这利用了公式 g ,g= det(gik (1229) 承 6 值得注意的是,不难证明 8:;=0 (12.30) §1.3曲率张量 对于G型的联络r可以定义一个张量 ors aT R 6x+r号一TF7 走 13,1) 称为G型曲率张量,它对于局部坐标变换有 R=R甲四]甲]0x (132) ar ar! 若令 R小 x R器;+Rd;r-RH;「 这在任意的坐标变换下不再是一张量,但是有 R,十R别+R距,种0, (133) 此式称为 Bianchi恒等式,可由直接计算得到,如果V中有 联接方阵φ 的线性联络B对指标j是对称 的,则可定义R的协变微分为 Rx=6R斯+Rr一R1rk art RB一R1B (134) 而(1,3.3)可以写成 R+R别十R=0, (135)
拭中钲一项皆是具有如下变换关系的张量 ≈Rq!甲站]9xxx (136) 此时亦可定义G型向量场的高次协变微分,例如 +5F趺一5°:;B 由此易见 5-§ °R (137) 或者更一般地,对于G型张量,有Rici恒等式: T时∵一T T r△1BB (138) 如果G型联络;,使得曲率张量R骯=0,称为平 (eat)联络,如果在v中,=4如8,其中是v中可 微分的,且方阵(ψ)非异,其逆方阵的元素为妙1,则由 ar -db la as>a, 小 0x1 可知满足R默=0,即r是平联络 注意G型联络r;的研究,近年来在物理学的规范场理 论中相当流行,曲率张量在物理上称为规范场强,而联终r 在物理上称为规范势,通常要求它满足下面的方程: R (1.39) 这称为杨振宁方程 现在间到微分几何通常所用的张量,对于黎曼联络
所定义的曲率张量 6 + x 6x2 (1310) ik )Irl 称为黎曼曲率张量,可以下降其逆变指标: R R (13.I1) 1 agit+agin_.ag 2、8x1xt'0x1 r axia ax 这也称为黎曼曲率张量。由此易见,它满足 R R Riit= r (1312) 及 Rx+R行+Rt (1313) 设封是x点的两逆变向量,对于此两方向的黎曼曲 率,定义为 k(x,,2)s R出5 (gt1-g4;)5 (13.14) 令 Rit=rji (13.15) 这称为Rci曲率张量,由(1,1.12)易知,它是对称的,即 R=R1方向的Rici曲率定义为 riss (1316) 标量 R R 1,3.l
称为标量曲率。 现在 Bianchi等式(1.3.5)可以写为 Rh+R;十R时=0 13.18) 把上式指标r与讠拼缩,即令r=i,且对i从1到m求和, 便有 R小十R1一R:= 再乘上式以B并对指标5,丙求和,有 1 oR R 26x1 因此,若令 j gR+A决,(1319) 其中A为常数则有 T (1320) 反之,若给与T满足(1.3.20)而求在中非异对称张量g 满足方程(1.3.18)则方程(1.3.19)称为 Einstein方程,这是 引力理论中最基本的方程,特别是T=0时,方程化为下面 的形式 R git. (1321) 如V存在8满足上述方程称为 Einstein空间,以gt乘 (1.3.21),得出R=m2,即方程化为 R 火 Bi 由此可知 R=题 aR x 因此易证,当m午2时标量苗率必须是常数因而方程(13. 21)中A必须是常数
用同样方法可以证明,当m>2时,如果曲率1.3.4)与 方向§4无关,即 R g一gig 则K必为常数.因为用gg"1乘上式,便可得出R m(m-1)K,又由 R (g;AH→B)K 此即 18K K 2 ax x 现设是V中另一可微分的、对称的非异的二阶协变张 量于是有相应的Chso号{}及曲举张量R等,若 g计 其中d是V中可微分实函数,则由计算可知 R厂-{++ak-g2G (1322) 其中 arl 再根据曲率张量的定义,可计算得出 Ri+8/ 8a; 十g(gkσAn-g;h)十(一联g1)g"J,(13,23) 其中 由(13.17)得出 =R1一(m一2) gLg可 +(m-2)g1oa], (1324)