第二章从频率分析到尺度分析 自1807年以来,傅里叶变换在函数空间刻划、微分方程求解、数值计算和信号分析与处理等 方面一直是主要的工具之一.然而我们至今还未找到一本合适的“字典”使得f的性质能由f 准确地“翻译”出来.一个严重的缺陷是∫只反映∫在整个I的频率,这是由于“基”函数 {etd}em在时间上没有局部性:|e|=1,t∈R.而人们往往关心的是在某时刻附近,信号 ∫所含频率的多少。本节介绍两种时频局部化格式。 2.时频局部化问题 在希尔伯特空间中选定一组标准正交基{en}n,内积(,xn)反映了x含第n个分量的多少.类 似地,一个函数的傅里叶变换(1.3)反映∫所含频率u的多少.(注意,本章傅里叶变换的定 义与前一章稍有不同)。任何一个向量c展成{en}n的线性组合x=∑Cnm,Cn={z,xn).类似 地,傅里叶变换的反演公式(1.5(所称重构公式)将函数f展成了函数系{e}e的线性组 合,系数为f(u).所不同的只是,求和变成了积分 前面已经指出,在理论和实通中,我们需要寻找在时间和频率上都具有局部性的”基”函数 它们是由下面定义的窗口函数生成 定义21若函数g满足t2lg(t)2dt<∞和Jmu21(u)2<∞则称g为窗口函数.称 (to,co)为窗口中心,其中 l|12 (t)dt, wo (21 而分别称 和 =1∥((u-c)210)2 为g的时宽和频宽 倘若把时间、频率作为横坐标和纵坐标,我们就得到一个二维欧氏空间,通常称之为相空间 个窗口函数对应相空间中的一个矩形,称它是对应于g的 Heisenberg矩形。其中心为(to,wo)
MxP #Qj:aj % 1807 =gG Q[B ;\q-C)JÆqnqt- j)fÆh"OB _rTT>:p_r^zt SS8_3nV> \'Q " F< f >49 fb ~J \u" G_1K>{T fb x f ;d1 IR >OYT \" \q fe it!g!2IR ;;C ]4 je it!j = 1; 8t 2 IR. rGGI'>T;.;)"{)f f ZO>n#3hr%c;O ]0I 2.1 =R _]) ;rtW!-CAX_/G fZ fengn, 7 hx; xni i x ZL n 1Æd>n#L J_1\q> Q[B (1.3) f ZO ! >n# l3N Q[B >X p"e_N"Y3 m_1d x K{ fengn >4/n x = P n cnen; cn = hx; xni. L J Q[B >Q=I (1.5 y?=I S\q f K{i\qs fe it!g!2IR >4/ nsqO 1 2 fb(!). Y3>xTqjB{i Æ e fv ;Oj@1^8TGS;;CjO [ ]4>" " \q Tw Xp>2\q1{ Dc 2.1 \q g , R IR t2 jg(t)j2dt < 1 j R IR !2 jgb(!)j2d! < 1 Hy g O2\qy (t0; !0) O2'Y t0 = 1 jjgjj2 2 Z IR tjg(t)j2dt; !0 = 1 jjgbjj2 2 Z IR !jgb(!)j2d!: (2.1) rÆJy 4g = 1 jjgjj2 Z IR (t t0)2 jg(t)j2dt 1 2 j 4bg = 1 jjgbjj2 Z IR (! !0)2 jgb(!)j2d! 1 2 O g >;9jO9 ;CO7Os9Gj+9G^ <8_1vRCY-C1rypO -C _12\qj -C>_1Æ.yTj g > Heisenberg Æ.Y'O (t0; !0), 5
北航博士生课程讲义(2002年春) 长和高分别士24和2本,从统计的角度来看,信号g的能量主要集中工区间-本,o+本 其章谱的能量主要集中工区间[-本,+本]因此矩形的形小反映了信号g工时间和章率 上的局部化性能的优劣 给定窗口函数g,对任何f∈L2(R,一方面,内积 gEh f()g(t)量 t-tok≤△ 主要依赖于f工时间|t-to|≤布的值,另一方面,由普朗歇尔定理(,g(,且其值 f,g压 f(u)()量 和-u|≤△ 主要依赖∫工章率带k-cl≤本的值.