51.非简并定态微扰理论 16/91 例:一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场6作用,电场沿正x 轴方向.用微扰法求体系的定态能量和波函数.这正是电介质的极化 问题 解:体系的哈密顿算符是 H h2 d2 2udx2 在弱电场情况下,最后一项很校因此,令 h2d21 H Adx2+ sw 2 H=-eox H0是线性谐振子在无外电场时的哈密顿算符,它的本征值和本征函 数已在§27中求出.现在计算微扰对第n个能级的修正,由 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 16/91 ~ ~µ>Ö e 5fÉð½f>| E ^§>|÷ x ¶©^6{¦NX½UþÚżê©ù´>04z ¯K© )µNXMîδ Hb = − ~ 2 2µ d 2 dx 2 + 1 2 µω2 x 2 − eE x. 3f>|¹e§éÏd§- Hb(0) = − ~ 2 2µ d 2 dx 2 + 1 2 µω2 x 2 , Hb0 = −eE x. Hb(0) ´5f3à >|MîΧ§ Ú ¼ ê®3 § 2.7 ¥¦Ñ©y3O6é1 n U??§d
§5.1.非简并定态微扰理论 17/1圆 式(51-20),得 yo*H odx rHa(ar)e-a'x2 dx 由于厄密多项式Hnax)是x的奇函数或偶函数,H2(ax)-定是x的偶 函数,因此上式中被积函数是x的奇函数,积分等于零.所以 E 0. 这样,这样一来必须计算二级修正.为求E2,必须计算微扰矩阵元 n DO*(x)Hydx -NmNne6/ xHm(ax)Hn(ax)edx ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 17/91 ª(5.1-20)§ E (1) n = Z ∞ −∞ ψ (0)∗ n Hb0ψ (0) m dx = −N 2 n eE Z ∞ −∞ xH2 n (αx)e−α 2x 2 dx. duõªHn(αx) ´ x Û¼ê½ó¼ê§H2 n (αx)½´ x ó ¼ê§Ïdþª¥È¼ê´ x Û¼ê§È© u"©¤± E (0) n = 0. ù§ù57LO??©¦ E (2) n §7LO6Ý H0 mnµ H 0 mn = Z ∞ −∞ ψ (0)∗ m (x)Hb0ψ (0) n dx = −NmNneE Z ∞ −∞ xHm(αx)Hn(αx)e−α 2x 2 dx
51.非简并定态微扰理论 18/91 MnNer oo fHm(sHn( s ds. 由厄密多项式的递推公式(27-13见P41页] 5Hn(5)==Hn+1(5)+nHn-1(), 有 NoNne n Hn+1(5)Hm(5)eds +n/ Hn-1(5)Hm(5)esds e「/n+11/2r 2 m+1()0(x)dx+/2) /2 mlm-(r) m(r)d (n+1)126mn+1+n2 m,n-1 最后一步是因为v(x)是H0的本征函数,它具有正交归一性.代入 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 18/91 = − NmNneE α2 Z ∞ −∞ ξHm(ξ)Hn(ξ)e−ξ 2 dξ. dõª4íúª(2.7-13)[P.41] ξHn(ξ) = 1 2 Hn+1(ξ) + nHn−1(ξ), k H 0 mn = − NmNneE α2 1 2 Z ∞ −∞ Hn+1(ξ)Hm(ξ)e−ξ 2 dξ + n Z ∞ −∞ Hn−1(ξ)Hm(ξ)e−ξ 2 dξ = − eE α " n + 1 2 1/2 Z ∞ −∞ ψ (0) n+1 (x)ψ (0) m (x)dx + n 2 1/2 Z ∞ −∞ ψ (0) n−1 (x)ψ (0) m (x)dx # = −eE ~ 2µω1/2 (n + 1)1/2 δm,n+1 + n 1/2 δm,n−1 . Ú´Ï ψ (0) n (x) ´ Hb(0) ¼ê§§äk85©\
§5.1.非简并定态微扰理论 19/91 能量的二级修正式,得 (0) 0) he262 n+1 2 n 因为线性谐振子两相邻能级间隔是o,所以 he2a2「n+1 2uw 2 上式表明,能级移动与n无关,即与振子的状态无关 波函数的一级修正为 H (0) 1/2 0) +E (0) n+1 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 19/91 Uþ??ª§ E (2) n = X m 0 |H0 mn| 2 E (0) n − E (0) m = ~e 2E 2 2µω " n + 1 E (0) n − E (0) n+1 + n E (0) n − E (0) n−1 # . Ï5füU?m ´ ~ω§¤± E (2) n = ~e 2E 2 2µω − n + 1 ~ω + n ~ω = − e 2E 2 2µω2 . þªL²§U?£Ä n Ã'§=fGÃ'© żê?? ψ (1) n = X m 0 H0 mn E (0) n − E (0) m ψ (0) m = −eE ~ 2µω1/2 " (n = 1)1/2ψ (0) n+1 E (0) n + E (0) n+1 + n 1/2ψ (0) n−1 E (0) n + E (0) n−1 #
51.非简并定态微扰理论 20/91 12 phuc (n+1)1/20 l/2,n(0) 1 n 上式对n≥1成立.对基态,n=0,则上式括号中只有第一项,而无 第二项. 实际上,本问题中的能级移动可以直接准确求出.体系的哈密顿 算符为 矿、h2d2 2udx 2udx2 h2 d2 2udx' t uor 式中x=x 由此可见,所讨论的体系仍是一个线性谐振子,它 的每个能级都比无电场时的相应能级低2,平衡点向右移动了 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 20/91 = eE 1 2~µω3 1/2 h (n + 1)1/2ψ (0) n+1 − n 1/2ψ (0) n−1 i . þªé n ≥ 1 ¤á©éħn = 0§Kþª)Ò¥k1§ à 1© ¢Sþ§ ¯K¥U?£Ä±O(¦Ñ©NXMî Î Hb = − ~ 2 2µ d 2 dx 2 + 1 2 µω2 x 2 − 2E x = − ~ 2 2µ d 2 dx 2 + 1 2 µω2 x − eE µω2 2 − e 2E 2 2µω2 = − ~ 2 2µ d 2 dx 02 + 1 2 µω2 x 02 − e 2E 2 2µω2 . ª¥ x 0 = x − eE µω2©dd§¤?ØNXE´5f§§ zU?Ñ'Ã>|AU?$ e 2E 2 2µω2§²ï:m£Ä