2 第一篇力学 性和叠加性是叠加原理中的两个重要原帅,掌握若干基本的简单运动的物理规 律,再运用叠加法就可以使我们化“复杂”为“简单”.此外运用叠加法时要注意 选择合适的坐标系,选择什么样的坐标系就意味着运动将按相应形式分解.在力 学中,对一般平面曲线运动,多采用平面直角坐标系,平面圆周运动多采用自然 坐标系,而对刚体绕定轴转动则采用角坐标系等等 叠加原理在诸如电磁学,振动、波动等其他领域内都有广泛应用,是物理学 研究物质运动的一种基本思想和方法,需读者在解题过程中不断体会和领悟 3类比法 有些不同性质运动的规律具有某些相似性,理解这种相似性产生的条件和 遵从的规律有利于发现和认识物质运动的概括性和统一性.而且还应在学习中 善于发现并充分利用这种相似性,以拓宽自己的知识面例如质点的直线运动和 刚体绕定轴转动是两类不同运动但是运动规律却有许多可类比和相似之处,如 山d 与 其实它们之间只是用角量替换了相应的线量而已,这就可由比较熟悉的公式联 想到不太熟悉的公式这种类比不仅运动学有,动力学也有,如 F 与M=Ja fdt=mu-mvo 5 Md:=Jo-Lo 2m-2m2与「Md0=2Jo3-Jo 可以看出两类不同运动中各量的对应关系十分明显,使我们可以把对质点 运动的分析方法移植到刚体转动问题的分析中去.当然移植时必须注意两种运 动的区别,一个是平动一个是转动,状态变化的原因一个是力面另一个是力矩 此外还有许多可以类比的实例,如万有引力与库仑力静电场与稳恒磁场,电介 质的极化与磁介质的磁化等等只要我们在物理学习中善于归纳类比,就可以沟 通不同领域内相似物理问题的研究思想和方法,并由此及彼,触类旁通 4.微积分在力学解题中的运用 微积分是大学物理学习中应用很多的一种数学运算,在力学中较为突出,也 是初学大学物理课程时遇到的一个困难要用好微积分这个数学工具,首先应在 思想上认识到物体在运动过程中,反映其运动特征的物理量是随时空的变化而 变化的一般来说,它们是时空坐标的函数运用微积分可求得质点的运动方程 和运动状态这是大学物理和中学物理最显著的区别例如通过对质点速度函数 中的时间t求一阶导数就可得到质点加速度函数另外对物理量数学表达式进
求解力学问题的基本思路和方法 行合理变形就可得出新的物理含义、如由d=adt,借助积分求和运算可求得在 t1-l2时间内质点速度的变化;同样由dr=dt也可求得质点的运动方程.以质点 运动学为例,我们可用微积分把运动学问题归纳如下 第一类问题:已知运动方程求速度和加速度; 第二类问题:已知质点加速度以及在起始状态时的位矢和速度,可求得质点 的运动方程 在力学中还有很多这样的关系,读者不妨自己归纳整理一下,从而学会自觉 运用微积分来处理物理问题,运用时有以下几个问题需要引起大家的关注 (1)运用微积分的物理条件在力学学习中我们会发现,="0+at和r= tot+,a等描述质点运动规律的公式,只是式「d=ad和式d ("o+at)dt在加速度a为恒矢量条件下积分后的结果 此外,在高中物理中只讨论了一些质点在恒力作用下的力学规律和相关物 理问题,而在大学物理中则主要研究在变力和变力矩作用下的力学问题,微积分 将成为求解上述问题的主要数学工具 (2)如何对矢量函数进行微积分运算我们知道很多物理量都是矢量,如力 学中的r、a、P等物理量,矢量既有大小又有方向,从数学角度看它们都是“二 元函数”,在大学物理学习中,通常结合叠加法进行操作,如对一般平面曲线运 动可先将矢量在固定直角坐标系中分解,分别对xy轴两个固定方向的分量(可 视为标量)进行微积分运算,最后再通过叠加法求得矢量的大小和方向;对平面 圆周运动则可按切向和法向分解,对切线方向上描述大小的物理量a1、v、等进 行微积分运算 (3)积分运算中的分离变量和变量代换问题以质点在变力作用下作直线 运动为例,如已知变力表达式和初始状态求质点的速率,求解本问题一条路径 是:由F=ma求得a的表达式,再由式d=adt通过积分运算求得U,其中如果 力为时间t的显函数则a=a(t),此时可两边育接积分,即「dm=(a()ld;但 如果力是速率t的显函数,则a=a(),此时应先作分离变量后再两边积分,即 am=-,.山,又如力是位置x的最函数,则a=(x,时可利用=出得 并取代原式中的d,再分离变量后两边积分,即 dt=a(x)dx,用 变量代换的方法可求得(x)表达式,在以上积分中建议采用定积分,下限为与 积分元对应的初始条件,上限则为待求量 5.求解力学问题的几条路径