因此,模(g耶的大小本质上反映了∫工时间段 to-布,+6含有章率u∈xko-本,如+的多少 土了弄清∫工不同时间、不同章率上的分布需要一个窗口函数族{1},7∈I,这些91,T∈I, 对应的 Hei seberg矩形全体,应该覆盖整个相空间我们称g1土时章原子。不同的函数族{g} 对应的覆盖形式也不同。正是这种覆盖的不同,产生了时章局部化格式的不同。于是,?的函 ()=《f,9且 反映了工∫工对应与9(∈)的 Heisenberg矩形上的性准。我们工后面介绍两类窗口函数 Figure21:时目原子gn的 Hei seberg矩形 22窗口傅里叶变换 给定窗口函数g,可以将g平移和调幅士9,(al)=cug(u-t)作士窗口函数,g,所对应相 空间的矩形正是对应于g的矩形的(,ω)平移.函数族{9t}+∈m就是我们要找的一种“基 函数 定义2形设g是窗口函数,称 不 Twif(t, w)= f(u)g( 士∫的窗口傅里叶变换,后要右边的积分是收敛的
6 ,aTO2+Vq 2002 > Æ tj+ÆJO 24g j 24bg . !4->__G!)f g >9dT ;sC [t0 4g; t0 +4g], YOW>9dT ;sC [!0 4bg ; !0 + 4bg ]. y Æ.>.i)f g ;;CjO > ]49> o 5X2\q g, jm f 2 L2(IR), _ 7 hf; gi Z jtt0j4g f (t)g(t)dt TaI f ;;C jt t0j4g >tt_ UJ#tXO hf; gi = 1 2 hf ; b bgi, Yt hf; gi 1 2 Z j!!0j4bg fb(!)gb(!)d! TaI fb ;O* j! !0j4bg >ty + jhf; gij >'3 i f ;;Cg [t0 4g; t0 + 4g] ZO ! 2 [!0 4bg ; !0 + 4bg ] >n# OiBk f ;Y3;CY3O >Æ[8T_12\q. fg g ; 2 , Y! g ; 2 ; j> Heisenberg Æ.z*$'d1 -C^y g O;O*!Y3>\q. fg g j>'.IXY3fTY'>Y3p1i;O ]0I>Y3T >\ q F ( ) = hf; g i; 2 ; i; f ;j" g ( 2 ) > Heisenberg Æ. >4 ^;w r%cL2\q . Figure 2.1: >S,$ g A Heisenberg 0 2.2 4 R]D 5X2\q g &gS g TcjTO gt;!(u) = e iu!g(u t). 7O2\q gt;! j -C>Æ.fTj g >Æ.> (t; !)- Tc\q. fgt;!gt;!2IR T^TS>_ \ " \q Dc 2.2 ) g T2\qy T winf (t; !) = Z IR f (u)g(u t)ei!udu (2.2) O f >2 Q[B xT=> ÆT\a>
陈迪荣:小波分;及含应用 Figure2,2(a) Gabor原子(弄部/矢b) Gabor原子的 Heisenberg矩形 显程当f最L2(R)在,根据施的兹不等式,wmf(t,ω)≤|f2|l2.因此,Twnf(t,u)不 仅仅有列义,而且平R2面的有义力数 立可面另一一度来理解Twnf(t,u):它平f(u)g(u-t)(t为参数)的傅里叶变换.一般地选 择窗口力数,使得它的能量集中在原波附近,而且在原波附近g≈1.这样f()9(u=t)便平f 在u=t附近的局部现rwnf(t,)2就平f在在间t附近的频谱能量分布,它克转了傅里叶 变换在在域面没有局部性的缺波 g下平一常用的窗口力数的名字和它们在1/2,1/2面的值 矩空1 Hamming 0.54+0.46cos 2t Gaussi an e 它们在[1/2,1/2外为零 窗口傅里叶变换有展似于傅里叶变换的重备式 定理21设g平窗口力数,则f最2(R,在L2(R)列义下有 -2∠ TWif(t, w)gt, w(o 我们给出一个启发式的“证明”。将下面有一个等式严格现。就平一个真正的证明 23)右边的二重积分 fr du JrR f(u)g(u-t)g(u-t)dt fr ei(u-u)udo f(a)26(u-u){|h=29f(u 公式(23)平力数f的一种分解,它将f分为{9}的线性组合.通常称{9}为 Gabor 原子.窗口傅里叶变换在历史面起过很重T的作用,现在用在发主着作用.程而下面二条定理 告充我们它的局限性 阵进我们来讨论窗口力数的在宽和频宽.由好所述,我们而望二者尽可能的小.不幸的平有 下述海森堡格测不准原理
