《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案00

= D(L) = E(z - E(L)P )= f f(L)[L- E(L)P dL分别是观测值L的数学期望和方差。而0/ = /D(L) = VE(L- E(L)P)称之为观测值L的中误差。由于观测值L和其真值L的关系是：L=L+△，L=E(L)=μ，所以观测值L的真误差△的概率密度函数是：L=E(L)=μ，所以观测值L的真误差△的概率密度函数是：142(△- E(A)2f(△) =expeXD2g2g/2元2g0V2元其中E(A) = Jr (A)Ad = 0 = D(A) = E[A-E(A)P )= E()= r f(A)4dA真误差△的中误差是：= /D(A) =/E([△-E(A)P/E(4")可见观测值L的方差、中误差和其真误差△的方差、中误差相同。在相同的测量条件下观测值L和其真误差△的方差计算公式是：ZA- lim [M]2 = D(L) = D(△)= limlmnnn-→0n其估计值是A[A]=nn显然当n→时，2→。（约10分钟）二、极限误差若观测值L和其真误差△是仅含有偶然误差的随机变量，并且真误差△服从△N(0,α"）的正态分布，则真误差△出现在各种区间的概率是：P(-α<<0)= [tf(A)d~ 0.683

课       + − L = D L = E L − E L = f L L − E L dL 2 2 2  ( ) ( ) ( ) ( ) 分别是观测值 L 的数学期望和方差。而    2 D(L) E L E(L)  L = = − 称之为观测值 L 的中误差。由于观测值 L 和其真值 L ~ 的关系是： L = L +  ~ ， = ( ) =  ~ L E L ，所以观测值 L 的真误差  的概率密度函数是： = ( ) =  ~ L E L ，所以观测值 L 的真误差  的概率密度函数是：          = −          −   = − 2 2 2 2 2 exp 2 1 2 ( ( )) exp 2 1 ( )       E f 其中 () = ()  = 0  + − E f d       + −  = D  = E  − E  = E  = f   d 2 2 2 2  ( ) ( ) ( ) 真误差  的中误差是： ( )  ( )  ( ) 2 2   = D  = E  − E  ＝ E  可见观测值 L 的方差、中误差和其真误差  的方差、中误差相同。 在相同的测量条件下观测值 L 和其真误差  的方差计算公式是：   n n D L D n i n  =  = =  = → →  ( ) ( ) lim lim 2 2  其估计值是   n n i  =   =   2 ˆ 显然当 n → 时， 2 2  ˆ → 。 二、极限误差 若观测值 L 和其真误差  是仅含有偶然误差的随机变量，并且真误差  服从 (0, ) 2 ～N  的正态分布，则真误差  出现在各种区间的概率是： (−    ) = ()   0.683  + −   P   f d （约 10 分钟）

P(-2g <<20) = Jtz f(A)d△~ 0.955P(-3g<△<30)= ftg f(A)dA ~ 0.997一般以2倍或3倍的中误差作为偶然真误差的极限，即△限=2(3)o注意：极限误差知识真误差的限值，在测量上只有闭合差才是真误差，所以通常把极限误差用作求闭合差的允许值上。三、相对误差（约10分定义：某一物理量观测的中误差与其观测值之比，并归一化，称为这个观测量的相钟)对误差。举例···=Aα(弧度)=α"横向相对误差=usp"AS_Aa"应当：sp"课堂教学小结：1.偶然误差的特性。2.衡量精度的指标

( 2 2 ) ( ) 0.955 2 2 −    =     + −   P   f d ( 3 3 ) ( ) 0.997 3 3 −    =     + −   P   f d 一般以 2 倍或 3 倍的中误差作为偶然真误差的极限，即 限 ＝2(3) 注意：极限误差知识真误差的限值，在测量上只有闭合差才是真误差，所以通常把极限 误差用作求闭合差的允许值上。 三、相对误差 定义：某一物理量观测的中误差与其观测值之比，并归一化，称为这个观测量的相 对误差。 举例··· 横向相对误差       =   ＝ (弧度)＝ S u 应当：       ＝ S S （约 10 分 钟） 课堂教学小结： 1.偶然误差的特性。 2．衡量精度的指标

