.当一个观测者注视着一个静止的时 钟时,他将看到分开两次滴答声的空时间隔是dx=0,dt= Δt,其中Δt是由时钟制造者确定的两次滴答声间的标称周 期。此观测者将计算出原时间隔(21.4)为 dτ=( 2) 看见此时钟以速度v运动的第二个观测者,将观测到两次滴 答声之间的时间间隔为d,空间间隔为dx=vt’,他将断定 原时间隔是 dt≡(d一dx")1=(1-v)dr 但已假定两个观测者都用惯性坐标系,因而他们的坐标之间 有一个 Lorentz变换关系,他们比较记录后必定会发现根据 方程(215)有d=dτ,由此推出,看到时钟在运动的观测 者,将发觉它的滴答声的周期是 d=△t(1-v2)-2 (22.) [另一种推导是用方程(21.4),(21.17)和(2119),]测量来
自宇宙线或加速器的高速不稳定粒子的平均寿命的实验,每 天都在严格的证实着上述关系.这些粒子当然不会发出滴答 声;但在这里(221)式告诉我们,运动粒子的平均寿命将比 其静止时的平均寿命长(1一v2)1倍,这完全符合用电子仪 器测量的寿命,也与测量自由程长度而得到的寿命完全符 合 时间膨胀公式(221)切不可与 Doppler效应表观时间膨 胀或收缩相混,如果我们的“时钟”是运动的光源:光的频率 是v=1/△t,则由(221)式得知相继发射的两次波前(比如 说,电场某分量的最大值)之间的时段为dt'=△(1一v) 然而,在这段时间里观测者与光源间的距离将增加v,dh’,其中 ,是v在由观测者到光源的方向上的分量.因此相继两次接 收到的波前的周期将是 t=(1+t)dr=(1+t)(1-v)-△t 即,观测者实际测量到的光的频率与静止光源的光的频率之 比是 2圆=(1+,)(1-y) (22.2) 如果光源向远处运动,即>0这必是红移.如果光源作横 向运动,即v=0,则我们得到测讨论过的纯粹的时间膨胀红 移.如果光源正对着观测者运动,即t=-,则(2.2.2)式 给出紫移,其因子是 (1+)1-,p)1 由紫移到红移的转变发生在光源运动方向直指观测者到与视 线成直角之间。 3.粒子动力学 我们假定粒子在力场中运动的速度如此之高以至不能用 3