51.非简并定态微扰理论 6/91 85.1非简并定态微扰理论 微扰理论一处理的是理想系统严格解基础上的微小修正.假设体 系的哈密顿算符H不显含时间,而且可分为两部分:H0和m;已 知H0的本征值和本征函数分别为:E0),y0;H很校可看作是加在 H0上的微扰.即 H=H(O+H (5.1-1) H0)y0 n= ( OL 0 (5.1-2) H n=Enyn 5.1-3 其中,En,vn分别是H的本征值和本征函数 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 6/91 §5.1 {¿½6nØ 6nØ—?n´nXÚî)Ä:þ?©bN XMîÎ Hb Øw¹m§ ©üÜ©µHb(0) Ú Hb0 ¶® Hb(0) Ú ¼ê©OµE (0) n , ψ(0) n ¶Hb0 éw´\3 Hb(0) þ6©= ~ Hb = Hb(0) + Hb0 , (5.1-1) ~ Hb(0)ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n , (5.1-2) ~ Hbψn = Enψn. (5.1-3) Ù¥§En, ψn ©O´ Hb Ú ¼ê©
§5.1.非简并定态微扰理论 7/1圆 E2 EI 图23受微扰后能级的移动 如果没有微扰,则H就是F0;En,ψ就是E0,v0.微扰的引 入使得体系的能级由E0变为En,即能级发生移动(如图示),波函数 也由ψ0变为n本节和下两节讨论定态微扰理论,使我们可以近似 地由H0的分立能级E0求出与H相应的能级En,由波函数ψ0求 出n 微扰项H的确切含义将在后面[见51-22].为了明显地表示出微 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 7/91 XJvk6§KHb Ò´ Hb(0)¶En, ψn Ò´ E (0) n , ψ(0) n ©6Ú \¦NXU?d E (0) n C En§=U?u)£Ä(Xã«)§Å¼ê d ψ (0) n C ψn© !Úeü!?ؽ6nا¦·±Cq /d Hb(0) ©áU? E (0) n ¦Ñ Hb AU? En§dżê ψ (0) n ¦ Ñ ψn© 6 Hb0 (¹Âò3¡[5.1-22]© ²w/L«Ñ
§5.1.非简并定态微扰理论 8/91 小的程度,将H写为 H=AHO (5.1-4) 其中A是很小的实参数.由于En,n都与微扰有关,可以它们看作是 表征微扰程度的参数A的函数.波函数与能量本征值都可按A的幂级 数进行展开,称为微扰参数 En=E0+AE(1)+2E(2)+ 5.1-5) yn=v0++2 (5.1-6) 式中,E0,y0分别是体系未受微扰时的能量和波函数,称为零级近 似能量和零级近似波函数.AE(,是能量和波函数的一级修正, 等等 将式(5.1-1)、(5.1-4)(5,1-6代入式51-3)中,得到 (H0+A()(y0+m+2yn ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 8/91 §Ý§ò Hb0 ~ Hb0 = λHb(1) , (5.1-4) Ù¥ λ ´é¢ëê©du En, ψn Ñ6k'§±§w´ L6§Ýëê λ ¼ê©Å¼êUþ ÑU λ ? ê?1Ðm§¡6ëê. ~ En = E (0) n + λE (1) n + λ 2E (2) n + · · · , (5.1-5) ~ ψn = ψ (0) n + λψ(1) n + λ 2ψ (2) n + · · · . (5.1-6) ª¥§E (0) n , ψ(0) n ©O´NXÉ6UþÚżꧡ"?C qUþÚ"?Cqżê©λE (1) n , λψ(1) n ´UþÚżê??§ © òª(5.1-1)!(5.1-4)—(5.1-6)\ª(5.1-3)¥§ (Hb(0) + λHb(1))(ψ (0) n + λψ(1) n + λ 2ψ (2) n + · · · )
51.非简并定态微扰理论 9/91 (E0+Em+2E2)+…)(y0+n)+x2y23+…).(5.1-7) 这个等式两边A同次幂的系数应相等,由此得到下面一组方程 H0-E0)y0=0, 5.1-8) HO-EOYO=-(HW-En ) un, 5.1-9) (H0-E0)y2)=-(H1)-E0)ym)+E2y2) 1-10 方程式(518)就是方程式(51-2)式(519是如所满足的微分方程 由它可以得出E和ψ.注意,如果v)是方程式(519)的解,则由 式(51-8),四)+ay0也是方程的解,a是任意常数 引进λ的目的是为了更清楚地从方程式(517)按数量级分出 式(5.1-8),(5,1-9),……达到目的后,可将省去,把H()理解为 H,把E,ψn)理解为能量和波函数的一级修正 下面讨论E0非简并的情况对应于一个本征值,0的本征函 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 9/91 = (E (0) n + λE (1) n + λ 2E (2) n + · · · )(ψ (0) n + λψ(1) n + λ 2ψ (2) n + · · · ). (5.1-7) ù ªü> λ ÓgXêA §dde¡|§ (Hb(0) − E (0) n )ψ (0) n = 0, (5.1-8) (Hb(0) − E (0) n )ψ (1) n = −(Hb(1) − E (1) n )ψ (0) n , (5.1-9) (Hb(0) − E (0) n )ψ (2) n = −(Hb(1) − E (1) n )ψ (1) n + E (2) n ψ (2) n , (5.1-10) . . . §ª(5.1-8)Ò´§ª(5.1-2)©ª(5.1-9)´ ψ (1) n ¤÷v©§§ d§±Ñ E (1) n Ú ψ (1) n ©5¿§XJ ψ (1) n ´§ª(5.1-9))§Kd ª(5.1-8)§ψ (1) n + αψ(0) n ´§)§α ´?¿~ê© Ú? λ 8´ Ù/l§ª(5.1-7)Uêþ?©Ñ ª(5.1-8)§(5.1-9)§......©8§òλ §r Hb(1) n) Hb0§r E (1) n , ψ(1) n n)UþÚżê??© e¡?Ø E (0) n {¿¹©éAu §Hb(0) ¼
§5.1.非简并定态微扰理论 101圆 数只有一个ψ,它就是ψn的零级近似.设0是归一化的,为了求 出En),以ψ0左乘式(5-9两边,并对整个空间积分,得 VO*(H(O-EOWOdr Ei/v0"wodr-/voH'vodr (5.1-11) 注意到H是厄密算符,E0是实数,有 V(O*(H(O)-EO)Odr /(9="wk= 5.1-12) 于是由式(51-11),并注意到ψ的正交归一性,得 EA=/voH'WodT =H (5.1-13) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. {¿½6nØ 10/91 êk ψ (0) n §§Ò´ ψn "?Cq© ψ (0) n ´8z§ ¦ Ñ E (1) n §± ψ (0) n ¦ª(5.1-9)ü>§¿émÈ©§ Z ψ (0)∗ n (Hb(0) − E (0) n )ψ (1) n dτ = E (1) n Z ψ (0)∗ n ψ (0) n dτ − Z ψ (0)∗ n Hb0ψ (0) n dτ. (5.1-11) 5¿ Hb(0) ´Î§E (0) n ´¢ê§k Z ψ (0)∗ n (Hb(0) − E (0) n )ψ (1) n dτ = Z h (Hb(0) − E (0) n )ψ (0) n | {z } i∗ ψ (1) n dτ = 0. (5.1-12) u´dª(5.1-11)§¿5¿ ψ (0) n 85§ E (1) n = Z ψ (0)∗ n Hb0ψ (0) n dτ = H 0 nn, (5.1-13)