合金凝固过程的微分型本构方程及其蠕变与松弛特性

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.01.011 第17卷第1期 北京科技大学学报 Vol.17 No.1 19952 Journal of University of Science and Technology Beijing Fcb.1995 合金凝固过程的微分型本构方程 及其蠕变与松弛特性 张家泉)于震宗) 林家骝2) 1)北京科技大学冶金系，北京1000832)清华大学机被系，北京100084 摘要指出了加强合金凝固温区力学特性研究的工程意义：基于作者近来的实验研究结果及所提 出的流变模型，进一步揭示了合金凝固过程相应的微分型本构方程及其蠕变与松驰特性· 关键词合金，凝固，本构方程，蜗变，松驰 中图分类号TG111.4,037 Constitutive Equations and Creep,Relaxation Properties of Alloy during Solidification Zhang Jiaquan)Yu Zhengzong?)Lin Jialiu2) 1)Department of Metallurgy,USTB,Beijing 100083,PRC 2)Department of Mechanical Engineering,Tsinghua University ABSTRACT The engineering importance to study the mechanical properties of alloys during solidification is pointed out.Based on the experimental results and the rheologic models obtained by the authers recently,the constitutive equations and the creep,relaxation properties are revealed. KEY WORDS alloy,solidification,constitutive equation,creep,relaxation 合金凝固温区内的力学特性研究是热加工工艺理论的重要基础，当前，随着凝固数值模 拟工作的深人开展，这一研究领域开始受到高度重视·另一方面，限于常规固体力学实验 手段难以胜任，有关研究报导十分有限·巴朗金等利用浸人式熔融合金静态剪切的方法，从 流变力学角度提出合金凝固过程的五元件流变型小：本文作者依据类似方法提出了合金在凝 固初期（准液态）及凝固后期（准固态）为五元件模型，而在两者之间存在一个较窄的过渡 温区，此时合金为六元件流变模型2引.为此，本文进一步揭示其相应的微分型本构方程， 并推演其蠕变与应力松驰特性， 1合金凝固过程微分型本构方程 图1为作者依据实验结果所提出的合金凝固温区流变模型.由图1()可知，五元件模型 之应力/应变关系可写为： 1994-05-10收稿 第一作者男30岁博士后

第 卷 第 期 北 京 科 技 大 学 学 报 望巧 年 月 。 。 功 。 臾巧 合金凝 固过程 的微分型 本构方程 及其蠕变 与松弛 特性 张 家泉 ’ 于 震 宗 林 家榴 北 京科 技大 学 冶金 系 ， 北 京 侧 阳 清华 大 学机械 系 ， 北京 阳汤 摘要 指 出了 加强 合金凝 固温 区力学特性研究 的工 程 意义 基于 作者近来 的实验研究结果及所提 出的流 变模 型 ， 进一步揭示 了合金凝 固过程 相 应 的微分型本构方程及 其蠕变 与松驰特性 关扭词 合金 ， 凝 固 ， 本构方程 ， 蠕 变 ， 松驰 中图分类号 一 ， ， 叩 乙 加 众 妊男 ， ， 阳旧 ， 块 此 油切 司 吧 ， ， ， ， ， ， ， 合金凝 固温 区 内的力学特性 研究 是 热加 工 工 艺理论 的重要基 础 当前 ， 随着凝固数值 模 拟工作 的深人 开展 ， 这 一研究 领 域 开 始 受 到 高 度 重 视 另 一 方 面 ， 限 于 常 规 固 体力 学 实验 手段难 以胜任 ， 有 关研究报 导十分有 限 巴 朗金 等利 用浸 人式熔融合金静态剪切 的方法 ， 从 流变力 学 角度提 出合金凝 固过程 的五元件 流 变 型 ’几本 文作 者依 据 类 似 方 法 提 出 了 合 金 在 凝 固初期 准液态 及凝 固后 期 准 固态 为五元 件模型 ， 而 在 两 者之 间存在一个较窄 的过渡 温 区 ， 此 时合金 为六元 件 流 变 模 型 踌 为 此 ， 本 文 进 一 步 揭 示 其 相 应 的微分 型 本 构 方 程 ， 并推演其蠕 变 与 应 力松驰 特性 合金凝 固 过程微分型本构方程 图 为作者依据 实验结果所 提 出的合金 凝 固温 区流 变模 型 由图 可 知 ， 五元件模型 之应力 应变 关 系可 写 为 卯 一 一 收稿 第一 作者 男 岁 博 士 后 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1995．01．011

