170 MATLAB5手册 China-bub.coM 下载 此表也能够不用for循环语句创建，其结果为： ans -2.0000 0.5000 -1.7500 0.4286 -1.5000 0.3333 -1.2500 0.2000 -1.0000 0 -0.7500 -0.3333 (c)MATLAB命令sum(A)给出一行向量，向量的元素是矩阵A每一列元素的和。用下面 的程序能得到相近的结果： A=[123;456] sum_v=[] for v=A sum_v [sum_v sum(v)] end disp('Compare w/sum(A):') disp(sum(A)); 其结果是： A= 1 2 3 4 5 6 sum_v 5 sun_v 5 7 sumv 7 9 Compare w/sum(A): 5 7 9 (d)将下列MATLAB命令保存在文件qrmethod.m中： 号矩阵A及整数m和n应在调用该文件之前定义好。 号在变换成上海森伯形式之后使用Q方法。 告n步以后结束。 号每隔m步输出结果。 A hess(A); for i =:n [Q,R]gr(A); A =R*Q; nd =norm(diag(A,-1));
此表也能够不用f o r循环语句创建，其结果为： (c) MATLAB 命令s u m ( A )给出一行向量，向量的元素是矩阵 A每一列元素的和。用下面 的程序能得到相近的结果： 其结果是： (d) 将下列M AT L A B命令保存在文件q r m e t h o d . m中： % 矩阵A及整数m和n应在调用该文件之前定义好。 % 在变换成上海森伯形式之后使用 Q R方法。 % n步以后结束。 % 每隔m步输出结果。 1 7 0 M ATLAB 5 手册 下载
China-pub.CoM 第I2章MATLAB程序设计 171 下载 if rem(i,m)==0 A,i,nd end end 下面的程序是用来完成非移位的QR方法（见8.2节）30次迭代，每隔15次输出结果： A0=[-9-3-16;13716;3310]; m=15;n=30; format long; A=A0; qrmethod; A= 9.9899746707437722.62301237506363-15.53274662438004 0.00708686385759-5.985685125529255,77401643542405 00.00741470005235 3.99571045478546 i= 15 nd 0.01025677416162 A= 10.0000047162466022.6274399374496715.51339551121122 -0.00000333488655-6.00001449452640-5.77348898879412 0 0.000016936546124.00000977827978 i= 30 nd 1.726175143943722e-05 (e)在7.5节中定义了命令planerot。这个算法是使用该命令来返回一个矩阵，该矩阵的 0元素都在任何作为参数输入的m×n矩阵的主对角线的下方。 function B Givens(A) 号如果将A矩阵乘函数B返回的矩阵，就能将大小为m×的A矩阵变成上三角阵。也就是说，根据Q=和· R=B+A,其中满足Q+R=A,该函数可以对A进行QR分解。 [m,n]size(A); =eye(m); for j=1:n for i j:m for k (i+1):m G =eye(m); Plan planerot([A(j,j)A(k,j)]'); %找出2×2的矩阵 G(j,j)=P1an(1,1);G(k,j)=P1an(2,1); G(j,k)=P1an(1,2);G(k,k)=P1an(2,2);
下面的程序是用来完成非移位的 Q R方法(见8 . 2节) 3 0次迭代，每隔1 5次输出结果： (e) 在7 . 5节中定义了命令p l a n e r o t。这个算法是使用该命令来返回一个矩阵，该矩阵的 0元素都在任何作为参数输入的 m×n矩阵的主对角线的下方。 function B = Givens(A) % % 如果将 A矩阵乘函数 B返回的矩阵，就能将大小为 m×n的A矩阵变成上三角阵。也就是说，根据 Q = B ´ 和 R = B*A，其中满足Q*R = A，该函数可以对A进行Q R分解。 第1 2章 M AT L A B程序设计 1 7 1 下载 ％找出2×2的矩阵
172 MATLAB5手册 China-bub.coM 下载 %在mXm矩阵中正确定位 B=G*B; A G*A %<-To see the step-by-step reduction of AA.remove this semicolon. end end end 在这个算法中，每一步的循环将A中的两个元素取出构成2×2的矩阵，然后将矩阵主对角 线下的一个元素赋值为零。这个结果矩阵可用来创建QR因式分解。 定义一个检测矩阵Atest: 2312 4 1 2 Atest 6 32 2100 下面的命令为： Atest=[123123;441221; 763211;121002]; Giv Givens(Atest); Q Giv',R=Giv*Atest QR =Q*R %仅仅是检测 给出MATLAB输出： Q= 0.1222 0.6630 0.6674 0.3162 0.4887 0.1842 -0.5721 0.6325 0.8552 -0.2947 0.2860 -0.3162 0.1222 0.6630 -0.3814 -0.6325 R= 8.1854 7.5745 3.5429 2.8099 2.0769 1.9547 0.0000 1.6208 1.9523 0.4420 1.3997 3.2047 -0.0000 -0.0000 1.9069 0.0953 0.4767 0.9535 0.0000 0.0000 0.0000 0.9487 1.5811 0.0000 QR 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 4.0000 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 7.0000 6.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0 0 2.0000 注意，通过乘Q和R我们又能得到初始矩阵Atest,因此QR=Atest。. ()以下程序通过使用两个for循环和平面组合来画出雪花图形。这个算法生成Helge von Koch曲线，这是一个不规则碎片例子。程序中使用的图形命令定义在第13章中，这里的注释 主要说明其功能。该算法将当前几何图形每一面分成了相同的三个部分。第一部分和最后部
