《弹性力学》（双语版） 第五章 平面问题的复变函数

第五章平面问题的复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题,所涉及的物体 边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界,例如椭 圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。 应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于 介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用

6 第五章 平面问题的复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体 边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭 圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。 应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于 介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用

s5-1 Complex-variable representation of stress function In chapter 2, we have proved, in plane problems, there is a stress function that is biharmonic function of position coordinates, if body force is constant, i.e Vo=O Now introduce complex variable =x tiy and 2-x=iy to replace real variable x and y , noticing az_1 =1 ax Oy az =1 7

7 §5-1 Complex-variable representation of stress function In chapter 2,we have proved, in plane problems, there is a stress function φ that is biharmonic function of position coordinates, if body force is constant, i.e. 0 4   = 1, i 1, i = −   =   =   =   y z x z y z x z Now introduce complex variable z= x＋iy and z＝x－iy to replace real variable x and y. Noticing

§5-1应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明,在平面问题里,如 果体力是常量,就一定存在一个应力函数φ, 它是位置坐标的重调和函数,即 Vo=O 现在,引入复变数=x+i和z=x-以代替实 变数x和y。注意 az =1 ar 02_ z l

8 §5-1 应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明，在平面问题里，如 果体力是常量，就一定存在一个应力函数φ， 它是位置坐标的重调和函数，即 0 4   = 现在，引入复变数z= x＋iy和 z＝x－iy以代替实 变数x 和y。注意 1, i 1, i = −   =   =   =   y z x z y z x z

dextrane Methods for Pane bestial We find the transformation are ao 00 0z 000z O ox ae ax az az az ay az Oy Oz Oy az 0z ) + N2O0022 Ox Oy az Ox Oy dz furthermore (+=)y=-(-=) Ox 0z az Oz az 9

9 We find the transformation are          −   =     +     =     +   =     +     =           i( ) ( ) y z z z y z z y z x z z z x z z x z x y z x y z  =   −     =   +        i 2 , i 2 furthermore,     2 2 2 2 2 2 ( ) , ( ) x z z y z z  −   = −     +   =  

可以得到变换式 ao 00 0z 000z O ax a ax az az az Oy az Oy az ay az 0z ) + N2O0022 Ox Oy az Ox Oy dz 进而 (+=)y=-(-=) Ox 0z az Oz az 10

10 可以得到变换式          −   =     +     =     +   =     +     =           i( ) ( ) y z z z y z z y z x z z z x z z x z x y z x y z  =   −     =   +        i 2 , i 2 进而     2 2 2 2 2 2 ( ) , ( ) x z z y z z  −   = −     +   =  