·42· 北京科技大学学报 1995年No.1 y=7H +7x +7B (1) t=GIYH (2) T=GIYx +n17x (3) 0 ≤f =-,> (4) (a) 式中：t为剪应力，Y为剪应变；下标H、K、B 分别代表流变模型中的Hooke体、Kelvin体及 wMM Bingham体；G,为Hooke体弹性模量，f为St. Venant体塑性值，n,、n2为Newton体粘度. (b) (1)式两边对时间微分得： 氵=7H+7K+7B (5) 联立求解(1)~(S)式，消去应变分量yH、Yk、 YB,并注意到：、≠0可得： 图1合金流变模型 (a)准液态及准固态；(b)过渡区 G27-1i+G+G21 π≤f G11 ”云*（片+品+0+8-n话1 y+- (6) 2 1: 上式即为合金在准液相及准固相遵守的五元件模型的微分型本构方程· 对于合金过渡温区的六元件模型，由图1(b)同样可知其应力/应变关系为： y=7EP Yx YB (7) 0 t≤f YEP= (8) ((x-)/G t>∫ =YKG2+nYK (9) 0 T≤f (10) (t-)/n, t>f 式中：为六元件中弹塑性并联元件中St.Venant体塑性值，下标EP代表弹塑性并联元件；其 余符号意义同前述联立(7)~(10)式，同样不难获得： t<f<f 11 +G:=(1+1)+G:(-0- ,fKπ< (11) 1112 1112 *号古（片六品） G:)i+6:(r-0 n 12 1,12 t>f>f 71G1

北 京 科 技 大 学 学 报 如 年 、、 矛护户， ︸，内 ， 、、了了了硬 召了、 、 下二 下 十 下 下 下 叮一 一 叮 感 一 ‘ ‘ 。 式 中 为剪应力 ， 下 为剪 应变 下 标 、 、 分 别 代 表 流 变 模 型 中 的 体 、 体 及 体 ， 为 体 弹 性 模 量 ， 了为 体 塑性 值 ， 叮， 、 叮 为 卜化诚。 体粘 度 式 两边 对时 间微分得 下 下 下 联 立 求解 一 式 ， 消去应 变分量 下 、 下 、 下 ， 并 注 意 到 仑 、 了举 可得 图 合金 流变模型 准液态及准 固态 过渡区 李 杆 一叮 毛 上 补 止 止 十 、 叮 叮 一叮 ， 八 － 气不 一 一 叮一叮 －叮 丛一仇叭 十 。 勺﹄ ‘ 、 ， 诊 、、少声 只 口、、了了 上 式 即 为 合 金 在 准 液 相 及 准 固 相 遵 守 的 五 元 件 模 型 的 微 分 型 本 构 方 程 对于 合金 过 渡温 区 的六 元 件模 型 ， 由图 同样 可 知其 应力 应 变 关 系 为 下 下 之 一 五 下 叮 下 一 万 一 叮 蕊 关 五 簇 式 中 关为 六元 件 中弹 塑性 并联元件 中 知 体塑性 值 ， 下 标 代 表 弹 塑 性 并 联 元 件 其 余 符号 意 义 同前 述 联立 一 式 ， 同样 不难获得 ， 下十 一叮 一粉 五 一 上 十 上 许 叮 叮 叮一叮 ， 八 二 工 、 ‘ 一 少一 － 、 ‘ 、 力 叮 叮 叮 叮 一 一 力 ，龟了、 ︻ 叭 十 ﹄ 一仇小 ︺ 二 工 叮 五 叭一 · 一勺一 关 胜 一幻叮

