北航博士生课程讲义 小波分析及其应用 陈迪荣 北京航空航天大学应用数学系
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主要内容有:信号处理的时频 问题、框架理论、小波变换、小波包算法 局部正(余)弦基、最优基的选 分能 后,介绍小波在数值分析中的应用
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前言 绍1807年傅立叶(J. Fourier)提倡用函数的 Fourier级数展开研究热传导方程以 来, Fourier分析成了信划函数空间、求解微分方程、进行数值计算与信息处士等的 主要工具之一 Fourier分析之所以能有如此作为,究其原因,从士论角度看主要在 于在多常见运算在 Fourier变换后性质变得很好(例如微商运算变为多项式乘法,卷 积变为普通乘积等);从实际应用角度看是,频率是绍然现有(包括声音、图有和各 种波动)中一最非常重要的特征。而Fourier变恰恰就是求出频率分量 然而我们至今还未找到一本合适的“字典”使得f的性质能由傅立叶变换课的大 小准确地“中译”出来.其缘由是,只反映f在整最R的频率。这是由于“基”函 数{euer在时间上没有荣部性:et=1,t∈R而人们往往关心的是在空时信 附近,信号f所含频率的多少。 Ga航在1946年提出了著名的Ga航变换。他的想法是,将一最波形分为若人段, 然后保留其中一段。Ga航变换发展为窗生傅立叶变换。窗生立叶变换是一最很 好的荣部频率分析工具。不北之处在于,一是其离散化性质差再者,Ga航原子t 的时宽和频宽是不变的(即与t,w无关).然而在实际中,要求在高频处时宽小,低 频处时宽大.这正是小波变换的优点 小波分析及其应用是一门新学科.在20世纪80年代初,一些科学家使用了“小 波”作为传统傅立叶分析的一最替代物。.s. . Lienard和x. Ro det的工作涉及到声学 信号的数值处士J. Morlet的小波则是用来储存和表示石油勘测中所收集到的地 震信号。数学家 Coifman和 Weiss创立了“原子”和“分子”的论空些原子”和 “分子”的结构可由著名的Cal der处恒等式离散得来。后来, Grossm an和 Morlet 重新发现了 Calder处恒等式,并发明了“小波这一名称然而,现在意义后的正 交小波基的出现要晚一些。分然,早在198年,J.. Strom航g首先构造出 了一最很接近现在称之为小波基的基,但它没有引起人们的注意.直到196年 Meyer在怀述意义后的正交小波基的存在性时,却偶然地构造出了现在称之为 Meyer基的真正的小波基。随后不久S. Mall at与y. Meyer建立构造小波基的 通用方法即多尺度分析.要用这最工具,Dau航hies构造出了有紧支集且光滑的正 交小波.至此,小波分析才形成为一门学科 小波分析从诞生至今还到二十年,其应用却得到了蓬勃的发展它涉及面之宽 广、影响之深远、发展之都是空前的.它所取得的成就也令人瞩目它能对几乎 所有的常见函数空间给出通过小波展开系数的简单信划,也能用小波展开系数描述 函数的荣部光滑性质,特别是在信号分析中,由于它的荣部分析性能优越,因而在 数据压缩与边缘检测方面它比现有的手段更为有效.美国耶鲁大学以R. Coifman 教授为代表的小波研究组要用小波分析对美国联邦调查荣存贮的三亿最指纹进行数 据压缩,取得了二十倍原有效益的成果.单单因为节省存贮光盘而获得的效益便是 三千万美元之巨,而由于指纹传输时间缩短为原来的二十分之一所创造的价值更是 无法估量 本讲义用较少的数学知识阐明小波分析的基本论和应用我们并不追求数学
W a & 1807 > Y\ (J Fourier) &u ]r? Fourier (rL M7h H Fourier i|j*]r.DroKz2ru. #*pPC? U;q` Fourier iqh: 8PZ+z"P``"U< <osN7 < Fourier CÆx5C=re (WK 7 CPoJ~} CPV2~ C) "A2 ``"UPU& &D0|9k4 OZÆ`2 s U?"bs Fourier CÆcc UrÆPe s_{u TT9`4oW? \(R " G= f ?5: Y\CÆ,?( K \v" ÆHZ/U fby f <e2 IR ?PZU \" ] r fe it!g!2IR <<D! ^5 je it!j = 1; 8t 2 IR. sHHJ(?U</<* #|*g f [P?o$ Gabor < 1946 >&Æj(? Gabor CÆ?Æ}UT`2O/P)h x)yZ`h Gabor CÆzLP3 Y\CÆ3 Y\CÆU`2r e? ^Pi;Z-q< `UZN 5o:XGabor +" gt;! ?<:kP:UZC? (&# t; ! bJ). s<A2Ur<,P<:E P<:(ZgUOCÆ? P Oi#Z U`&E%< 20 R5 80 >- `"%E9G j O 8P5 Y\i?`2--e J. S. Lienard k X. Rodet ?;8'#90E *g?ruP J Morlet ?OIU H%kIL: g] 9?K ^*grE9 Coifman k Weiss Yj+" k" ?P/"+" k " ?l@'(? Calderon vCJN =HxH Grossman k Morlet &zj Calderon vCJMz&jO Z`(zs<mqx?g [O?ÆUC`"?< 1982 > J O Stromberg a{@CÆ j`2rf|<zqPO?3~_?ms9 1986 > Y Meyer <e!nmqx?g[O?%<5<}FK@CÆj<zqP Meyer ?\g?OxZ S Mallat # Y Meyer RYj@CO? 2 }&o`iU Z2; Daubechies @CÆjwm jM?g [O{ Oib/|P`E% Oi"42{u 9w9>Z }=9jKV?zL'#!q: Oq-1zLqH\U.f?u=?| Yw1:k*z ?sN]r.D6Æ2VOL tr?J0*Y: OL tr#n ]r? ^M5"KU<*gi ? ^i5: 4zs< rJ#>/Hg!7?_h9P RW~(Eh R Coifman acP-I?OM0U OikR^$Ul %?j2wYz2r Ju=jw9/+ t?|T00zPi4%MIs=? tAU dD)qs wYg<DfP+H?w9q`C?=u9U b}Ee 4Vq c$?rEoDq&Oi?4Pk _MZrrE
北航博士生课程讲义(2002年春) 理论的完整,而只着重于其思想的来龙去脉。另一个特点是,本讲义力图体现小波 分析最新的进展
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