便携式直线一级倒立摆实验指导书

摆杆与垂直向上方向的夹角e摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）4D摆杆F小车导轨xS图3-1直线一级倒立摆模型图3-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而失量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。LB.NHMbxFictionHm-XN-x图3-2小车及摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：M=F-bx-N(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：5

5  摆杆与垂直向上方向的夹角  摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图3-1 直线一级倒立摆模型 图3-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互 作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的 正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图3-2 小车及摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程: M x  = F −bx  − N (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:

dN=ar(x + / sin)(2)n即：N = mx + mlecos-mlg sin0(3)把这个等式代入（1)式中，就得到系统的第一个运动方程：(M+m)x+bx+mlécoso-mlé sin0=F(4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：dP-mg=m(lcosの)(5)dt?P-mg =-mlésin-mlé? cos(6)力矩平衡方程如下：-Plsin-NIcos=I(7)注意：此方程中力矩的方向，由于=元+,cos=-cosa,sin=-sin，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：(I +ml?)o+mglsin0=-mlxcos0(8)设=元+，（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即$<<1，则可以进行近似处理：(d0)2=0cos0=-1,sin =-p,(dt用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：[(I +ml2)p- mglp = mlx(9)(M +m)x+bx-mlg=u对方程组(9)式进行拉普拉斯变换，得到方程组：(I + ml2)Φ(s)s2 -mgl(s) = mlX(s)s(10)(M +m)X(s)s2 +bX(s)s-ml(s)s2 = U(s)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度Φ，求解方程组的第一个方程，可以得到6

6 ( sin ) 2 x l  dt d N = m + (2) 即:  cos  sin  2 N = m  x  + ml − ml (3) 把这个等式代入(1)式中，就得到系统的第一个运动方程: (M + m)x +bx + ml cos −ml sin = F   2   (4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程: ( cos ) 2 l  dt d P − mg = m (5)  sin  cos  2 P − mg = −ml − ml (6) 力矩平衡方程如下:     − Plsin − Nl cos = I (7) 注意:此方程中力矩的方向，由于  =  +,cos = −cos,sin = −sin ,故等 式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程: ( ) sin cos 2 I ml mgl ml x  +  + = − (8) 设  =  +, （  是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设  与1（单位是弧 度）相比很小，即  <<1，则可以进行近似处理: cos 1,sin ,( ) 0 2 = − = − = dt d    用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:     + + − = + − = M m x bx ml u I ml mgl mlx         ( ) ( ) 2 (9) 对方程组(9)式进行拉普拉斯变换，得到方程组:     + + −  = +  −  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 M m X s s bX s s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s (10) 注意:推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度  ，求解方程组的 第一个方程，可以得到:

X(s) =[( +ml2)g-(s)(11)mlS如果令V=，则有：ml@(s) :V(s)(12)(I +ml2)s? - mgl把上式代入方程组的第二个方程，得到：(M+m)[+ml) _ j0()5* + (+ml)+ /j0()s-ml0(0)2 - () 13)mlmlS整理后得到传递函数：mlΦ(s)qU(s)s4+b(I+ml2),3_(M+m)mglbmgl(14)qqq其中 q=[(M +m)(I +ml2)-(ml)]设系统状态空间方程为：X=AX+Bu(15)y=CX+Du方程组对x，解代数方程，得到解如下：x=x-(1+ml2)bxm"gl?p(I+ml?)ux =I(M+m)+Mml2I(M+m)+Mml?I(M+m)+Mml2Φ=d(16)mgl(M+m)gmlu-mlbxI(M+m)+Mm +I(M+m)+Mml2++ I(M+m)+Mml?整理后得到以外界作用力（u来代表被控对象的输入力F)作为输入的系统状态方程：7