Vol.17 No.1 张家泉等：合金凝固过程的微分型本构方程及其蠕变与松弛特性 .43, (11)式便为准液相至准固相过渡温区内合金的微分型本构方程. 由上可见，合金凝固过程的本构方程(6)、(11)式特点为：当载荷小于塑性值时为一 阶微分方程，而当载荷大于塑性值时则为二阶微分方程， 2合金凝固过程的蠕变特性 由(6)及(11)式出发，令蠕变应力常数为t。,并引人单位阶跃函数4，(t: (0 t<0 w,(0={1 (12) t≥0 式中t为加载时间， 对于五元件模型，依据(6)式，当t。>∫时有： =tou(t),ffu(t) 由Laplace变换性质： =to(t)=t(1/s).f=f(1/s) 由上面对(6)式相应作Laplace变换，并代人t=0~时的初始条件： t(0-)=(0-)=y(0-)=(0-)=f0-)=0 可得： 7=bto/(s+a)+(cto-ef)/s(s+a)+(dto-df)/si(s+a) (13) 式中：a=G1/m1,b=1/G1,c=1/n,+1/n2+G:/m,G1,d=G2/m,n,e=1/n2· 对（13)式再进行L逆变换，并整理可得： 7=+-忌1-em) to>f (14) 12 t≤∫时，同样可得： 7=8+&1-e6) to≤∫ (15) (14)、(15)式即为合金在准液态及准固态的蠕变方程. 对于过渡温区，由(11)式，令t。=cost,同理可得其蠕变方程为以下(16)~(18)式： 7=&（1-e6） t,≤f≤fi (16) y=t-(1-ec) (17) G, f≤t,≤f 7=+-1-e）o>万> (18) 73 由蠕变方程(14)~(18)式可见，合金凝固温区的蠕变应变取决于载荷大小及其作 用时间；较高应力水平下，7为瞬时弹性，推迟弹性及粘塑性应变的代数和（见(14）及 (I8)式)，因而符合Baltzmann叠加原理；对于六元件模型，其初始瞬时变形为弹塑性耦 合变形(x。一f)/G1,与实测结果相一致

张家泉等 合金 凝 固过程 的微 分型 本构方程 及 其蠕 变 与松弛特性 式 便 为准液相 至 准 固相 过 渡温 区 内合金 的微 分 型 本 构方 程 由上 可 见 ， 合金 凝 固过程 的本构方程 、 式特 点 为 当载 荷 小 于 塑 性 值 时 为 一 阶微分方 程 ， 而 当载荷 大 于 塑性值 时则 为二 阶微分方 程 合金凝 固过程 的蠕变特性 由 及 式 出发 ， 令蠕 变应力 常数 为 。 ， 并 引人 单位 阶跃 函数 “ ， ，气‘ ，一 飞 式 中 为加 载时 间 对 于 五 元 件 模 型 ， 依 据 式 ， 当 。 时 有 。 ， 由 变 换 性 质 石 。 万 ， 。 ， 由 上 面对 式 相 应 作 变 换 ， 并 代 人 一 时 的 初 始 条 件 一 二 一 下 一 ， 一 一 可 得 了 。 。 一 。 一 力 式 中 叮 ， ， 加 ， 加 叮 ， 叮 叮 ， 加 对 式 再 进 行 逆 变 换 ， 并 整 理 可 得 互卫 叮 丁 一 一 ， ‘ ” ， 、 。 一 一民 落 时 ， 同 样 可 得 一一巴二 门 一 ， 十 一 厂小 。 簇 、 一 一， 、 式 即为合 金 在 准 液态 及 准 固态 的蠕 变方 程 对于 过 渡 温 区 ， 由 式 ， 令 ，廿‘ 一 勺 ， ， 同 理 可 得 其 蠕 变 方程 为以下 一 式 。 成 成 厂 、 了 ，只︸了 、， 气、护 一 二二 了、 叮 一 二三二 十 早 门 一 行 、 广 小 少飞 。 续 关 三二 。 叮 。 。 才 ’ 一 “ 一 “ “ “ ’ ‘ “ 由蠕变方 程 一 式 可 见 ， 合金 凝 固 温 区 的 蠕 变 应 变 取 决 于 载 荷 大 小 及 其 作 用 时间 较 高应力 水 平 下 ， 下 为 瞬 时 弹 性 ， 推 迟 弹 性 及 粘 塑 性 应 变 的代 数 和 见 及 式 ， 因而 符合 刀 以 叠 加 原理 ’伙 对于 六 元件 模 型 ， 其初 始 瞬时变 形 为 弹 塑 性 祸 合变形 一 、 ， 与 实测 结果 相 一 致

