第一篇力学 (2)当整个装置以加速度a=1m·s2上升时,得绳张力的值为 Fr=3.24×103N 此时,乙对甲的作用力则为 1.08×10.N 由上述计算可,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所 受张力也不同,加速度大,绳中张力也大因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确 保起吊过程的安全 2-8如图(a)所示,已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg,物体A以加 速度a=1.0m·sˉ运动,求物体B与桌面间的摩擦力.(滑轮与连接绳的质量 不计) 分析该题为连接体问题,同样可用隔 离体法求解.分析时应注意到绳中张力大小 处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和 伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前 提下成立,同时也要注意到张力方向是不同 的 解分别对物体和滑轮作受力分析[图 (b)].由牛顿定律分别对物体A、B及滑轮列 动力学方程,有 (1) F-F FT F4-2Fm=0 考虑到m4=m=m,Fr=F1,F1n=Fn a′=2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力 F mg-(m+4m)a 7.2N 讨论动力学问题的一般解题步骤可分 (b) 为:(1)分析题意,确定研究对象,分析受力 题2-8图 选定坐标;(2)根据物理的定理和定律列出原 始方程组;(3)解方程组,得出文字结果;(4)核对量纲,再代入数据,计算出结 果来 2-9质量为m'的长平板A以速度t'在光滑平面上作直线运动,现将质量 为m的木块B轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为,求木 块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度? 分析当木块B平稳地轻轻放至运动着的平板A上时,木块的初速度可视
第二章牛顿定律 为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动 状态根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度,换以平板为参考系来分 析,此时,木块以初速度-r(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运 动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得 该题也可应用第三章所讲述的系统 的动能定理来解.将平板与木块作为系 统,该系统的动能由平板原有的动能变 为木块和平板一起运动的动能,雨它们 的共同速度可根据动量定理求得.又因 题2-9图 为系统内只有摩擦力作功,根据系统的 动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量.木块相对平板移动的距离即可求 解1以地而为参考系,在摩擦力F=Amg的作用下,根据牛顿定律分别对 木块、平板列出动力学方程 FI=Amg=ma F1=-F a1和a2分别是木块和木板相对地面参考系的加速度若以木板为参考系,木块相 对平板的加速度a=a1+a2,木块相对平板以初速度-m作匀减速运动直至最终 停止.由运动学规律有 由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为 mn v 解2以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为 W=fs+D-F, 式中l为平板相对地而移动的距离 由于系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,根据动量守恒定 律,有 由系统的动能定理,有 μmgs=m m十m) 由上述各式可得
第-篇力学 2-10如图(a)所示,在一只半径为R的半球形碗内,有一粒质量为m的 小钢球,当小球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底 有多高? 分析维持钢球在水平面内作匀角速度转 动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的 力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力 Fs的分力来提供的,由于支持力F始终垂直于 碗内壁,所以支持力的大小和方向是随a而变 的取图示Oxy坐标,列出动力学方程,即可求解 钢球距碗底的高度 (a) 解取钢球为隔离体,其受力分析如图(b) 所示在图示坐标中列动力学方程 sinb=man=mR)sin日 Fycos 0=mg (2 且有 (R-h) (b) 由上述各式可解得钢球距碗底的高度为 题2-10图 h=R 可见,h随ω的变化而变化 2-11火车转弯时需要较大的向心力,如果两条铁轨都在同一水平面内 (内轨、外轨等高),这个向心力只能由外轨提供,也就是说外轨会受到车轮对它 很大的向外侧压力,这是很危险的因此,对应于火车的速率及转弯处的曲率半 径,必须使外轨适当地高出内轨,称为外轨超高现有一质量为m的火车,以速 率v沿半径为R的圆弧轨道转弯,已知路面倾角为θ,试求:(1)在此条件下,火 车速率v为多大时,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零?(2)如果火车 的速率D≠t,则车轮对铁轨的侧压力为多少? 分析如题所述,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仪由轨道支 持力的水平分量Fsinθ提供(式中θ角为路面倾角).从而不会对内外轨产生 挤压.与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率v行驶当火车行驶速率≠ 时,则会产生两种情况:如图所示,如v>t时,外轨将会对车轮产生斜向内的 侧压力F1,以补偿原向心力的不足,如<n时,则内轨对车轮产生斜向外的侧 压力F2,以抵消多余的向心力,无论哪种情况火车都将对外轨或內轨产生挤压.由 此可知,铁路部门为什么会在每个铁轨的转弯处规定时速,从而确保行车安全, 解(1)以火车为研究对象,建立如图所示坐标系据分析,由牛顿定律有
第二章牛顿定律 Fsin 0=m- g 解(])(2)两式可得火车转弯时规定速率为 t=√ eRtan (2)当v>t0时,根据分析有 FN F、sin6+F1cos6 R C 0 解(3)(4)两式,可得外轨侧压力为 0-gsin g 当v<v时,根据分析有 题2-11图 FNsin 6- F2 cos 8 Fcos6+F2sinθ-mg=0 解(5)(6)两式,可得内轨侧压力为 F2=m( gsin R 2-12一杂技演员在圆简形建筑物内表演飞车走壁,设演员和摩托车的总 质量为m,圆筒半径为R,演员骑摩托车在直壁上以速率v作匀速圆周螺旋运 动,每绕一周上升距离为h,如图所示求壁对演员和摩托车的作用力 分析杂技演员(连同摩托车)的运动可以看成一个水平面内的匀速率圆 周运动和一个竖直向上匀速直线运动的叠加.其旋转一周所形成的旋线轨迹展 开后,相当于如图(b)所示的斜面把演员的运动速度分解为图示的v1和n2两个 分量,显然v是竖直向上作匀速直线运动的分速度,而v2则是绕圆葡壁作水平圆 周运动的分速度,其中向心力由筒壁对演员的支持力F的水平分量F提供,面 竖直分量FN则与重力相平衡.如图(c)所示,其中p角为摩托车与筒壁所夹角 运用牛顿定律即可求得筒壁支持力的大小和方向 解设杂技演员连同摩托车整体为研究对象,据(b)(c)两图应有 NI-mg=o (1) R (2) 2丌R V, veos 0=v (3) (2TR)2+h
第一篇力学 题2-12图 √F (4) 以式(3)代人式(2),得 F=m.4TRD=4T Rmu R4m2R2+h24σ2R2+h2 (5) 将式(1)和式(5)代人式(4),可求出圆筒壁对杂技演员的作用力(即支承 力)大小为 2+F2 4丌2R2+h2 与壁的夹角φ为 4π2R2 = arctan arctan (4r2R2+h2)g 讨论表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的 方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律 2-13一质点沿x轴运动,其受力如图所示,设t=0时,t=5m·s-1,x 2m,质点质量m=kg,试求该质点7s末的速度和位置坐标 分析首先应由题图求得两个时间段的FN F(1)函数进而求得相应的加速度函数,运用积10 分方法求解题日所问,积分时应注意积分上下限 的取值应与两时间段相应的时刻相对应 解由题图得 0<t<5 35-5t,5s<!<7s 题2-13图 由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分