常类似即变分算子d起着对从属变量的微分算子作用,其对应关系为dr-dz,dw如h, da→0u。若把函数F(x,v)中的以w看成是独立变量,那么它的全微分就是F的一阶 变分,这种比拟使变分计算变得容易,其运算规则如下 1)变分算子d可以像微分算子那样进行运算 d(n1F2)=F10F2+F20F 1.2.17 a(2)=0n .2.18) (2)变分算子与微积分算子能相互交换 d an=t =an=duso( da Fda=oFdc .2.I9) 上述法则可以推广到大于一维的各种情况,现以两维为例加以说明 F=F(m,孰,四v叨如 .220) 式中 四=(c,到 ar 2.22 F的一阶变分 OF aF 2.24) 例1.2.2 与例12.相同 F 2(絀)+2(:) (.2.25 求泛函 r()= 在端点固定情况下的一阶变分 ∫:(ac+o+aoor)k (.227) 由Q.225式得 2 F .228) a4 d 将上述结果代入(1.227)式 dI=Ccot+ f)ou+cn(da )ou+c. dzu dul lds (1.2.30) da2 如果用如=m代入,则与(210)式绩果相同
1.24泛函极值的必要条件 泛函 ()=F(a d .281) 设使泛函(1.231)获得极值,在如邻近取w=v+am,则应有 r)-I()≥0(≤0 即 -Ic)≥0(≤0) (1.2 因为当a=0时=物当物与η指定时,工(只是a的函数,记作(a),所以,对于I r(a)获得极值的必要条件是 d .2.84 另一方面,I在“时(即在a=0时)获得极值,这两个条件加在一起暗示了 di(o) 亦就是 dI 0 q.235) 与普通函数相类似,亦可以用泛函的二阶变分 2l da T(+a7 来判断泛函是相对极大或相对极小 1.25欧拉-拉格朗日(Euer- Lagrange)方程、自然和本质边界条件 泛函 rde 2.86) 式中 v=t〔9 .237) .238 为积分区域,r是D的边界 要使它有极值的必要条件为 d(u, o)=d,I(u, o)+o,I(u, D)=0 (1.239) 这里d和6表示对和的偏变分,于是有 dI= 8u.,+aw du F 接下来进行分部积分,以第二项为例说明计算细节 a/aR andy
a/aF (I2.41 对于其他项可用类似方法进行得 jE d[ au-2(8b ) ( u)Jo aF a(aF) a/aF ) do dad o g n灬n为边界外法线与轴的方向余弦。 要使(.2.42)式成立,则有 a/ aF a/ aF ag a0 0 )0 在Ω区域 2.43) 因为在Q区域0如是任意的,因此必须使它们的系数等于零。对于边界r上的积分,可 将r分成两部分r1、T2,C=F1+r2,边界r1上从属变量v"是指定的,因此0==0 即总是满足下面条件 d as na t ay d8=0 (1.2.44 = 在r1上 (1.2.465) 因为在n边界上,如d是任意的,必须使它们的系数等于零,即 F v=0 aF p 0在r2上 在边界r1上的边界条件(L.2.4)式称为本质边界条件 在边界r2上的边界条件(2.46)式称为自然边界条件 在Q区域的方程(1.2.43)式称为欧拉方程。 例123拉弯悬臂梁(图12),截面面积为A,抗弯惯矩I弹性模量为E,悬臂端 作用轴力P、弯矩M0梁上作用分布荷载q(a)。 图12弯拉伸臂梁 设u(),w(∞)为:方向和g方向的位移,本质边界条件 u(0)=w(0)=(dw 泛函即总势能 m({2「+2(出 e/dad
+gu da-Pu(l)-4. _dw (1.2 变分的量为队切。 ao-fx4c+2(如)~+如絀) +ei der dazz gdo jadx-Pou l -Mo dm 12.48) 进行分部积分后有 aym)-{-a[n(出+2()}u-a ea dw du 1/ dw d d w+ gou da +[nAa+2()m,+[nA(如+2(如)m +(nc:-d(n))-2-P(-M絀 (.2.49) 将上式积分号内的d和00前的系数分别集合起来,就能获得欧拉方程 a{4出+2(:)]} =00<c<L a(x出)a{a[出+数:)}+q=0 0<c<L 12.50b) donn 同样在如=L处将如如和d前的系数分别集合起来就得到自然边界条件 P=0 = 2.6a a el di )-{B細[a+2()]=0 c=D(.2.61b) (細) EI d2, dr2 -Mo=o ==l .2b1c 在=0处的边界条件为本质边界条件即 u)=(=a(O)=0 12.62 例1.2.4用变分理论分析弹性薄板(图13)。 (1)位移与应变的关系 在板的中面设置直角坐标系0y2,与坐标轴方向相应的位移为(,y、υ(9和 a(x,9)。根据中面法线在变形后仍垂直于中面的假定有 , (a,9)= (1.2.63) 由此可得到应变 ax2
(x刀 图13平板的弯曲 02 ay .2.54b) 2.B4c 2)应力与应变关系,内力与位移关系 应力正方向如图14,根据虎克定律有 1-y(e=s+ veys) (1.2.55a) 2(ev+ vega) Try=Grey Q1.2.660) 图1.4应力正方向