wF Oi#Z 7 Figure 2.2: (a) Gabor ,$ B`l (b)Gabor ,$A Heisenberg 0 5 f 2 L2(IR) ;78? YBI jT winf (t; !)j jjf jj2jjgjj2. y T winf (t; !) Y xxlpriT IR2 >q\q X&!t___GOn T winf (t; !) : T f (u)g(u t)(t Odq > Q[B _ JA E2\qF<>9d ;*O"{ri;*O"{ g 1. YS f (u)g(u t) @T f ; u = t "{> ] jT winf (t; !)j2 T f ;;C t "{>OW9dÆ[(i Q[ B ;;& ]4>{O gwT_!r >2\q>''j; [-1/2 1/2] >t Æ. 1; Hamming 0:54 + 0:46 cos 2t; Gaussian e18t2 Hanning cos2 t: ; [1=2; 1=2] @Oq 2 Q[B L Q[B >?=I DN 2.1 ) g T2\qH 8f 2 L2(IR), ; L2(IR) lpw f (u) = 1 2jjgjj2 2 Z IR Z IR T winf (t; !)gt;!(u)dtd!; (2.3) % lim A;A0 ;B;B0!1 f 1 2jjgjj2 2 Z A0 A Z B0 B T winf (t; !)gt;!()dtd! 2 = 0 ^5 _1`yI> \k%Sw _1BIK0 T_1[f>k% (2.3) =>v Æ = R IR du0 R IR f (u)g(u t)g(u0 t)dt R IR e i(uu0 )!d! = R IR f (u)2Æ(u u0)jjgjj2 2du0 = 2jjgjj2 2f (u): =I (2.3) T\q f >_ÆnS f ÆO fgt;!g >4/n1ry fgt;!g O Gabor *!2 Q[B ;SE ^UqT>7 ; ;y 7 rw v0XO -^> 4 `z^G 2\q>;9jO9em^rIvW~&9>Y3>T wmY *0fY *O
北航博士生高程讲义(2002年春) 定理22对任何窗口收数g,成立 等号当且仅当9有如下形式:9(a)=ce"ga(x-b,其中c≠O,a为常数,a()=3c 其次,考虑离散化问题.给也窗口收数g,二生正数a,b,也义 9m, n(u)=elmag(u-nb), m,n E 将T∫离散化的一生途径调选择g,使收数系(24)成为L2(R)的一组标准正交基.这样的话 就有 f(u)=>TWin f(n b, ma)gm, n(u) 这就调式(2.3)的离散化.但调下面的结论说明这种g调不存在的 定理23对任何窗口收数9,收数系(2.4)不可能调L2(R)的标准正交基 23连续小波变换 对于窗口收数g产生的 Gabor原子9,,其时宽和频宽调不变的(即与t,u无式).程而实际上要 求在高频处时宽小,低频处时宽大.这正调小波变换的优点 若实值收数v∈L1∩L2(R)满足可允许条件,即 l(w) 则称调基本小波.比如v(u)=(1-u2)e-m/2,它调Gans收数的二阶导数,其形状如同墨西 哥帽子 当v在连续时(实际中通常这样要求),由(2.5)知,v(0)=0,即mv(u)ht=0,说明v 有波动.在实际中通常要求v的能量集中在一生小区间上。这也调称它为“小波“的缘由 给也基本小波v,也义小波原子 s>0,t∈虿R 看看小波原子vt的 Heisenberg分形的形状.不难里证正,固也s,t, vst(u)=vse-(s),a∈正 于调, 而vst的时频中心为(t+sto,o/s),其中(to,o)为vnt的时频中心.为方便起见,设wo≠ 0s>0,其对应的原子ψ,t的频谱集中在ω/s附近.因此s→0时,vs调高频原子,此时 的时宽Δ,→0.反过来,低频原子(对应8→∞)的时宽△,→∞.这就调所谓的”变焦 口“.它与窗口傅里叶变换的原子{9s}的时宽、频宽不变口形成鲜明对比
