ax2Ey=0令2mE=p 2m dx dy p 两个特解vy1=e 得 2+12y=0 所以,一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解: 1(x,t)=v1(x)f()=Ae ikx -iot e已 三e ,(o-kx)沿+x方向的平面单色波 E p,(x, t)=v2(x)(t)=Ae he =Aeke11=e-(+kx)沿-x方向的平面单色波
2 令 2mE = p 0 2 2 2 2 + = p dx d 得 0 2 2 2 2 + = E m dx d x p i e 1 = x p i e − 2 = 两个特解: 所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解: ( ) 1 1 ( , ) ( ) ( ) ik x i t i t k x t E i x p i Ae e Ae x t x f t Ae e − − − − = = = = 沿 + x 方向的平面单色波 ( ) 沿 - x 方向的平面单色波 2 2 ( , ) ( ) ( ) ik x i t i t k x t E i x p i Ae e Ae x t x f t Ae e − − − + − − = = = =
13-7一维无限深方势阱 维无限深势阱中粒子的波函数与能量 金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为束缚态。 作为粗略的近似,我们认为这些电子在一维无限深势阱中运 动,即它的势能函数为: 0 0<x<a U(x) U(r)=oo x≤0,x≥a 分析:这种势场表示粒子可以 在势阱中运动,但不能越出势阱 因为x≤0,x≥a区域的势能 为无穷大。 U(x)=0 (这是一个理想化的模型) I区I区II区
13-7 一维无限深方势阱 一.一维无限深势阱中粒子的波函数与能量 金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运 动，即它的势能函数为: = x x a x a U x 0, 0 0 ( ) 区 区 区 分析： 这种势场表示粒子可以 在势阱中运动，但不能越出势阱， 因为x 0 ,x a 区域的势能 为无穷大。 （这是一个理想化的模型）
d'o 2m 2+2(E=U)=0 (定态问题) 解:由于在I、Ⅲ两区的U(x)=∞,为保W (x)=∞ 证波函数有限的物理条件,显然在区域 x≤0,x≥a中 (x)=0m(x)=0 U(x)=0 x (O)=0y(a)=0 I区Ⅱ区II区 在Ⅲ区域0<x<a中,U(x)=0,粒子的定态薛定谔方程为 do(),2mE 22c(x)=0 令h22mE dx 2+k=0 其通解为:y(x)= Sinko+ Bosky
( ) 0 2 2 2 2 + − = E U m dx d (0) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 = = = = a x x Ⅰ Ⅲ ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 + mE x = d x d x 2 2 2 mE 令k = 由于在 I、 III 两区的 U(x)＝ ，为保 证波函数有限的物理条件，显然在区域 中 解： x0, xa 在II区域 0 x a 中， U(x)＝0，粒子的定态薛定谔方程为： 其通解为：(x)= Asinkx+Bcoskx （定态问题） 区 区 区 0 2 2 2 + = k dx d