+1△Px1+2+1△ ,-mx=∠P2P,a.△-△2-0 弦长修正系数21 从公式可知,与前后邻弦长 △P 相比 1越小,且与前后邻弦边夹角的 外角1和?(不超过2时)越大,则修正系数就K就越大 参数区间的规格化 入、参数化区间一般是650,1,我们通常将参数区应 规格化为[0,1],只需对参数化区间作如 处理 =0,1 t 31.1.5参数曲线的代数和几何形式 我们以三次参数曲线为例,讨论参数曲线的代数和几何形式 1.代数形式 一条三次曲线的代数形式是 x(2)=a3t+a2xt"+at+aox (2)=a3y+a2,"+aIyE+aoy tE[0,1] 2()=a342+a22+ant+a 方程组中12个系数唯一地确定了一条3次参数曲线的位置与形状。上述代数式写成矢量式是: P()=a23+a212+a1t+aot∈[0, (3.1.1) 其中041,2,3是代数系数矢量,P(t)是三次参数曲线上任一点的位置矢量。 2.几何形式 描述参数曲线的条件有:端点位矢、端点切矢、曲率等。对三次参数曲线,若用其端点位矢P(O)、P(1)和切矢 P?(0)、P(1)描述,并将P(0)、P(1)、P?(0)和P(1)简记为P、P1、P和P,代入(3.1.1)式得(如图3.1.5所示) 320+31-2P0-B 22-2+6+F 将(3.1.2)代入(3.1.1)整理后得 P()=(22-32+1)20+(-2+32)B+(23-22+2+(3-t2)1t∈[0,1 (3.1.3) F()=2-3x+1F1() G()=2-2+tG1(=2-t 将F,F,Gn,G1代入(3.1.3)式,可将其简化为 P()=202+2B+G0+∈[01](31 (3.1.4)式是三次 Hermite(Ferguson)曲线的几何形式,几何系数是P、P1、P3和P 计算机图形学第三章(1)第52页共29页
计算机图形学 第三章(1) 第 52 页 共 29 页 其中： 弦长修正系数 。从公式可知，与前后邻弦长 及 相比，若 越小，且与前后邻弦边夹角的 外角i-1和 i(不超过 时)越大，则修正系数就 K i 就越大。 5. 参数区间的规格化 参数化区间一般是 ；我们通常将参数区间 规格化为[0, 1]，只需对参数化区间作如 下处理： 3.1.1.5 参数曲线的代数和几何形式 我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。 1．代数形式 一条三次曲线的代数形式是： 方程组中 12 个系数唯一地确定了一条 3 次参数曲线的位置与形状。上述代数式写成矢量式是： (3.1.1) 其中 是代数系数矢量，P(t)是三次参数曲线上任一点的位置矢量。 2．几何形式 描述参数曲线的条件有：端点位矢、端点切矢、曲率等。对三次参数曲线，若用其端点位矢 P(0)、P(1)和切矢 P(0)、P(1)描述，并将 P(0)、P(1)、P(0)和 P(1)简记为 P0、P1、P0和 P1，代入(3.1.1)式得（如图 3.1.5 所示）： (3.1.2) 将(3.1.2)代入(3.1.1)整理后得： (3.1.3) 令： , , 将 F0,F1,G0,G1代入(3.1.3)式，可将其简化为： (3.1.4) (3.1.4)式是三次 Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是 P0、P1、P0和 P1
P(1) P(E) 3.1.5 Ferguson曲线端点位矢和切矢 我们把F,F1,C,G称为调和函数(或混合函数),即该形式下的三次 Hermite基。它们具有如下的性质 2()=G:()= F()=G2()=0 F和F1专门控制端点的函数值对曲线的影响,而同端点的导数值无关;G和G1则专门控制端点的一阶导数值对 曲线形状的影响,而同端点的函数值无关。或者说,F和G控制左端点的影响,F1和Gn控制右端点的影响。图3.1.6 给出了这四个调和函数的图形 调和函数不是唯一的,任何满足(3.1.5)式C类多项式函数都可以作为调和函数使用,其中F0和F1必须是单调 连续函数。F(t)=1-t,F1(t)=t是一次多项式调和函数 F G 图3.1.6三次调和函数 3.1.1.6连续性 设计一条复杂曲线时,常常通过多段曲线组合而成,这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题 曲线间连接的光滑度的度量有两种:一种是函数的可微性,把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续 导矢,即n阶连续可微,这类光滑度称之为C或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性,组合曲线在连接处满 足不同于C的某一组约束条件,称为具有n阶几何连续性,简记为G。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾,C 连续包含在￠连续之中。下面我们来讨论两条曲线的连续问题。如图3.1.7所示,对于二条曲线P(t)和Q(t),参 [0] 若要求在结合处达到G连续或C连续,即两曲线在结合处位置连续: (1)=Q(0)(3.1.6) 若要求在结合处达到G连续,就是说两条曲线在结合处在满足G连续的条件下,并有公共的切矢: Q(0)=a2(1 >0) (3.1.7) fa=1时,G连续就成为C连续。 计算机图形学第三章(1)第53页共29页