8 ,aTO2+Vq 2002 > Æ DN 2.2 jm2\q g, {X 4g4bg 1 2 : Bf5ix5 g w.I g(u) = cei uga(u b), Y c 6= 0; Orq ga(u) = 1 2p a e u2 4a . Y #M ['5X2\q g, v1fq a; b, Xp gm;n(u) = e imaug(u nb); m; n 2 Z : (2.4) S T f M >_1;TAE g, F\qs (2.4) {O L2(IR) >_/G fZYS> f (u) = X m;n T winf (nb; ma)gm;n(u): Y TI (2.3) >M 2Tw >k{%Y g TY$;> DN 2.3 jm2\q g, \qs (2.4) Y&9T L2(IR) >G fZ 2.3 `@ QD j2\q g p1> Gabor *! gt;!; Y;9jO9TYB> (%" t; ! aI). r@1 T q;+O;9DO;9'YfTNB > O @t\q 2 L1 \ L2(IR) ,&5;0P% c := Z +1 0 j b(!)j2 ! d! < 1; (2.5) HyT3N6 (u) = (1 u2 )eu2=2 T Gauss \q>vg6qY.3-m .! 5 b ;_?; @11rYSTq (2.5) n b(0) = 0 % R IR (u)du = 0, {% NY;@11rTq >9d ;_1sC YXTyO \N>. 5X3N ; XpN*! s;t(u) = 1 p s u t s ; s > 0; t 2 IR: (2.6) !!N*! s;t > Heisenberg Æ.>.Y5RkHX s; t; d s;t(!) = p seit! b(s!); ! 2 IR: T 4 s;t = s4 ; 4 bs;t = s4 b: r s;t >;O'O (t + st0; !0=s), Y (t0; !0) O s;t >;O'O@^M) !0 6= 0.8s > 0, Yj>*! s;t >OW ; !0=s "{y s ! 0 ; s;t T+O*! ; >;9 4 s;t ! 0. UGDO*! (j s ! 1) >;9 4 s;t ! 1. Y TW> " BY 4 \. "2 Q[B >*! fgt;!g >;9O9YB4.{~%j6
陈迪荣若小波除析及其应用 Figure23:(a)开皮原子和(b)开波原子 A Hei seberg矩形 在实1应用中,6理信号的高频分量时(傅时信号变化剧烈),应存在时C(或位置)上准确 而理信号低频分量时(傅时信号变化缓慢),氏必要义在时C(或位置)上很准确.下述变换是 符合上述要义的 定义23设v是基本卷皮,f∈L2(R),定义其连续卷波变换如下 wf(s, t)=(f, vg 常称v中的参数s为尺度.若换象vt是以分为单位原子,则v/,是以秒为单位的 原子,而va:便是以卷时为单位的原子 连续卷波变换有如下重构=式 定理24设v是实值基本卷皮,那≤和任何f∈L2(R),在L2(B)意义下有 ,= 证定义函数 (u) Du vs(w)=vs(sw),v *(w)=vsu(sw)
wF Oi#Z 9 Figure 2.3: (a) R,$l (b) R,$A Heisenberg 0 ;@1 O)f>+OÆd; ( ;)fBn), $;;C (V}) ~ rO)fDOÆd; ( ;)fB ), Y:Tq;;C (V}) q ~wmB T n mTq> Dc 2.3 ) T3N f 2 L2(IR), XpY_?NB w W f (s; t) = hf; s;ti: 1ry s;t >dq s O_ 1;t TgÆO/V*!H 1=60;t Tg$O/V> *!r 60;t @Tg;O/V>*! _?NB w?=I DN 2.4 ) T@t3N3jm f 2 L2(IR), ; L2(IR) lpw f (u) = 1 c Z +1 0 ds s2 Z IR W f (s; t) s;t(u)dt: (2.7) k Xp\q s(u) = 1 p s u s ; s (u) = 1 p s u s : H cs(!) = p s b(s!); c s (!) = p s b(s!):