第三节测量装置的动态特性的数学描述(频域) 拉普拉斯变换:某函数付氏变换为X(o)=jx()emt 有的函数付氏变换不存在情况下,通常由于∞时,x()幅度不衰减,积 分不收敛。为了克服上述问题,可以用因子et(o为常数;指数窗)乘 x(,选择适当σ使上述积分收敛 etx(t)的付氏变换为 ex(t)e dt=x(t)e (o+jo)t 上述积分是+a)的函数,令X(+j0)=∫x()emdt(A) 付氏逆变换为 e xt X(o+jo )eda 两边同乘et 2丌 ∫X(σ+jo) )e(otor do(B) S=O+/0 X(s)=x(t)esdt 令 dm≈ds,(A)(B)两式为 x(=1(X(s)e ds 即存在关系 X(s)分→x(t)
第三节 测量装置的动态特性的数学描述（频域） 拉普拉斯变换：某函数付氏变换为 − − X = x t e dt jt () ( ) 有的函数付氏变换不存在情况下，通常由于t→∞时，x(t) 幅度不衰减，积 分不收敛。为了克服上述问题，可以用因子e -σt （ σ为常数；指数窗）乘 x(t)，选择适当σ使上述积分收敛。 e -σt x(t) 的付氏变换为 − − − − − + e x t e dt = x t e dt t j t ( j )t ( ) ( ) 上述积分是(σ+jω)的函数，令 − − + X + j = x t e dt ( j )t ( ) ( ) (A) 付氏逆变换为 − − = + e x t X j e d t j t ( ) 2 1 ( ) 两边同乘 eσt − + = + x t X j e d ( j )t ( ) 2 1 ( ) (B) 令 j ds d s j = = + ，(A)(B)两式为 − − X s = x t e dt st ( ) ( ) + − = j j st X s e ds j x t ( ) 2 1 ( ) X (s) x(t) 即存在关系 ｛
拉氏变换性质: (1)线性性质 x1(1)分→X1(S) (t)分X 2(s)>ar, (t)+bx,(t)ear,(s)+bX2(S) dx( 2)时域徹分性质x0)分X(s)→as(S (3)时城积分性质x(X()→Jx()MeX(s) 常用信号拉氏变换 coSAt sinAt e-atcosAt e-atsinAt (t) (tn-] 8(t-T)tM-le-at n-1) n 换s s+a(s2+A2)(s2+A2)(s+a)2+A2(s+a)2+A2 (s+a) 敛Re(s> o] re(sp=aRe(s>0Res0Re(s- Re(sp-a s面Res0s面|Re(sa 17
拉氏变换性质： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x t X s x t X s → ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ax t +bx t aX s +bX s （2）时域微分性质 x(t) X (s) → ( ) ( ) sX s dt dx t （3）时域积分性质 （1）线性性质 x(t) X (s) → ( ) 1 ( ) 0 X s s x t dt t 常用信号拉氏变换 1 e -at cosAt sinAt e -atcosAt e -atsinAt δ(t) (tn-1 ) δ(t-T) t n-1e -at 信 号 变 换 收 敛 域 1 1 s A (s+a) A 1 1 e -sT 1 Re(s)>0 Re(s)>-a Re(s)>0 Re(s)>0 Re(s)>-a Re(s)>-a S面 Re(s)>0 s面 Re(s)>-a (n-1)! (n-1)! (s+a)2+A2 (s+a)2+A2 (s2+A2 (s ) 2+A2 s+a ) s n (s+a)n s 17
.传递函数(系统传输特性复频域表现) 3页 设X(s)和Y(s)是输入x()、输出y()的拉普拉斯变换,对式(2-1)取拉氏变换得, Y(S=H(S)X(S)+G,(S) (2-13) H(s)= bns+bn、5"+…+bs+b an,S"+an1S+…+a1S+a0 其中S=0+JO为复变量; G(S)是与输入和系统初始条件有关的 H(s)是只反映系统本身特性,称为系统传递函数。 若初始条件全为零,即G(s)=0 使得 Y(S) S S 18