·44· 北京科技大学学报 1995年No.1 3凝固过程应力松弛特性 设t=0时，已产生应变y,令y=const,.则松驰方程同样由(6)及(11)式可得. 由(6)式，当t>f时，则有： y=yu(t),f=fu(t) 以t=0一为初始条件，对(6)式作L变换，并注意到： y(0-)=y(0-)=x(0-)=x(0-)=f0-)=0, 7=y(1/s), f=f(1/s) 可得： 【=言s+6+两+号g+46++0+++号g+s+面9 -+a21 df 1 式中： A.B=(c/b±√(c/b)2-4(d/b))/2 其中：a、b、c、d、e记号同(13)式，可以证明：(c/b)2-4(d/b)>0,并且，A、B恒为正 实数， 对(19)式施加L逆变换整理可得： t=f+Ce-4r De-B π>f (20) 式中： C=(-A2y+aAy-dfAe)/bA(B-A) D=(B2y-aBy+df-Bef)/bB(B-A) 当t≤∫时，同理可推得： =G2&.7+w-C0go8w t≤f (21) 以上(20)、(21)式即为合金在准液态及准固态时的应力松驰方程· 对于过渡温区，由(11)式，令y=const,并注意t>1>∫时，松驰工况的载荷条件为： y=yu,(t) f=fu(t) f=fu,(t) 同理可推演出其应力松弛方程为以下(22)~(23)式： t=G,Y t≤fKf (22) t=∫+(to-)e-6%: fKπ≤f (23) t=f+C,e-"+D,e-8 π>>∫ (24) 其中： C:=(-7A2-bfiA?+ayA+e'fiA+gfA-df)/CA(B-A) D=(B2+bfiB2-ayB-e'fiB-gfA+df)/bB(B-A) 式中：e'=G2/n,G1,g=1/m2,其它记号同前述

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 白 凝 固 过程应 力松弛特性 设 时 ， 已 产 生 应 变 下 ， 令 下 ， 则 松 驰 方 程 同 样 由 及 式 可 得 由 式 ， 当 可 时 ， 则 有 下 下 ， ， 以 一 为初 始条件 ， 对 式作 变换 ， 并 注意 到 下 一 下 一 一 一 一 ， 下 ， 可得 下 “ ， 卿 。 上 “ 一 万丁 万二兀了石灭丁厄石丁石万 下 几丁 万万丁了万灭丁万石丁石万 丁 币丁 一二丁二万不万下工，万不 「万丁万万工不兀下万二 一石万 〔 夕 气。 一 入 八 。 丁 ” 少 ， 气。 丁 门 八 。 一 ， 少 。 气。 ’ 月 八 ‘ ， 少 口 、 ’ 八 八 ’ ” 少 式 中 ， 二 士 丫 ， 一 其 中 、 、 。 、 、 。 记号 同 式 ， 可 以 证 明 ’ 一 ， 并 且 ， 实数 对 式 施加 逆 变换整 理 可 得 一 ‘ 一 ， 式 中 恒 为 正 当 以 上 一 下 下一 一 ，下一 一 时 ， 同理 可 推得 一 、 下十 。 一 下 叮 毛 式 即为合金 在 准液态及 准 固态 时 的应力松驰方程 对 于 过 渡 温 区 ， 由 式 ， 令 下 ， 并 注 意 五 时 ， 松 驰 工 况 的 载 荷 条 件 为 下 ， 关 关 同理 可 推演 出其 应力 松弛方 程 为 以 下 一 式 二 下 蕊 五 十 。 一 力 一 “ 川 ” ，” 簇 五 、 一 月 ‘ 一 ‘ 五 其 中 ， 钊 一 ’ 一 为 ’ “ 下 。 ‘ 为 夕 一 一 ， 下 厂 ， 一 一 ‘ 一 一 注 式 中 ’ 加 ， 二 加 ， 其 它 记号 同前述