7 ] ( ) ( ) ( ) [ 2 2 s s g ml I ml X s −  + = (11) 如果令 v =  x  ,则有: ( ) ( ) ( ) 2 2 V s I ml s mgl ml s + −  = (12) 把上式代入方程组的第二个方程，得到: ] ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( )[ 2 2 2 2 2 s s ml s s U s s g ml I ml s s b s g ml I ml M m +  −  = + −  + + + (13) 整理后得到传递函数: s q bmgl s q M m mgl s q b I ml s s q ml U s s − + − + +  = 3 2 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (14) 其中 [( )( ) ( ) ] 2 2 q = M + m I + ml − ml 设系统状态空间方程为: y CX Du X AX Bu = +  = + (15) 方程组对    x  , 解代数方程，得到解如下:          = + + = = + + = + + + + + + + − + + + + + + + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I M m Mml mlu I M m Mml mgl M m I M m Mml mlbx I M m Mml I ml u I M m Mml m gl I M m Mml I ml bx x x x              (16) 整理后得到以外界作用力(u来代表被控对象的输入力F)作为输入的系统状 态方程:

10000-xI +ml?m'gl2-(I +ml2)b0CxxI(M +m)+ Mml?I(M + m)+ Mml?I(M +m)+ Mml?u (17)$00d0-mlbmgl(M +m)[)]0LmlI(M +m)+ Mml?I(M + m)+ Mml?I(M +m)+ Mml?00x0(18)010p0Lei由方程组(9)得第一个方程为：(I +ml)-mglg=mlx(19)对于质量均匀分布的摆杆有：1ml21(20)3于是可以得到：1 ml2 + ml2) -mglp = mlx(21)-33 +3(22)化简得到：4141设X=Φ，u=戈，则可以得到以小车加速度作为输入的系统状态方程：01000xx10000xx0u(23)+0001pd3g3000&4141.xx000福V=z(24)0d010Lg8

8 u I M m Mml ml I M m Mml I ml x x I M m Mml mgl M m I M m Mml mlb I M m Mml m gl I M m Mml I ml b x x                     + + + + + +                               + + + + + − + + + + − + =               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0           (17) u x x x y       +                      =      = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0      (18) 由方程组(9)得第一个方程为: I ml mgl ml x  ( + ) −  = 2 (19) 对于质量均匀分布的摆杆有: 2 3 1 I = ml (20) 于是可以得到: ml ml mgl mlx + ) −  = 3 1 ( 2 2 (21) 化简得到: x l l g   4 3 4 3  =  + (22) 设 X x x  u  x   =  = ' , ,, , ,则可以得到以小车加速度作为输入的 系统状态方程: ' 4 3 0 1 0 0 4 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 u l x x l g x x                 +                             =                         (23) ' 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 u x x x y       +                      =      =      (24)

以小车加速度为控制量，摆杆角度为被控对象，此时系统的传递函数为：341G(s) :(25)s2_ 3g41表3.1元创兴便携式直线一级倒立摆实际系统的物理参数摆杆质量m摆杆长度L摆杆转轴到质心长度1重力加速度g9.81m/s20.0426kg0.305m0.152m将表3.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确模型。系统状态空间方程：x10To00xxx00100Xd(26)001000e00d48.34.9x00x[100xu(27)0p01Lg00Lo系统传递函数：4.9G(s)=(28)s2-48.39

9 以小车加速度为控制量，摆杆角度为被控对象，此时系统的传递函数为: l g s l G s 4 3 4 3 ( ) 2 − = (25) 表 3.1 元创兴便携式直线一级倒立摆实际系统的物理参数 摆杆质量 m 摆杆长度 L 摆杆转轴到质心长度 l 重力加速度g 0.0426 kg 0.305 m 0.152 m 9.81 2 m /s 将表3.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确 模型。 系统状态空间方程: ' 4.9 0 1 0 0 0 48.3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 u x x x x             +                           =                         (26) ' 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 u x x x y       +                      =      =      (27) 系统传递函数: 48.3 4.9 ( ) 2 − = s G s (28)