.2),有 §(￥)=5(*)[q(x)l8, 微分后有 001甲r(x)10x+s2y(6)l.(1 从上式中可看出,5的微分不再成为G型张量,为了设法使 之成为另一矩阵李群G1型的张量,我们引进一个联络的概 念 设G是r维N×N矩阵群。在中有一G型联络,即 对于G的一组基方阵T有一组V中可微分量(x)(4 l,…,r;=1,…;m),使得经坐标变换(1.1.2),在中 相应的量f;x有如下的关系: ∑rK()T.-{()Sr()mH aow(r axt (128) 令q计(x)=甲(x)的参数为φ;x,a=1,…,r,于 是由(1.2.4),有 pg()q(x)=-甲(#)2( -p()-0p,()5g?() appy ∑吹(()r, ax 其中以q(x))表示以a(p(x),…,甲(x 根据(I.2.6),可把(1.2,8)写成
()=∑A(甲P(2)T +∑(甲以(9④ (129) 另一方面,若令 T, =(taB)i<,B<N3 L210) 及 T&T (121) 则(1.2.8)写成矩阵元素的形式为 f3()=(p(x)]m2(x)()胎 alpv()li x [(x)] (1212) 有时我们称满足上面条件的T(x)为G型联络 我们可定义G型向量场5(x)的对于联络r的协变微 分为 5 (1213) 则由(1.2.12)可知,对于坐标变换有 O2+7 Fv()17 as 此即 5;=5k【甲()01A (124) 这说明5是G1型张量,其中G1G×GL(m,R),G1 的元素是由直乘AXB组成的,A∈G,B∈GL(m,R)
联接方阵ψ(x)是如下的定义: (L-2.1 其中B′表矩阵B的转置。这里r×矩阵 与m×n矩阵 B 的直乘A×B即rm×sn矩阵为 a2B…a}B A×B B···arB 至于G型的权σ的r阶逆变,S阶协变的张量T寓的对 于联络r的协变微分可作如下定义: T 十T对 Hgr+σT2,(1216) 从计算中可得出,对于局部坐标变换(1.1.2)有如下的关系式: 对一 甲F)Th 6 ×【q]为…【甲}{卯趵……[甲动].(217) 注意在计算上式时,必须用到由(12,12)所导出的变换公式
Fa= ts oxl log ldetoPprI (1218) 此外,不难证明,两G型张量的乘积的协变微分满足普通的微 分规则,即 (T-S宀);=T¨影$"+T¨歇S☆,∷(1.2.19) 在上节中曾说明,微分几何中常用的群G是全线性群 GL(m,R),此时的G型联络称为线性联络.现设r是线 性联络,联接方阵甲v(x)=0 设y是V中的协变向量场,它的协变微分,根据定义为 2 由此可知 -5m-(-3) Or+ risw 显然 是一个二阶协变张量,因此 也是一个二阶协变张量,对于指标j是反对称的。此张量 称为挠率张量 如果v中有一个二阶协变可变分张量场8它是对称 的,即 g〓郾 (1221) 并且是非异的,即行列式 gu·‘·glm (1222) g, gr ·12·
在V中不为零,则可定义欧所构成的方阵的逆方阵,其元 记为g,即 g 8AL 显然是二阶逆变张量场 由可微分的、对称的实非异的二阶协变张量场8决可以 定义 Christoffel符号: 9g+9-38 ark ax ar (1224) 它对于指标1是对称的.从计算中可得出,对于局部坐标 变换有如下关系: ax' ararar ar2 98x00bx20B(12,25) 由此可知,,}定义了一个线性联络,称为黎曼联络.由于 它对指标jk是对称的,故挠率为零。对此线性联络,V 中向量场§的协变微分 十§ (1226) 对于坐标变换有 "弁。Ox (1227) 对于权a的张量的协变微分为 T死日x T名-+T出思 ∑T T alog√Ig ,(1228) 6