计算机图形学 第三章(1) 第 53 页 共 29 页 我们把 F0,F1,G0,G1称为调和函数（或混合函数），即该形式下的三次 Hermite 基。它们具有如下的性质： (3.1.5) F0和 F1专门控制端点的函数值对曲线的影响，而同端点的导数值无关；G0和 G1则专门控制端点的一阶导数值对 曲线形状的影响，而同端点的函数值无关。或者说，F0和 G0控制左端点的影响，F1和 G1控制右端点的影响。图 3.1.6 给出了这四个调和函数的图形。 调和函数不是唯一的，任何满足(3.1.5)式 C 1类多项式函数都可以作为调和函数使用，其中 F0和 F1必须是单调 连续函数。F0(t)=1-t,F1(t)=t 是一次多项式调和函数。 3.1.1.6 连续性 设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。 曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到 n 阶连续 导矢，即 n 阶连续可微，这类光滑度称之为 C n或 n 阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满 足不同于 C n的某一组约束条件，称为具有 n 阶几何连续性，简记为 G n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n 连续包含在 G n连续之中。下面我们来讨论两条曲线的连续问题。如图 3.1.7 所示，对于二条曲线 P(t)和 Q(t)，参 数 。 若要求在结合处达到 G 0连续或 C 0连续，即两曲线在结合处位置连续： P(1)=Q(0) (3.1.6) 若要求在结合处达到 G 1连续，就是说两条曲线在结合处在满足 G 0连续的条件下，并有公共的切矢： (3.1.7) 当 时，G 1连续就成为 C 1连续
若要求在结合处达到G连续,就是说两条曲线在结合处在满足G连续的条件下,并有公共的曲率矢 P(×P(1)g(0)xg(0 (3.1.8) 代入(3.1.7)得 F()×g(0)=a2P()xP"(①) 这个关系为 g(0)=a2F(1)+B2()(3.1.9 为任意常数。当a=1,=0时,G连续就成为C连续 Q() Q(1) Q(0) 图3.1.7两条曲线的连续性 们已经看到,C连续保证G连续,C连续能保证G连续,但反过来不行。也就是说C连续的条件比G连续的 条件要苛刻。 3.1.2 Bezier曲线与曲面 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年,法国雷 诺汽车公司的P.E. Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法,并用这种方法完成了 种称为 UNISURF的曲线和曲面设计系统,1972年,该系统被投入了应用。 Bezier方法将函数逼近同几何表 示结合起来,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 31.2.1 Bezier曲线的定义和性质 1.定义 给定空间n+1个点的位置矢量P1(i=0,1,2,…,n),则 Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是 P(t)=∑2B:2(2),t∈[0, 其中,P1构成该 Bezier曲线的特征多边形,B:n(t)是n次 Bernstein基函数: B2x()=C2(1-)2=-如 (=0,1;,n) i!(2-)! 0°=1,0!=1 Bezier曲线实例如图3.1.8所示 2 图3.1.8三次 Bezier曲线 2. Bernstein基函数的性质 0t=0,1 B.(t)= >0t∈(0,1),i=1,2;…,n-1 (2)端点性质 计算机图形学第三章(1)第54页共29页
计算机图形学 第三章(1) 第 54 页 共 29 页 若要求在结合处达到 G 2连续，就是说两条曲线在结合处在满足 G 1连续的条件下，并有公共的曲率矢： (3.1.8) 代入(3.1.7)得： 这个关系为： (3.1.9) 为任意常数。当 ， 时，G 2连续就成为 C 2连续。 我们已经看到，C 1连续保证 G 2连续，C 1连续能保证 G 2连续，但反过来不行。也就是说 C n连续的条件比 G n连续的 条件要苛刻。 3.1.2 Bezier 曲线与曲面 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。1962 年，法国雷 诺汽车公司的 P.E.Bezier 构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一 种称为 UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972 年，该系统被投入了应用。Bezier 方法将函数逼近同几何表 示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 3.1.2.1 Bezier 曲线的定义和性质 1．定义 给定空间 n+1 个点的位置矢量 Pi（i=0，1，2，…，n），则 Bezier 参数曲线上各点坐标的插值公式是： 其中，Pi构成该 Bezier 曲线的特征多边形，Bi,n(t)是 n 次 Bernstein 基函数： 0 =1, 0!=1 Bezier 曲线实例如图 3.1.8 所示。 2．Betnstein 基函数的性质 （1）正性 （2）端点性质
