复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第三、四章 能带论_专题二 单电子近似

自洽求解 v2+(r)p()+∑∫h (r) g(r)-∑ P(ro, (r,) E j(1) 积分号中含有解,所以一般用自洽求解的方 式,就是先假定一个解,得到积分,再解薛定 谔方程,得到更好的解 *不断重复这个过程直至这个解在一预先规定的精度 内不再变化达到自洽→自洽解 http://10.107.0.68/igche/ 单电子近似

http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似 11 自洽求解 • 积分号中含有解，所以一般用自洽求解的方 式，就是先假定一个解，得到积分，再解薛定 谔方程，得到更好的解 * 不断重复这个过程直至这个解在一预先规定的精度 内不再变化——达到自洽自洽解                   r   r r r r r r r r r r r r r i j i j j i j i i j V i d d  E                  ' ' ' ' ' ' ' * 2 2

如要去掉求和号中运≠i的限制 p(r)+ g,(r)=Eg() 这只需要在第3项增减一项六即可, ∑∫W(r(N )+」r 2(rr) P,(ro,(r) r-r ∑∫dr P(r, P,(ro,(r,) r-r r-r *多出的一项并入第2项,也成对所有电子求和 v+k(1- http://10.107.0.68/igche/ 单电子近似

http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似 12 如要去掉求和号中j≠i的限制 • 这只需要在第3项增减一项j=i即可， * 多出的一项并入第2项，也成对所有电子求和                                           r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r i i i j j j i i i i i i i j i j j i d d d d d                ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' * * * * *               r r r r r r r r r rr r r r i j j j i j i j V i d d  E               ' ' ' ' ' ' ' * 2 2                   r   r r r r r r r r r r r r r i j i j j i j i i j V i d d  E                  ' ' ' ' ' ' ' * 2 2

进一步处理 前面第二项是其他电子对迪电子的库仑相互作用 第三项是交换项,如分子分母乘以同样的项 P re(r' r9(=-∑ g(r)(r)(r) r-r P,(r) *这样就可以在形式上写成关于第沌子的方程 v2+()+2/r g(r)(r)(r)2(r) r-r(m()() 但这只是形式上的 http://10.107.0.68/igche/ 单电子近似

http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似 13 进一步处理 • 前面第二项是其他电子对i电子的库仑相互作用 • 第三项是交换项，如分子分母乘以同样的项 * 这样就可以在形式上写成关于第i电子的方程 * 但这只是形式上的                           j i i i j i i j j j j i d d r r r r r r r r r r r r r r r r           * * * * ' ' ' ' ' ' ' '               r r r r r r r r r r r r rr r r i i j i i i j j i j j V d d  E                   * * * 2 2 ' ' ' ' ' '

平均场近似 Slater建议再对逑平均,即看作单个电子在其 他所有电子的平均势场下的运动,即 ∑ r)o,(r)(r,(r) p, r P(r)i h2 V+Vef(r)o (r)=ep(r) t(r)=V()+∑∫r ∑∫ P (r) (rp (p r∑q(n(r) 这就是平均场或称有效场近似—单电子方程 http://10.107.0.68/igche/ 单电子近似

http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似 14 平均场近似 • Slater建议再对i求平均，即看作单个电子在其 他所有电子的平均势场下的运动，即 • 这就是平均场或称有效场近似——单电子方程              , '   ' ' * ' ' * * ' ' ' ' ' j i i i i i i j j i d r r r r r r r r r r                                 , ' ' ' * ' ' * * ' 2 eff eff 2 2 ' ' ' ' ' ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) 2 j i i i i i j j i j j i i i V V d d V E m r r r r r r r r r r r r r r r r r r          

单电子方程→对所有电子都相同 现在这个方程还有电子关联吗? y+()+2/p)S (r)o, (rp re, r) r-r∑q(r( P(r)=E(r 2 J,1 试在上式中变换电子指标,i,方程不变! →对所有电子,都是同一个方程!不再依赖于其他所 有电子的解!仅剩一个独立的方程 1.单个电子满足的方程;其他所有电子(恂包括该电子 本身,因求和遍及所有电子)对该电子作用被平均 2.对所有电子都相同,所以其解也可用于其他电子 http://10.107.0.68/igche/ 单电子近似

http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似 15 单电子方程对所有电子都相同 • 现在这个方程还有电子关联吗？ • 试在上式中变换电子指标，i，方程不变！ 对所有电子，都是同一个方程！不再依赖于其他所 有电子的解！仅剩一个独立的方程 1. 单个电子满足的方程；其他所有电子(包括该电子 本身，因求和遍及所有电子) 对该电子作用被平均 2. 对所有电子都相同，所以其解也可用于其他电子             ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' 2 , ' ' ' * ' ' * * ' 2 2 2 r r r r r r r r r r r r r r r r i i i j i i i i i j j i j j V d d E m                        