§5.1.非简并定态微扰理论 11/91 同理,如用H()表示,则为 H nn V( Odr EOEHD=H 已知E,由式(5,1-9)可求出ψ).为此将y)按H0的本征函数 系{0展开, (1),(0) 由于+a0仍是方程(51-9)的解,总可以选取适当的a,使得上 式中不含ψ,所以 (≠n) (5.1-14) 式中求和号右上角的一撇表示求和时不包括l=n的项.将 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 11/91 Ón§X^ Hb(1) L«§K H (1) nn = Z ψ (0)∗ n Hb(1)ψ (0) n dτ, E (1) n = λH (1) nn = H 0 nn. ® E (1) n §dª(5.1-9)¦Ñ ψ (1) n ©dò ψ (1) n U Hb(0) ¼ê X {ψ (0) n } Ðm§ ψ (1) n = X l a (1) l ψ (0) l . du ψ (1) n + aψ (0) n E´§(5.1-9))§o±À· a§¦þ ª¥Ø¹ ψ (0) n §¤± ψ (1) n = X l 0 a (1) l ψ (0) l , (l , n). (5.1-14) ª¥¦ÚÒmþ§L«¦ÚØ) l = n ©ò
§5.1.非简并定态微扰理论 12/1 式(5.1-14)代入式5.1-9),得 ∑E0av-E0∑aw=E0-v0 以0)(m≠n)左乘上式两边,并对整个空间积分,注意到的正 交归一性 (0)*,(0) n T 得 (0) H T (5.1-15) nn VO"H dr. (5.1-16 Hn就是微扰矩阵元.于是式(51-15)简化为 (E0)-Em) H mn ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 12/91 ª(5.1-14)\ª(5.1-9)§ X l 0 E (0) n a (1) l ψ (0) l − E (0) n X l 0 a (1) l ψ (0) l = E (1) n ψ (0) n − Hb0ψ (0) n . ± ψ (0)∗ m (m , n) ¦þªü>§¿émÈ©§5¿ ψ (0) l 8Z 5 ψ (0)∗ m ψ (0) l dτ = δml. X l 0 E (0) l a (1) l δml − E (0) n X l 0 a (1) l δml = − Z ψ (0)∗ m Hb0ψ (0) n dτ. (5.1-15) - ~ H 0 mn = Z ψ (0)∗ m Hb0ψ (0) n dτ. (5.1-16) H0 mn Ò´6Ý ©u´ª(5.1-15){z (E (0) n − E (0) m )a (1) m = H 0 mn
§5.1.非简并定态微扰理论 13/1圆 或 H .1-17) 代入式(51-14),得 (0) (5.1-18) 为了能量二级修正,把式(51-14代入式(51-10),并用ψ0*左乘 方程(51-10两边后对整个空间积分后,得 y0)(H0-E0)y23 +B∑abm1+E=0,(mn≠D 这里用了ψ的正交归一性.和式(51-12)一样,上式左边为零;右边 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 13/91 ½ ~ a (1) m = H0 mn E (0) n − E (0) m . (5.1-17) \ª(5.1-14)§ ψ (1) n = X m 0 H0 mn E (0) n − E (0) m ψ (0) m . (5.1-18) Uþ??§rª(5.1-14)\ª(5.1-10)§¿^ ψ (0)∗ n ¦ §(5.1-10)ü>émÈ©§ Z ψ (0)∗ n (Hb(0) − E (0) n )ψ (2) n dτ = − X l 0 a (1) l H 0 nl +E (1) n X l 0 a (1) l δnl + E (1) n = 0, (n , l). ùp^ ψ (0) n 85©Úª(5.1-12)§þª>"¶m>
