例2试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B 截面的垂直位移.已知EI为常量. 解：M(O)=FRsin0 -98a0 -PoRao 2EI 8E W-F. πFR3 由U=W得 △Bv= 4EI
12 EI F R R EI FR R EI M U l 8 π d 2 ( sin ) d 2 ( ) 2 3 2 π 0 2 2 = = = 例2 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B 截面的垂直位移. 已知EI 为常量. 解： M( ) = FRsin ΔBV 2 1 W = F 由 U=W 得 EI FR 4 π Δ 3 BV = A B F O R θ
U K 513.3 变形能的普遍表达式 1变形能的普遍表达式 线弹性体 无刚体位移 P 广义力P1,…,P 力作用点沿力的方向的 广义位移8，，8n 比例加载 比例系数B 0≤B≤1 B时广义力的大小为： R,…,BP
13 §13. 3 变形能的普遍表达式 1 变形能的普遍表达式 0 1 比例加载 比例系数 时广义力的大小为 : P Pn , , 1 线弹性 体 无刚体位移 广义力 P1 , , Pn 力作用点沿力的方向 的 广义位移 1 , , n
B时广义力的大小为： BP,…,BP 当B有dB时，位移的增量为： 8dB,…,δnd阝 则功的增量为： dW=δd阝++Pn·δndB 力的总功为： W=(6++P,⊙，)Bd 8++R8
14 1 d , , n d 时广义力的大小为: 当 有d 时, 位移的增量为: P Pn , , 1 则功的增量为: dW = P1 1 d ++ Pn n d = + + 1 0 W (P1 1 Pn n ) d 力的总功为: P Pn n = + + 2 1 2 1 1 1
力的总功为： m=(BG++P⊙，)BdA 由功能原理，变形能为： U==d++2 变形能的普遍表达式 注意：6，是P1,P2,,Pn共同作用下的位移。 2组合变形时的变形能 取一微段为研究对象 15
15 = + + 1 0 W (P1 1 Pn n ) d 力的总功为: P Pn n = + + 2 1 2 1 1 1 由功能原理，变形能为: U =W P Pn n = + + 2 1 2 1 1 1 ⎯⎯ 变形能的普遍表达式 注意： i 是 P1 , P2 , , Pn 共同作用下的位移。 取一微段为研究对象 2 组合变形时的变形能
2组合变形时的变形能 Mx) Mx) 取一微段为研究对象 Nx) 由变形能的普遍表达 N(x) 式，有： de -)Td 2 N2(x)dx M2(x)dx T2(x)dx 2EA 2E1 2G1, 积分可得杆的总变形能 2EA 2G1
16 2 组合变形时的变形能 取一微段为研究对象 由变形能的普遍表达 式，有： dU = ( )d( ) 2 1 N x l ( )d 2 1 + M x ( )d 2 1 + T x EA N x x 2 ( )d 2 = EI M x x 2 ( )d 2 + GI p T x x 2 ( )d 2 + 积分可得杆的总变形能 = l EA N x x U 2 ( )d 2 + l GI p T x x 2 ( )d 2 + l EI M x x 2 ( )d 2