在小区间[x,x]上，取号=x应有 dx=-226)=恤22 从而，对任一确定的自然数n,有dx=2化) 记)=上式可写为dx2空 (3) 若取后=：则有近似公式dx气2空 (4) n 这种求定积分的近似值的方法称为矩形法.公式(3，、(4)称为矩形法公式。 三、定积分的性质 1.补充规定： (1)当ab时，fx)dx=0 (2)当ab时，∫f(x)dx=-∫f(x)dx(说明) 2.定积分的性质 性质1函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即 [f(x)±gxdx=∫f(x)dx±∫g(xdx 证明：广/士g(x=m/5)±g5,A =典fGA出±典2gG4 =dx±gex)dx 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 ∫广(x)dx=k∫fx)dx(k是常数) 性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定 积分之和，即设a<c<b,则 fx)dx=∫fx)dx+∫fx)dx
在小区间 1 [ , ] i i x x − 上，取 i = i 1 x − ，应有 ( )d b a f x x = 1 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i n n i i b a b a f f x n n − → → = = − − = ， 从而，对任一确定的自然数 n ，有 ( )d b a f x x 1 1 ( ) n i i b a f x n − = − ， 记 ( )i i f x y = ，上式可写为 ( )d b a f x x 1 0 ( ) n i i b a y n − = − ， （3） 若取 i = i x ，则有近似公式 ( )d b a f x x 1 ( ) n i i b a y n = − ． （4） 这种求定积分的近似值的方法称为矩形法．公式（3）、（4）称为矩形法公式． 三、定积分的性质 1．补充规定： （1）当 a=b 时， ( )d 0 b a f x x = （2）当 a>b 时， ( )d b a f x x = − ( )d b a f x x （说明） 2．定积分的性质 性质 1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即 [ ( ) ( )]d b a f x g x x = ( )d b a f x x ( )d b a g x x 证明： [ ( ) ( )]d b a f x g x x = i n i i i f g x = → 1 0 lim [ ( ) ( )] = = → i n i i f x 1 0 lim ( ) i n i i g x = → 1 0 lim ( ) = ( )d b a f x x ( )d b a g x x 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 ( )d b a kf x x = k ( )d b a f x x ( k 是常数) 性质 3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定 积分之和，即设 a<c<b,则 ( )d b a f x x = ( )d c a f x x + ( )d b c f x x
注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4如果在区间[a,上，fx)=l,则心fx)dx=dx=b-a 性质5如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则 f(x)dx20 (a<b) 证明：因f（x)≥0，故f(5)20i=1,2,3,.,川，又因 △x≥00=1,2.，m,故∑f5△x,≥0， 设入=max{△x,△x2,△xn,→o时，便得欲证的不等式 推论1如果在[a,b]上，fx)≤g(x,则 fx)dx≤∫gx)dx(a<b) 推论2fx)dxs/xldx 性质6设M与m分别是函数f(x)在a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)s[f(x)dxs M(b-a)(a<b) 性质7（定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b]上连续，则在积分区间 [a,b]上至少存在一点5，使下式成立： [f(x)dx=f(EX(b-a)(asssb) 正男：利用性质么m≤。厂)d≤M:有由网区间上连续函数的介值定里， 知在a,创上至少存在一点5，使f份)=a-6fdx, 故得此性质.显然无论a>b,还是a<b, y↑ y=f八x) 上述等式恒成立。 f5) 积分中值定理的几何释意如下：在区间 [a,b]上至少存在一个5，使得以区间[a,b] 为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形 a b