第一篇力学 综合力学中的定律,可归结为三种基本路径,即 (1)动力学方法:如问题涉及到加速度,此法应首选运用牛顿定律、转动定 律以及运动学规律,可求得几乎所有的基本力学量,求解对象广泛,但由于涉及 到较多的过程细节,对变力(矩)问题,还将用到微积分运算,故计算量较大因 而只要问题不涉及加速度,则应首先考虑以下路径 (2)(角)动量方法:如问题不涉及加速度,但涉及时间,此法可首选 (3)能量方法:如问题既不涉及加速度,又不涉及时间,则应首先考虑用动 能定理或功能原理处理问题 当然对复杂问题,几种方法应同时考虑此外,三个守恒定律(动量守恒、能 量守恒、角动量守恒定律)能否成立往往是求解力学问题首先应考虑的问题.总 之应学会从不同角度分析与探讨问题 以上只是原则上给出求解力学问题一些基本思想与方法,其实求解具体力 学问题并无固定模式,有时全靠“悟性”.但这种“悟性"产生于对物理基本规律 的深人理解与物理学方法掌握之中,要学会在解题过程中不断总结与思考,从而 使自己分析问题的能力不断增强
第一章质点运动学 1-1质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r,速度为,速率为,t至 (4+△t)时间内的位移为Ar,路程为△s,位矢大小的变化量为△Δr(或称 △|r1),平均速度为,平均速率为t (1)根据上述情况,则必有() (A)△r|=△s=△r (B)1△r≠△s≠△r,当△t-40时有ldr|=ds≠dr (C)1△r≠△r≠△s,当△t0时有ldr|=d≠ds (D)△rl≠△s≠△r,当△t0时有ldr|=dr=d (2)根据上述情况,则必有() (A)|=t,|l=t (B)11≠,v|≠D (C)|t=U,l≠ (D)1≠扔, 分析与解(1)质点在t至(t+△t)时间内沿曲线从P点运动到P点,各量 关系如图所示,其中路程As=PP',位移大小 △r=PP’,而△r=|r'|-|r表示质点位矢大小的 变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大 小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但 当△t0时,P点无限趋近P点,则有ldr|=ds,但 却不等于dr.故选(B) (2)由于|△r≠△s,故 42即11≠ 题1-1图 但由于|d1=d,|山|= d=:,即!由此可见,应选(C) 1-2一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有 四种意见,即 dirl (2) (3 (4) dt 下述判断正确的是() (A)只有(1)(2)正确 (B)只有(2)正确 (C)只有(2)(3)正确 (D)只有(3)(4)正确
第一篇力学 分析与解d表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中 叫径向速率通常用符号v,表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;业表 示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式n=计算,在直角坐标系中则 可由公式= dx d dt de 求解.故选(D) 1-3质点作曲线运动,表示位置矢量,表示速度,a表示加速度,s表示 路程,a,表示切向加速度.对下列表达式,即 (1)do/dt=a; (2)dr/d=vi (3)ds/dt=0;(4)i do/dtl=a 下述判断正确的是() (A)只有(I)、(4)是对的(B)只有(2)、(4)是对的 (C)只有(2)是对的 (D)只有(3)是对的 分析与解立,表示切向加速度a它表示速度大小随时间的变化率,是 加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;在极坐标系 中表示径向速率n,(如题1-2所述):业在自然坐标系中表示质点的速率v; d e 表示加速度的大小前不是切向加速度a1因此只有(3)式表达是正 确的.故选(D) 1-4一个质点在做圆周运动时,则有() (A)切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B)切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C)切向加速度可能不变,法向加速度不变 D)切向加速度一定改变,法向加速度不变 分析与解加速度的切向分量a起改变速度大小的作用,而法向分量an起 改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加 速度的方向也在不断改变因而法向加速度是一定改变的至于a是否改变,则 要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时,a1恒为零;质点作匀变速 率圆周运动时,a,为一不为零的恒量,当a改变时,质点则作一般的变速率圆周 运动由此可见,应选(B 1-5如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮 拉湖中的船向岸边运动设该人以匀速率v收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的