10 北航是士生高程讲义(併形年春) 由于v博便函数,|(-)2=1()2.不论≥0还博≤0,都有 + (28) 由定义,Wf(s,u)=f*v(u).于博 wf(s, t)a giii ) dt=wf(s,)*vs()=f*vs *vs(u), 在上式中,固示生作卷积运算的变量。记(2.7)的右边为b(),我们有 于博利用春立叶变换与卷积之间的式系以及(2.8)得 b(w)=f f(w)Vsu(sw)vsv(sw)gs f()0+-1(auP 证毕 上面的定义对定理可以推广到散值情形。若散值函数v∈L1(I)∩L2()满, p(u)2 d<∞, (29) 则称博基本小波.同样地,定义小波变换Wf(s,t)=(f,v值则重构公式为 f(u)ce (210) 其生等式在1964年由数学家 C on首先建立,称为 Cal deron恒等式。1984年由 Grossmann 对 Morlet重新发现了它,并赋予新的解释 L2(IR)中解析信号的全体H2(R):=f∈L2(川f()=0,如<0,在信号分析中有着重要 地位。当,Ⅵf∈H2(R)公式(2.10)成立换此之外,若选择基本小波v∈H2(R),我们还有 f(a)=1 r+oo ds/ wf(s, t)vs fifi dt, VfE H"(IR) 最后我们举换1中的一生例子: f(t)=sin(2r1t)+sin(2x2)+?(6t-t1)+b(t-t2) 其中v1,,t对t2博看适当的数。[1]指换,若用窗口春叶变换,要么分不清频率2xv1对 πv2,要么分不清位置t对t2.而用小波变换则能较好地同时分辨换频率对位置
10 ,aTO2+Vq 2002 > Æ T@\q j b(!)j2 = j b(!)j2 : Y ! 0 T ! 0; [ Z +1 0 j b(s!)j2 ds s = Z +1 0 j b(!)j2d! = c : (2.8) Xp W f (s; u) = f s (u): T Z IR W f (s; t) s;t(u)dt = W f (s; ) s(u) = f s s(u); ; I HK27 6 >Bd/ (2.7) >=O b(u), ^ b(u) = 1 c Z +1 0 f s s(u) ds s2 : TT X[B " pC>Isg" (2.8) < bb(!) = 1 c R +1 0 fb(!)p s b(s!)p s b(s!) ds s2 = 1 c fb(!) R +1 0 j b(s!)j2 ds s = fb(!): k8 >XpjXO&g<N8 tl. t\q 2 L1(IR) \ L2(IR) , c = Z +1 1 j b(!)j2 j!j d! < 1; (2.9) Hy T3N3SJXpNB W f (s; t) = hf; s;ti: H?=IO f (u) = 1 c Z +1 1 ds s2 Z IR W f (s; t) s;t(u)dt: (2.10) Y1BI; 1964 =qD8 Calderon `zQXyO Calderon uBI1984 = Grossmann j Morlet %yiL!%>nX L2(IR) nh)f>z* H2 (IR) := ff 2 L2(IR)jfb(!)=0; 8! < 0g, ;)fÆh T JV5 8f 2 H2 (IR), =I (2.10) {X p@AE3N 2 H2 (IR), ^ f (u) = 1 c Z +1 0 ds s2 Z IR W f (s; t) s;t(u)dt; 8f 2 H2 (IR): 1w^ [1] >_1V! f (t) = sin(21t) + sin(22) + (Æ(t t1) + Æ(t t2)); Y 1; 2; t1 j t2 T_!V5>q [1] v 2 Q[B TÆYkO 21 j 22, TÆYkV} t1 j t2. r NB H9bdJ3;ÆF OjV}