注意：我们规定无论 abc , , 的相对位置如何，总有上述等式成立． 性质 4 如果在区间 [ , ] a b 上， f (x) 1,则 ( )d b a f x x = d b a x b a = − 性质 5 如果在区间 [ , ] a b 上， f (x) 0,则 ( )d 0 b a f x x (a b) 证明：因 f (x) 0, 故 f ( ) 0(i 1,2,3, ,n) i = ，又因 x 0(i 1,2, ,n) i = ，故 ( ) 0 1 = i n i i f x ， 设 = max{x1 ,x2 , ,xn }, → o 时，便得欲证的不等式． 推论 1 如果在 [ , ] a b 上， f (x) g(x),则 ( )d b a f x x ( )d b a g x x (a b) 推论 2 ( )d b a f x x ( ) d b a f x x 性质 6 设 M 与 m 分别是函数 f (x)在[a,b] 上的最大值及最小值，则 m(b − a) ( )d b a f x x M (b − a) (a b) 性质 7 （定积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，则在积分区间 [ , ] a b 上至少存在一点 ，使下式成立： ( )d ( )( ) b a f x x f b a = − （ a b ） 证明：利用性质 6， 1 ( )d b a m f x x M b a − ；再由闭区间上连续函数的介值定理， 知在 [ , ] a b 上至少存在一点 ，使 1 ( ) ( )d b a f f x x a b = − ， 故得此性质．显然无论 a b ，还是 a b ， 上述等式恒成立． 积分中值定理的几何释意如下：在区间 [a，b]上至少存在一个 ，使得以区间[a, b] 为底边, 以曲线 y = f (x) 为曲边的曲边梯形 y x o a b f ( ) y = f (x)
的面积等于同一底边而高为∫()的一个矩形的面积，见图. 技积分中值公式所得：化行产6厂达格为属数在区间上价平均值，如图所示 四、小结与思考： 1.重述定积分的定义，注意其中的两个“任意” 2.对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分： 3.结合课后习题说明定积分性质的应用： 4.思考用怎样的思路可以求解曲顶柱体的体积 五、作业：作业卡 第二节微积分基本公式 教学目的：1.掌握变上限函数的意义和微积分基本公式： 2。能利用变上限函数的导数以及基本公式解决定积分的相关问题。 教学重点：微积分基本公式的应用 教学难点：变上限函数及微积分公式的应用. 教学过程： 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 1.问题分析：设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度 使其成为一数轴，时刻t时物体所有的位置s(),速度)（不防设(）≥0) 物体在时间间隔[口，T]内经过的路程可以用速度函数()在[T,T]上的定积分来表 达，即∫)dx. 另一方面，这段路程可以通过位置函数5()在区间[口，I]的增量来表示，即 S(T)-S(T) 故)d=ST)-ST) (1) 注意到S()=(),即s)是)的原函数.速度函数()在区间口，T]上的定积分 等于它的原函数路程函数s()在区间[T,T]上的增量S(T)-S(T)
的面积等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形的面积, 见图． 按积分中值公式所得： 1 ( ) ( ) b a f f x dx a b = − 称为函数在区间上的平均值．如图所示． 四、小结与思考： 1．重述定积分的定义，注意其中的两个“任意”； 2．对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分； 3．结合课后习题说明定积分性质的应用； 4．思考用怎样的思路可以求解曲顶柱体的体积． 五、作业：作业卡 第二节 微积分基本公式 教学目的：1．掌握变上限函数的意义和微积分基本公式； 2．能利用变上限函数的导数以及基本公式解决定积分的相关问题． 教学重点：微积分基本公式的应用． 教学难点：变上限函数及微积分公式的应用． 教学过程： 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 1．问题分析：设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度， 使其成为一数轴，时刻 t 时物体所有的位置 s(t) ，速度 v(t)(不防设v(t) 0)． 物体在时间间隔 [ , ] T1 T2 内经过的路程可以用速度函数 v(t) 在 [ , ] T1 T2 上的定积分来表 达，即 2 1 ( )d T T v t x ． 另一方面，这段路程可以通过位置函数 s(t) 在区间 [ , ] T1 T2 的增量来表示，即 ( ) ( ) S T2 − S T1 故 2 1 ( ) T T v t dx = ( ) ( ) S T2 − S T1 （1） 注意到 S`(t) = v(t) ，即 s(t) 是 v(t) 的原函数．速度函数 v(t) 在区间 [ , ] T1 T2 上的定积分 等于它的原函数路程函数 s(t) 在区间 [ , ] T1 T2 上的增量 ( ) ( ) S T2 − S T1 ．
2.结论推广假设：函数f(x)在区间[a,b]上连续，是否f(x)在区间[a,b]上的定积分 就等于的原函数（设为F(x)在区间[a,b)]上的增量：F(b)-F(a), 二、积分上限的函数及其导数 1.积分上限的函数：设f(x)在a,b)]上连续，并且设x为a,b]上任一点，有 (x)=∫f)dr (说明函数是如何得到的) 2.积分上限的函数性质： 定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数 ()=∫f0d 在[a,b]上具有导数，并且它的导数是 o-话f0h=)）(asx≤b) 证明：(1)x∈(a,b)时， △D(x)=D(x+△r)-(x) -[""fdr-ffdt -far+"rdi-frdr =f0)d 5在x与△r之间，应用积分中值定理，有D(x)=f(5)△x,所以 △①=f59 Ar→0时，有5→x,有mf(份)=f).故令△x→0，对上式两边取极限有： p'(x)=f(x) (2)x=a或b时考虑其单侧导数， 可得中(a=f(a),中(b)=f(b) 由定理1可得下面结论：