B,, D (t)=1t∈(0,1) (t)=>cit( =[(1-t)+]=1 由二项式定理可知: (4)对称性 B;2()=Bx() B()=C31-(1-2+3)(1-1)2=C2(1-1)2=B12(1-t) (5)递推性。 B:2()=(1-)B1()+tB1x()(=01,…,n) 即高一次的 Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成 B2x()=ct(1-t)2=( (1-0)C:2(1 Ct2-(1 因为, (1-)Bx1(t)+tB21x1() (6)导函数 Bn(t)=n[B11(t)-B1m1(t,i=0,1,…,n; B(+ (7)最大值。1·在处达到最大值。 (8)升阶公式 (1-)B2(t)=(1 n+12an1() i+1 +1241 i+1 Bx()=(1 B:+() B3+.+1() (9)积分 Bx(2) 3. Bezier曲线的性质 (1)端点性质 曲线端点位置矢量 由 Bernstein基函数的端点性质可以推得,当t=0时,P(0)=Po:当t=1时,P(1)=P。由此可见, Bezier 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合 切矢量 P()=x∑[B1x1()-B1x1() 因为 ,所以当t=0时,P(0)=n(P1-P),当t=1时,P(1)=n(PP) 这说明 Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致 二阶导矢 P()=x(x-1∑(2-2Pn1+B)B12( 计算机图形学第三章(1)第55页共29页
计算机图形学 第三章(1) 第 55 页 共 29 页 （3）权性 由二项式定理可知： （4）对称性 因为 （5）递推性。 即高一次的 Bernstein 基函数可由两个低一次的 Bernstein 调和函数线性组合而成。 因为， （6）导函数 （7）最大值。 在 处达到最大值。 （8）升阶公式 （9）积分 3．Bezier 曲线的性质 （1）端点性质 a. 曲线端点位置矢量 由 Bernstein 基函数的端点性质可以推得，当 t=0 时，P(0)=P0 ；当 t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 b. 切矢量 因为 ，所以当 t=0 时，P’(0)=n(P1-P0)，当 t=1 时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， 这说明 Bezier 曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 c. 二阶导矢
当t=0时,2(0=m(2-(2-2+0) 当t=1时,2(D)=(2-1D(2-221+2n2) 上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关,与更远点无关。 k(t)= p()×xF() 将P(0、P(0)QF0、F)代曲率公式o 可以得到 Bezier曲线在端点的曲 率分别为: k(0) (R-P)X(P-P) -2 k(1) 1(PR-1-PM-2)X(PR-PR |P k阶导函数的差分表示 n次 Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为 △F2B13k(C)t∈[0, 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义: △2=△k1 例如:△B=B △2=△P1-△B3=Pn1P △21=△E1-△B=12-2P1+ (2)对称性。由控制顶点 F=Py(i=0,1…,n) 构造出的新 Bezier曲线,与原 Bezier曲线形状相 ,走向相反。因为: C*()-∑FB,-∑22()-∑232(1-1)-∑B2(1-D,t∈0 这个性质说明 Bezier曲线在起点处有什么几何性质,在终点处也有相同的性质 (3)凸包性 之B,日0≤B()10≤:1=0…n),这一结果说明当t在[D,1区间变化时 对某一个t值,P(t)是特征多边形各顶点的加权平均,权因子依次是2。在几何图形上,意味着 Bezier 曲线P()在∈[0,1中各点是控制点B的凸线性组合,即曲线落在P构成的凸包之中,如图3.1.9所示 凸包 图3.1.9 Bezier曲线的凸包性 (4)几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多 边形顶点2(=01…)的位置有关,它不依赖坐标系的选择,即有: B2()=∑?B2 (参变量u是t的置换) 计算机图形学第三章(1)第56页共29页
计算机图形学 第三章(1) 第 56 页 共 29 页 当 t=0 时， 当 t=1 时， 上式表明：2 阶导矢只与相邻的 3 个顶点有关，事实上，r 阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。 将 、 及 、 代入曲率公式 ，可以得到 Bezier 曲线在端点的曲 率分别为： d. k 阶导函数的差分表示 n 次 Bezier 曲线的 k 阶导数可用差分公式为： 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 例如： （2）对称性。由控制顶点 构造出的新 Bezier 曲线，与原 Bezier 曲线形状相 同，走向相反。因为： 这个性质说明 Bezier 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 （3）凸包性 由于 ，且 ，这一结果说明当 t 在[0，1]区间变化时， 对某一个 t 值，P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着 Bezier 曲线 P(t)在 中各点是控制点 Pi的凸线性组合，即曲线落在 Pi构成的凸包之中，如图 3.1.9 所示。 （4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier 曲线的位置与形状与其特征多 边形顶点 的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： （参变量 u 是 t 的置换）