§5.1.非简并定态微扰理论 1491 第二项由于l≠n也为零,于是 HH H EIO)-Ef IH'E2 0),(n≠D (5.1-19) 上式中使用了H是厄密算符,因此,由式(51-16)有Hn=Hmn 由式(51-10)可求出ψ2).用类似的步骤可求得能量和波函数的更 高级修正,这里不作详细推倒,也不作要求 将式(51-13)和(51-19代入式(51-5),得受微扰体系的能量 E= eo +hr mE-E0+…,m≠n(5.1-20) n 将式(51-18代入(51-16),得体系的波函数 nsuo H mn m≠n.(5.1-21) E ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. . {. ¿. ½. . . 6. n. Ø. 14/91 1du l , n "§u´ E (2) n = X l 0 a (1) l H 0 nl = X l 0 H0 lnH0 nl E (0) n − E (0) l = X l 0 |H0 nl| 2 E (0) n − E (0) l , (n , l). (5.1-19) þª¥¦^ Hb(1) ´Î§Ïd§dª(5.1-16)k H0 ln = H0∗ nl© dª(5.1-10)¦Ñ ψ (2) n ©^aqÚ½¦UþÚżê p??§ùpØ[í§Ø¦© òª(5.1-13)Ú(5.1-19)\ª(5.1-5)§É6NXUþ ~ En = E (0) n + H 0 nn + X m 0 |H0 nm| 2 E (0) n − E (0) m + · · · , m , n.(5.1-20) òª(5.1-18)\(5.1-16)§NXżê ~ ψn = ψ (0) n + X m 0 H0 mn E (0) n − E (0) m ψ (0) m + · · · , m , n. (5.1-21)
51.非简并定态微扰理论 15/1 至微扰理论使用的条件是级数5120和(5121)收敛.要判断级数是 否收敛,必须知道级数的通项.由于不知道所讨论的两个级数的高级 项,我们只能要求级数的已知几项中后面的项远小于前面的项.由此 得到理论使用的条件是 H (5.1-22) 这就是前面提到的H很小的明确表示.当式(51-22)满足时,由于 H=AH①,所以式(5.1-22)等价于A<<1.在此条件下计算一级和二 级修正可得到相当精度的结果 由式(5122)可知,微扰理论的方法是否使用不仅取决于矩阵元 Hm的大校同时还决定于能级间距|E-Em.如,在库仑场中体系 的能级与量子数n的平方成反比[见P68页式(3.3-20);当n大时,能 级间距很校此时微扰理论只使用于计算低能级(n小)的修正,而不能用 来计算高能级(n大)的修正 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 15/91 ~ . 6. n. Ø. ¦. ^. . ^. . ´. ?. ê. (5.1-20)Ú. (5.1-21)Â. ñ. ©. . ä. ?. ê. ´. Ä. Â. ñ. §7. L. . . ?. ê. . Ï. . ©d. u. Ø. . . ¤. ?. Ø. . ü. . ?. ê. . p. ?. . §·. . . U. . ¦. ?. ê. . ®. . A. . ¥. . ¡. . . . . u. c. ¡. . . ©d. d. . . n. Ø. ¦. ^. . ^. . ´. ~ H0 mn E (0) n − E (0) m << 1, (E (0) n , E (0) m ). (5.1-22) ù. Ò. ´. c. ¡. J. . . Hb0 é. . . ². (. L. «. ©. ª. (5.1-22)÷. v. . §d. u. Hb0 = λHb(1)§¤. ±. ª. (5.1-22) . d. u. λ << 1©3. d. ^. . e. O. . . ?. Ú. . ?. ?. . . . . . . °. Ý. . (. J. © d. ª. (5.1-22). . §. 6. n. Ø. . . {. ´. Ä. ¦. ^. Ø. =. . û. u. Ý. . . H0 mn . . . .Ó. . . û. ½. u. U. ?. m. å. |E (0) n − E (0) m |©X. §3. ¥. Õ. |. ¥. N. X. . U. ?. . þ. f. ê. n . ². . ¤. . '. [. P.68. ª. (3.3-20)]¶. n . . §U. ?. m. å. é. . .d. . . 6. n. Ø. . ¦. ^. u. O. . $. U. ?. (n. ). ?. . § . Ø. U. ^. 5. O. . p. U. ?. (n. ). ?. . ©