2．结论推广假设：函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，是否 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分 就等于的原函数（设为 F x( ) ）在区间 [a,b] 上的增量： F b F a ( ) ( ) − ． 二、积分上限的函数及其导数 1．积分上限的函数：设 f (x) 在 [a,b] 上连续，并且设 x 为 [a,b] 上任一点，有 ( ) ( )d x a = x f t t （说明函数是如何得到的） 2．积分上限的函数性质： 定理 1 如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则积分上限函数 = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上具有导数，并且它的导数是 = x a f t dt dx d (x) ( ) = f (x) （ a x b ） 证明：（1） x (a,b) 时， (x) = (x + x) − (x) = ( )d x x a f t t + − ( )d x a f t t = ( )d ( )d ( )d x x x x a x a f t t f t t f t t + + − = ( )d x x x f t t + 在 x与x 之间，应用积分中值定理，有 (x) = f x ( ) ，所以 ( ) ( ) f x x = x →0 时，有 → x ，有 0 lim ( ) ( ) x f f x → = ．故令 x →0 ，对上式两边取极限有： (x) = f (x) （2） x = a或b时考虑 其单侧导数， 可得 ( ) a + = f (a) ， ( ) b − = f (b)． 由定理 1 可得下面结论：
定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 (x)=[f(r)dr 是f(x)的一个原函数. 意义：1.肯定了连续函数的原函数是存在的：2.初步揭示了积分学中定积分与原函数之 间的关系 三、Newton-Leibniz公式 1.定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 ["f(x)dx=F(b)-F(a) (4) 证明：因F(x)与p(x)均是f(x)原函数，故 F(x)-(x)=C(a≤x≤b) 又因F(a)-p(a)=C且p(a)=0,故C=F(a):于是fx)dx=F()-F(a,当 x=b时，即有[fx)dx=F(b)-F(a). 将F(b)-F(a)记作[F(x)],即[f(x)=[F(x)]. 上述公式就是Newton一Leibniz公式，也称作微积分基本公式，定积分与被积函数的 原函数或不定积分之间的关系-一一个连续函数(x)在区间[a,b]上的定积分等于它的任 一个原函数在区间[α，b]上的增量.公式(4)提供了定积分的计算方法。 2.例题讲解 a5号 例2# 解doe- 例3g 解：dx=[n=lni-h2=-h2. 例4计算y=smnx在[0，π]上与x轴所围成平面图形的面积
定理 2 如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则函数 (x) = x a f (t)dt 是 f (x) 的一个原函数． 意义：1.肯定了连续函数的原函数是存在的；2.初步揭示了积分学中定积分与原函数之 间的关系． 三、Newton —Leibniz 公式 1．定理 3 如果函数 F(x) 是连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数，则 ( )d b a f x x = F(b) − F(a) （4） 证明：因 F(x) 与 (x) 均是 f (x) 原函数，故 F(x) − ( ) x =C （ a x b ） 又因 F a a C ( ) ( ) − = 且 = ( ) 0 a ，故 C F a = ( ) ；于是 ( )d ( ) ( ) b a f x x F x F a = − ，当 x b = 时，即有 ( )d b a f x x = F(b) − F(a) ． 将 F(b) − F(a) 记作[ F(x) ] b a ，即 = b a f (x)dx [ F(x) ] b a ． 上述公式就是 Newton —Leibniz 公式，也称作微积分基本公式，定积分与被积函数的 原函数或不定积分之间的关系-一个连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分等于它的任 一个原函数在区间 [a,b] 上的增量．公式（4）提供了定积分的计算方法． 2．例题讲解 例 1 1 3 3 3 1 2 0 0 1 0 1 d 3 3 3 3 x x x = = − = ． 例 2 计算 3 2 1 1 d 1 x x − + ． 解： 3 2 1 1 d 1 x x − + = 12 3 7 arctgx −1 = ． 例 3 1 2 d x x − − ． 解： 1 1 2 2 1 d ln ln1 ln 2 ln 2 x x x − − − − = = − = − ． 例 4 计算 y = sin x 在[ 0, ]上与 x 轴所围成平面图形的面积．