陈迪荣:小波分析及其应用 奇异信号在小波变换下的特征 定义2.4设n为非负整数 (1)称函数f(x)在x具有Iip指数a记为f∈Iipa2a),若有n次多项式pn(x)以及常数 0使得 f(xro+h)-pn(b)≤4| 2)称∫在区间(a,b)是一致Lipa的,若有常数A,使得对任何xo∈(ab),存在n次多项式 ),使得不等式(2.1)对一切xo+h∈(a,b)成立 对于函数∫,如何确定其Iip指数a,无论从理论上还是实际应用上看,都是非常重要的.一个 经典的工具就是傅里叶变换.若 则f在R上 这说明|∫(ω)的大小可以确定∫在R上整体Iip指数.然而傅里叶变 换模的大小不能确定f在给定点xo的Iip指数.下面的定理表明小波变换模的大小可以确定 的Iip指数.为此,我们称函数有n+1阶消失矩,若xkv(x)∈L1(I)且 定理25设基本小波v具有紧支集,有n+1阶消失矩,a∈h,n+1).那么以下结论成立 (1)若f在xo具有Iip指数a,则有4>0使得对xo的某邻域中的点x和一切s>0有 Wf(s,x)|≤A√s(sa+|x-ro|) (2)若n<a,且如下条件成立,则∫在co具有Iip指数数a:存在E>1/2以及A>0,使 得对x0的某邻域中的点x和一切s>0有 了f(s,x)≤ f(,x)≤AV(
wF Oi#Z 11 2.4 ]x+h= QDy@#c Dc 2.4 ) n O !dq n <n + 1: (1) y\q f (x) ; x0 Lip vq (/O f 2 Lipx0 ), n nI pn(x) g"rq A > 0 F< jf (x0 + h) pn(h)j Ajhj ; 8h: (2.11) (2) y f ;sC (a; b) T_| Lip >rq A, F<jm x0 2 (a; b), $; n nI pn(x), F<YBI (2.11) j_h x0 + h 2 (a; b) {X j\q f , m~XY Lip vq , a!O T@1 
北航是士生高程讲义(0年春)
12 ,aTO2+Vq 2002 > Æ
离三章时续 框架博一组具有的全性和稳立性的向量,可以窗标准正交基一样被用于表示空间中的每个向 量.”基不同的博框架可能博线性相关的.而在应用中,这种相关性的减少信号的噪声博 有益的。本节赖单介绍框架的基本概念,给出幅生 Fourier变换和小波框架的该在条件。本节的 内)主要取即③的第五章 3.1框选及其对偶 定义31一个 Hilbert空间H中的的列{on}ner称士H中的框架,若该在常数A>0和B>0 A川∑|,n》≤Bf,f∈H 使得上述不等式中际优的常数A和B分别称土框架的后义和上义若A=B,H称{o}ner 博紧框架。 记矿r士f∈L2(B)且sppf-/T,x/的全带∫.若∫∈Ur,Hf可由规H抽样 {f(nT)}n来重构 f(t)=f(nT)hr(t-nT),hr( 该抽样立士由 Whittaker于1935年证明,而 Shannon在1949年重新发现了它 框架土论来-于,如何是用带有限信号的不规H抽样(f(tn)n来重构f(4).我们样在例 42中看到,带有限信号博博小波空间的从例。而关于一般小波空间不规H抽样的研究可见同 许立咖都规范化,新|l‖=1,∈I,那么{}er博标示准正交基给且仅给A=B=1(见 2第三章)若A>1,H框架博,余的,其后义A表示,余连 立义中的r可以博有限集,也可以博期限集。显H中标准正交基博紧框架,而且此时 A=B=1.后例成明框架可能博线性相关的 例31令H=2,1=(1,0)7,四=(-√/2,-1/2),3=(3/2,-1/2).H和任何f∈I2, ∑|《f,咖 n=1 常数3/表示了该框架的,余连
MP >@ <>T_/Az4jZX4>d&gG fZ_S2 HK-C>1 d"Y3>T<>&9T4 I>r; Y I4>K#)f>@/T s>3hI/r%<>>3&?5 2 Fourier B jN<>>$;0P3h> 7 Tt% [3] >LcN 3.1 ?A$[lG Dc 3.1 _1 Hilbert -C H >>k f ngn2 yO H ><>$;rq A > 0 j B > 0 Ajjf jj X n2 jhf; nij2 Bjjf jj; 8f 2 H: (3.1) F< mYBI1 >rq A j B ÆJyO<>>wqj q A = B, Hy f ngn2 Tv<> / UT O f 2 L2(IR) i supp fb [=T ; =T ] >z* f . f 2 UT , H f &PH S ff (nT )gn G? f (t) = X k2Z f (nT )hT (t nT ); hT (t) = T sin t T t : (3.2) $ SXO Whittaker 1935 =k%r Shannon ; 1949 =%yi <>OG-mT *)f>YPH S (f (tn))n G? f ([4]). ^S;V 4.2 !8*)fTTN-C>!VrI_ N-CYPH S>L&M [5] B ;X n [P% jj jj = 1; 8n 2 ; 3 f ngn2 TG fZ5ix5 A = B =1(M [2] LN A > 1, H<>T >Ywq A HK _ Xp> &gT X&gTa H G fZTv<>ri ; A = B = 1. wV{%<>&9T4 I> O 3.1 v H = IR2 ; 1 = (1; 0)T ; 2 = (p 3=2; 1=2)T ; 3 = (p 3=2; 1=2)T : Hjm f 2 IR2 ; X 3 n=1 hf; ni 2 = 3 2 jjf jj2 : rq 3/2 HKi$<>> _ 13