在这个算法中，每一步的循环将 A中的两个元素取出构成2×2的矩阵，然后将矩阵主对角 线下的一个元素赋值为零。这个结果矩阵可用来创建 Q R因式分解。 定义一个检测矩阵A t e s t： 下面的命令为： 给出M AT L A B输出： 注意，通过乘Q和R我们又能得到初始矩阵A t e s t，因此Q R=A t e s t。 (f) 以下程序通过使用两个 f o r循环和平面组合来画出雪花图形。这个算法生成 Helge von K o c h曲线，这是一个不规则碎片例子。程序中使用的图形命令定义在第 1 3章中，这里的注释 主要说明其功能。该算法将当前几何图形每一面分成了相同的三个部分。第一部分和最后部 1 7 2 M ATLAB 5 手册 下载 % 在m×m矩阵中正确定位 ％ 仅仅是检测
China-pub.Com 第I2章MATLAB程序设计 173 下载 分是新几何学的两个方面。中间的部分用等边的三角形的两个边替代，如图12-1所示。 如果将迭代进行下去，几乎平面的每一部分都将被覆盖到。事实上，不规则碎片的尺寸 为1.2619，比1大一点而比2小。 %文件：Koch.m %该程序画出Helge von Koch雪花，一个不规则碎片图形 clear; %时除旧变量 %向量在平面中新定义一个三角形。这是开始的几何状态。 new=[0.5+(sqrt(3)/2)*i,-0.5+(sqrt(3)/2)*1,.. 0,0.5+(sqrt(3)/2)*i]; plot(new); %画出三角形并等待0.5秒 pause(0.5); %迭代5次： 向量old是前一次迭代 for k=1:5; old new; [m,n]size(old); n=n-1; %o1d定义了图中的n-1条边。 %对每条边：定义4个新点（其中一个是'o1d')。 for j=0:n-1; diff=(o1d(j+2)-o1d(j+1)/3; new(4*j+1)=o1d(j+1); new(4*j+2)=old(j+1)+diff; new(4*j+3)=new(4*j+2)+diff*((1-sqrt(3)*i)/2); new(4*j+4)=old(j+1)+2*diff; end; %向量new的最后一个元素与向量old的最后一个元素相同。 new(4*n+1)÷o1d(n+1); plot(new); %画出新图并等待0.5秒。 pause(0.5); end; %移开坐标轴，并使其等长度，图形会更匀称。 axis off;axis square; 执行程序，就可得到一个逐渐复杂的图形。 图12-2给出了最后的图形
分是新几何学的两个方面。中间的部分用等边的三角形的两个边替代，如图 1 2 - 1所示。 如果将迭代进行下去，几乎平面的每一部分都将被覆盖到。事实上，不规则碎片的尺寸 为1 . 2 6 1 9，比1大一点而比2小。 执行程序，就可得到一个逐渐复杂的图形。 图1 2 - 2给出了最后的图形。 第1 2章 M AT L A B程序设计 1 7 3 ％ 文件 ％ 该程序画出Helge von Koch 雪花，一个不规则碎片图形 ％删除旧变量 ％向量在平面中新定义一个三角形。这是开始的几何状态。 ％画出三角形并等待0.5秒 ％ 迭代5次： 向量old是前一次迭代 ％ old定义了图中的n-1条边。 ％ 对每条边：定义4个新点(其中一个是'old')。 ％ 向量new的最后一个元素与向量old的最后一个元素相同。 ％画出新图并等待0.5秒。 ％ 移开坐标轴，并使其等长度，图形会更匀称。 下载
174 MATLAB5手份 China-bub.coM 下载 图12-25次迭代后的Helge von Koch不规则碎片 图I2-I von Koch算法对直线的两次迭代的结果图 图形，其原始几何图形为三角形 ■ 只要逻辑表达式为真，whi1e命令将反复执行程序语句。像for语句一样程序体由一个 end来结束。使用while循环来表示整个while语句，具体形式如下： while,statements,end 通常，while循环有如下形式： while logical expression statements end 将其写在一行的形式为： while logical expression,statemenesd while循环能够像for循环一样嵌套： while logical expression A statements 1 while logical expression B statements 2 end statements 3 end ■例12.5 (a)构造一个特征值在1和一1之间的2×2的随机矩阵，可以用下面的迭代来实现： A=rand(2); 构造一个特征值在1和-1之间的矩阵。 while max(abs(eig(A)))>=1 A rand(2); end e eig(A); TheText ['lambda_1=',num2str(e(1)),... ’,1 ambda_2=’,num28tr(e(2)]; A 输出显示矩阵及其特征值
只要逻辑表达式为真， w h i l e命令将反复执行程序语句。像 f o r语句一样程序体由一个 e n d来结束。使用w h i l e循环来表示整个w h i l e语句，具体形式如下： while, s t a t e m e n t s, end 通常，w h i l e循环有如下形式： 将其写在一行的形式为： while logical expression, statements , end w h i l e循环能够像f o r循环一样嵌套： ■ 例1 2 . 5 (a) 构造一个特征值在1和－1之间的2×2的随机矩阵，可以用下面的迭代来实现： A = r a n d ( 2 ) ; % 构造一个特征值在1和- 1之间的矩阵。 A % 输出显示矩阵及其特征值。 1 7 4 M ATLAB 5 手册 下载 图12-1 von Koch算法对直线的两次迭代的结果图 图12-2 5次迭代后的Helge von Koch不规则碎片 图形，其原始几何图形为三角形 ■