这个三角形4BC的内角之和总是大于1S0°曲面上的二维居民们在它上面所作的测量使他们能够证实这表面确实是弯曲的.这些二维居民们总还可以说：平面几何的规律是适于描述他们的业界的，问题是出在用以测量最短路径从而定义真线的米尺上，这些居民们门可以说：米尺的长度不是不变的，当它移动到表面上的不间地点时，它会仲长或缩短只有当他们用不同的方法持续地进行测量都得到相同的结果时，欧氏几何之所以失效是由于表面弯曲这一最简单的说明才成为显而易见的，极点经线Bti图1.6对于B和C在赤道之下的这个三角形，α十？>180°，只有球面的二维“空间”是弯曲的才有可能出现这种情况。类似的论断适用于三维空间，图示的二维空间的率半径就是球的华径在这个弯曲的二维低界中，平面几何的公理并不是不证自明的真理，而且它们根本就不是真理，由此可见，宇审的真正几何必须用实验探求，它是物理学的一个分支，习惯上我们并不怀疑用欧氏几何去描述我们所在的三维世界中所作测最的正确性，这是因为欧氏几何是宇宙的几何的极好的近似，10
以致在实际测量中任何与它偏离之处都不表现出来，这当然不是说欧氏几何的适用性是不证自明的，或者甚至是完全正确的，十九世纪的大数学家高斯就提出过：三维空间的欧几里得平道性应当通过测量一个大三角形的三内角之和文加以检验，他认识到，如果三维空间是弯曲的，一个足够大的三角形的三内角之和就可能明显地不是180°高斯利用测量仪器（1821-1823）精确地测量了德国境内三个山顶所构成的三角形（图1.7）这个三角形最长的边约为100千米，他测得的三个内角分别是：86°13'58.366*53°6'45.642"40°39'30.165"总和180°0014.173"图1.7把三个山顶作为三角形的三个顶点，高斯测量了内角和。在他的测最精度范园内没有发现与180的偏离（我们没有找到估计这些数值的精确性的说明，最后两位小数很可能没有意义.由于在所有三个顶点上测量仪器都按当地的水平面安放，所以这三个水平面并不平行，必须从上面总1
利巾减去一个称为球面角的计算改正置，其值为14.853（弧秒）这样改正后的三内角之和是179°59'59.320它与180°只相差0.6S0*.高斯相信这个差数是在观测误差范围内，因而他作出结论：在这次测量的精度内，空间是欧几里得的.在前面的例子中我们看到了欧氏儿何适于描述二维球面，上的小三角形，但当三角形增大时，偏离就愈益期显，要搞清楚我们所在的究间是否确实平真，就需要去测量一些很大的三角形，这些三角形要以地球和遥远的恒星透至星系作为它们的顶点，但是我们面临着一个问题：我们的位置为地球所固定，因而我们还不能带着仪器自由地漫游于太空，从而去测量天文三角形，我们怎样才能去检验欧氏几何在描述空间中测量的正确性呢？空间曲率的估计行垦预测在太阳系范围内所作的天文观测的一致性暗示出，宇宙曲率半径的下限约为5×107厘米，如，海王星和冥王星的位置是在用望远镜观测证实它们存在以前就由计算推断出来的，由已知行星轨道的微小摄动，导致在与计算位置非常接近的地方发现了海王星和冥王星。冥王星是太阳系内最外边的一个行星，我们可以很容易地相信，只要几何学规律有微小误差，这种吻合便会遭到破坏，冥玉星轨道的平均半径是6×104厘米；预测的位置与观测到的位置高度吻合，暗示空间的曲率半径至少是5×107厘米，说空间曲率半径无限大（平真空间），也并不与争实相矛盾，在这里去讨论如何得出估计值5×107厘米的数值细节，或者去精确地说明三维空间的曲率半径的含义，那会离题太远在这种情况下，我们只好求助于球面上的二维类比，作为一种辅助手段。12：
三角视差施瓦兹希德（K．Schwarzschild）提出过另一种论证方法，在相隔六个月的两次观测中，地球相对太阳的位置改变厂3×10厘米，即地球轨道的直径。设在这两个时刻我们观测·-颗恒星，并测出图1.8中的角和β，如采空间是平直的，则两角之和α+β总是小于180°，而且当恒星成为无穷选时，两筒之和接近于180°.180°与α+β之差的-一半称为视差，但是，在弯曲空间中，α十8总是小于180这一点就不一定正确了，图1.6中所示的就是一个例子，遥远恒星光线六个月R后的地球太阳地球图1.8随瓦兹希德的证明：在平直面上α+<180°星的视差定义为（=80°-α-8)/2现在我们再回到假想的生活在球面上的二维天文学家的情形，看一看他们是怎样由测量和数α十去发现他们的空13
间是弯闹的。从前面对三角形ABC的讨论我们看到，当恒星距离为四分之一周长时，α十一180；当恒比这近时，+≤180°；当恒星比这远时，+8≥180°二维天文学家只需要去观测越来越远的恒星并出α十β，看这个和数在什么时候开始超过180°，同伴的论证对于我们的三维空间也是有效的。在对太阳相对于银河系中心的运动作适当改正之后，没有观测证据表明天文学家测出的α+β曾大于180°小于180°的&十β值被人们用来确定较近恒星的距离（三角测量法）直到大约3×10厘米仍能观测到小于180°的值，这个距离起是现代望远镜角度测量的分辨极限，由这个论证还不能直接推断出空间的曲率半径就一定大于3×102厘米，对于某些类型的弯曲空间还需要其他的论证最后得出的答案是，曲率半径（月三角测量确定的）一定大于6×101厘米，在本章开始时我们说过，已经推断出一个与宇宙相关联的特征长度是1028屋米即101"光年的数量级。这个数值，比方说，就相当于在等于宇宙年龄的这段时间内光所行进的距离；这个结果是由观测推得的，在这垦去叙述这方面的内容会显得太长了？对这个长度的最初浅的解释，是把它称为宇宙半径；另一种可能的解释，是把它称为空间的曲率半径.究竟是哪一个？这是一个宇审学问题，概括说来，我们关于空间也率的看法是：它不会小于108厘米，我们也不知道空间在大尺度范圖内不是平直的，1述看法只说到了空间的平均曲率半径，并没有涉及到1）距离测量本身假定了欧试几何是适用的，对这一点可以持异议，然而，还有一些估计距离的其他方法，它们在近代的天文学教科书中帮有讨论，2）在第十竞中提到了这方面的一个证据。14