北无要士生课程讲义(2002年春) 为了从系数序列(,n》n重构f,需用到其对偶框架.先定义H→2(r)的线性算子 Uf→(f,n))n∈n U被称为框架算子.由(31)中的第二个不等式,U是H的有界线性算子,其范数‖U‖≤√E. 下述定理从理论上保证了重构的可能性 定理31假设{n}n是一个框架,其上下界分别为B和A,那么n=(U*U)-1on∈H,且 ≤∑|,p)2 Vf∈H. n∈I f=∑(f,)n=∑,n)p n∈r n∈I 由不等式(33)知,{n}ner是H中的框架,称之为{on}ner的对偶框架.关于{φn}ner 的计算已经有了不及的方法 在实际中,可以是用框架的冗余度减及噪记的干扰。由于噪记的干扰,实际上被分析的系数 为Uf+W而并不是Uf,如何减弱噪记W的影分呢消记C2(I)→ImU的投影算子为P,则 P(Uf+W)=Uf+Pw 我们希望,通过投影算子P的作用,使W变成PW,非应的方差也变小 定理32假设{φn}n是一个框架,其上下界分别为B和A设|l|=1,n∈I.基W是均值 为数的白噪记,其方差E(W(m)2)=a2,则E(PW(m)2)≤σ2/A.基{n}n是紧框架,则等式 成立 证因为W是白噪记,E(W()=4于是 E(PW(n ∑nerW)p,n)(∑∈rW(0)(, ∑er(,n)|≤ 当框架是紧的时,上面不等式变成等式。证毕 由此可见,增加框架的冗余度,可减弱噪记,这种方法用于髙精度的摸拟-数字转换器。在 硬件实现方面,增加取样密度(即加大A)要比提高量。精度换易。 3.2窗口傅里叶框架 在窗口傅里叶变换中,将Twnf(t,ω)离散。为数列 其中ω,to是常数.记 g(u-nto),(m,n)∈z
14 ,aTO2+Vq 2002 > Æ Oi!sq>k (hf; ni)n ? f , 8 8YjE<>zXp H ! `2() >4 ! U f ! (hf; ni)n2: U 2yO<> ! (3.1) >Lv1YBIU T H >q4 !Yq jjUjj p B : wmXO!O (ki?>&94 DN 3.1 ;) f ngn T_1<>Y wqÆJO B j A; 3 ~ n = (UU)1 n 2 H, i 1 B jjf jj X n2 jhf ; ~ nij2 1 A jjf jj; 8f 2 H: (3.3) j f = X n2 hf; ni ~ n = X n2 hf ; ~ ni n: YBI (3.3) n f ~ ngn2 T H ><>ypO f ngn2 >jE<>I f ~ ngn2 >- fiY#>| ;@1&gT <>> _K#@/>(@/>(@1 2Æh>sq O U f + W rLYT U f , mK@/ W >6/ `2() ! ImU >6 !O P , H P (U f + W) = U f + PW: ^rI1U6 ! P >7 F W B{ PW, >nXB DN 3.2 ;) f ngn T_1<>Y wqÆJO B j A: ) jj njj = 1; n 2 . W T t Oq> @/Yn E(jW(n)j2 ) = 2 , H E(jPW(n)j2 ) 2=A: f ngn Tv<>HBI {X k yO W T @/ E W(p)W(n) = Æp;l : T E(jPW(n)j2 ) = E P p2 W(p)h ~ p ; niP l2 W(l)h ~ l ; ni = 2 P p2 jh ~ l ; nij2 2A : 5<>Tv>; YBIB{BIk8 &MJ:<>> _&K@/Y| +_>*; { q' a; P@ J:tS _ %:' A T6%+d_ i 3.2 4 R]?A ;2 Q[B S T winf (t; !) M Oqk (T winf (m!0; nt0))(m;n)2Z 2 ; Y !0; t0 Trq/ gm;n(u) = e im!ug(u nt0); (m; n) 2 Z 2 :