一．传递函数 （系统传输特性复频域表现） 设X (s)和Y (s)是输入x (t)、输出y (t)的拉普拉斯变换，对式(2-1)取拉氏变换得， Y(s) H(s)X(s) G (s) = + h (2-13) 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) a s a s a s a b s b s b s b H s n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − 其中 s = + j 为复变量； G (s) h 是与输入和系统初始条件有关的 H(s) 是只反映系统本身特性，称为系统传递函数。 若初始条件全为零，即 G (s) = 0 h 使得 ( ) ( ) ( ) X s Y s H s = (2-14) 18 3页
特点: (1)H(s)与x()及系统初始条件无关,它代表了系统的传输特性,x()→y()。 (2)H(s)只反映系统传输特性,而不限制在系统的物理结构中,同一传输特性的 系统,可能代表不同的物理系统。 (3)用传递函数描述的系统通过系统an,an11,a0,bm,bm1b,b 来反映的,它们的量纲因具体物理系统和输入、输出的量纲而定 (4)H(s)中的分母取决于系统的结构,分子则和系统同外界之间的关系如输入 点位置、输入方式、被测量及测量点布置等)有关。 a)H(s)中ai、b的值仅反映系统传输特性。 b)H(s)不受物理结构限制。 c)an,an12,an,bnbn1;b3,b。的量纲反映了具体真实系统。 d)an2an1a12a0反映了系统结构, e)b,bn-1b1,b反映了系统同外界关系
（1）H (s)与x (t)及系统初始条件无关，它代表了系统的传输特性，x (t) →y(t)。 特 点： （2）H (s)只反映系统传输特性,而不限制在系统的物理结构中，同一传输特性的 系统，可能代表不同的物理系统。 （3）用传递函数描述的系统通过系统 1 1 0 1 1 0 a ,a , a ,a ,b ,b , b ,b n n m m − − 来反映的，它们的量纲因具体物理系统和输入、输出的量纲而定。 （4）H (s)中的分母取决于系统的结构，分子则和系统同外界之间的关系如输入 aaaaa点位置、输入方式、被测量及测量点布置等）有关。 a) H (s)中ai、bi的值仅反映系统传输特性。 b) H (s)不受物理结构限制。 c) an ,an−1 , a1 ,a0 ,bm ,bm−1 , b1 ,b0 的量纲反映了具体真实系统。 d) 反映了系统结构， e) 反映了系统同外界关系。 1 1 0 a ,a , a ,a n n − 1 1 0 b ,b , b ,b m m − 19
二.频率响应函数(系统传输特性频域表现) (一)幅频特性、相频特性和频率响应函数 根据定常线性系统的频率保持性,系统在简诸信号激励下,其稳态输出也是 简谐信号,两者幅值比A=Y/X和相位差φ均随频率a变化,即是ω的函数。 幅频特性—定常线性系统在简诸信号激励下其稳态输出信号和输入信号的 幅值比为系统的幅频特性,记为A(ω)。 相频特性—上述条件下,稳态输出对输入的相位差被定义为该系统的相频 特性,记为φ(a)。 系统频率特性—该系统的幅频特性和相频特性统称为系统频率特性。 一个复数可表示为z-b或z=1z其z=a+b0=ba 用H(ω)表示系统频率特性,也称为频率响应函数。 H(O)=A(0)e/o() 20
二．频率响应函数（系统传输特性频域表现） （一）幅频特性、相频特性和频率响应函数 根据定常线性系统的频率保持性，系统在简谐信号激励下，其稳态输出也是 简谐信号，两者幅值比A=Y0 /X0和相位差φ均随频率ω变化，即是ω的函数。 幅频特性——定常线性系统在简谐信号激励下其稳态输出信号和输入信号的 幅值比为系统的幅频特性，记为 A(ω)。 相频特性——上述条件下，稳态输出对输入的相位差被定义为该系统的相频 特性，记为φ(ω)。 系统频率特性——该系统的幅频特性和相频特性统称为系统频率特性。 一个复数可表示为Z =a+jb 或 Z = Z e j 其中 2 2 Z = a + b a b tg = 用 H(ω)表示系统频率特性，也称为频率响应函数。 ( ) ( ) ( ) j H = A e 20