内蒙古科技大学教案第三章协方差转播律及权授课章节$3.1协方差转播律目的要求了解什么是协方差传播，掌握协方差传播率及其在实践的应用。1、方差传播定律的理论推导重点难点2、方差传播定律线性函数的方差在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定或不可能直接测定，而是要通过由观测值所组成的函数计算解出。如，平面三角形闭合差W就是通过三个内角的观引入新课测值计算所得，即w=180°-L，+L，+L）。闭合差w无法直接测出。（约10分钟）又如，在三角形 ABC中，已测得两个角A、B及一条边a，则依b=“siB求求b边sin A时，也是通过观测值计算函数b。[，要由观测值算出。再如，一个量n次等精度观测值的中数x=n上面的W、b及x，都是观测值的函数。显然，由观测值计算所得函数值的精确与否，主要取决于作为自变量的观测值的质量好坏。一般地说，自变量带有的误差，必然以一定规律传播给函数值，所以对这样求得的函数值，也有个精度估计的问题。即由具有一定中误差的自变量计算所得的函数值，也应具有相应的中误差。这种一些量的中误差与这些量组成的函数的中误差之间的关系式，称为误差传播律。因为中误差的平方是方差的估值，所以中误差的传播关系可以通过方差和协方差的运算规律来导出。3.1协方差的传播一、观测值线性函数的方差设随机向量X，其自协方差阵是Dxx；又假设有X的线性函数是z=KX+ko，其（约35分钟）中K和k已知，K=(k,kz,",kn)。由于Az = KAX=> A- = K(AXAXT)那么z的方差是? = E(4-")= E[(=- E(2)]- E[K(4XAXT)KT]= KE(AXAX')KI = KDxKT

内蒙古科技大学教案 授课章节 第三章 协方差转播律及权 §3.1 协方差转播律 目的要求 了解什么是协方差传播，掌握协方差传播率及其在实践的应用。 重点难点 1、 方差传播定律的理论推导 2、 方差传播定律线性函数的方差 在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定或不可能直接测定，而是 要通过由观测值所组成的函数计算解出。如，平面三角形闭合差 w 就是通过三个内角的观 测值计算所得，即 ( ) 1 2 3 0 w = 180 − L + L + L 。闭合差 w 无法直接测出。 又如，在三角形 ABC 中，已测得两个角 A 、 B 及一条边 a ，则依 A a B b sin sin = 求 b 边 时，也是通过观测值计算函数 b 。 再如，一个量 n 次等精度观测值的中数   n L x = ，要由观测值算出。 上面的 W 、b 及 x ，都是观测值的函数。显然，由观测值计算所得函数值的精确与否， 主要取决于作为自变量的观测值的质量好坏。一般地说，自变量带有的误差，必然以一定 规律传播给函数值，所以对这样求得的函数值，也有个精度估计的问题。即由具有一定中 误差的自变量计算所得的函数值，也应具有相应的中误差。这种一些量的中误差与这些量 组成的函数的中误差之间的关系式，称为误差传播律。 因为中误差的平方是方差的估值，所以中误差的传播关系可以通过方差和协方差的运 算规律来导出。 3.1 协方差的传播 一、观测值线性函数的方差 设随机向量 n1 X ，其自协方差阵是 DXX ；又假设有 n1 X 的线性函数是 0 1 1 z K X k n n = +   ，其 中 K 和 0 k 已知， ( , , , ) 1 2 n K = k k  k 。 由于 z = KX ＝＞ T T z K( X X )K 2  =   那么 z 的方差是 ( )    T XX T T T T z KE X X K KD K E z E z E z E K X X K =   = =  = − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2  引入新课 （约 10 分钟） （约 35 分钟）