Vol.17 No.1 张家泉等：合金凝固过程的微分型本构方程及其蠕变与松弛特性 .45. 以上可见，合金凝固过程应力松驰特性呈指数衰减形式.但在整个凝固温区，不论应力 水平大小，合金中总会存在残余应力，即t→∞，τ卡0.此外，对于过渡温区，即六元件 模型中，当初始应力水平较小时，合金呈应力不可松弛（见(22）式)，从而表现为Kvin 体特性· 4结论 (1)获得了合金凝固过程准液态、准固态以及过渡温区的微分型本构方程、蜗变方程 及应力松弛方程， (2)合金凝固过程的蠕变特性取决于瞬时弹性、推迟弹性及粘塑性流动3个方面；应 力松驰呈指数衰减，但残余应力一般难以避免· 参考文献 1baa,m厂.IreroeΠpo3 BOnCTBO,1978(1):5~8 2张家泉，于展宗等，发动机气缸盖用MS6876铝合金凝固温区流变力学特性，见：李庆春，多洛申克 斯派主编.中国-独联体铸造科学技术研讨会论文集，哈尔滨：哈尔滨工业大学.1992,205~206 3张家泉，铝合金气缸盖三维凝固模拟研究：[博士学位论文].北京：清华大学机械系，1993 4 Flugge W.Viscoelasticity.Second Edition.New York:Springe-Verlag,1975

张家泉等 合金凝 固过程 的微分型 本构方程及其蠕变与松弛特性 · 以 上可 见 ， 合金凝 固过程 应力 松驰 特性 呈 指 数衰减形 式 但在 整 个凝 固温 区 ， 不论应力 水 平大小 ， 合金 中总会存 在 残余应力 ， 即 ， 子 此外 ， 对于 过渡温 区 ， 即六 元件 模 型 中 ， 当初始 应力 水 平 较 小 时 ， 合 金 呈 应 力 不 可 松 弛 见 式 ， 从 而 表 现 为 淤 体特性 结 论 获得 了合金 凝 固过程 准液 态 、 准 固态 以 及 过 渡温 区 的 微 分 型 本 构 方 程 、 蠕 变 方 程 及应力 松弛 方程 合 金凝 固过程 的蠕 变 特性 取 决于 瞬时 弹性 、 推迟 弹 性 及 粘 塑 性 流 动 个 方 面 应 力 松驰呈指 数衰减 ， 但残余应力一 般难 以避 免 参 考 文 献 物服那刃犯 刀咐 ℃ 班』℃ 比。 月口田 ， 一 张家泉 ， 于震宗等 发动机气缸 盖 用 铝合金凝 固温 区 流变力学特性 见 李 庆春 ， 多 洛 申克 斯派 主编 中国 一 独联体铸造科学技术研讨 会论 文集 ， 哈尔滨 哈尔滨工 业大学 卯 ， 一 肠 张家泉 铝合金 气缸盖三 维凝 固模拟研究 〔博 士 学位论文 北京 清华大 学机械系 ， 卯 目笋 犯 “ 刀 劝 卜殆 罗 一 七