北京航空航天大学应用数学系：《小波分析与应用》课程讲义（陈迪荣）

北航博士生课程讲义(2002年春)

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第一章预备知识 本章罗列一些后面需用到的工具。好在作为小波分析的初学者,并不需具备太多的 知识 欧氏空间及酉变换记(,和‖·‖分别为欧氏空间4N的内积和范数。任取非零向量 x,y∈￠N,成立 Schwartz不等式 而且等式成立当且仅当z,y线性相关. Schwartz不等式在任何内积空间都成立 我们称 8= arccos 为x和y之间的夹角。|(x,y)的大小,在某种意义上反映了x,y之间的相似程度 在N维欧氏空间cN中,选定一组标准正交基{ek}1,任取x∈CN可唯一地表示为 Ck=(c, ek (1.2) k的大小反映了x,k之间的相似程度。换句话说,|k的大小反映了x含有分量ek的多 称N上的一个线性变换A为酉变换,若 Ax,4y)={,y),ar,y∈ 或等价地 Axl= lal, va∈CN 众所周知,线性变换A是酉变换的充要条件是,以下条件之一成立 (1)A是酉矩阵; )AA=IN,其中,A*是A的复共轭转置 (2)A的行(列)向量是CN的标准正交基

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jj ÆJOCY-C CN >7jqt qd x; y 2 CN {X Schwartz YBI jhx; yij jjxjjjjyjj  1; (1.1) riBI{X5ix5 x; y 4 I Schwartz YBI;m7-C[{X ^y  = arccos hx; yi jjxjjjjyjj O x j y pC>6_ jhx; yij >';.lp i x; y pC>
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AX_/GfZ fekgN k=1. t x 2 CN &N_JHKO x = X N k=1 xk ek; xk = hx; ek i: (1.2) jxk j >'i x; ek pC>
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北航是士生课程讲义(2002年春) 零测度集集合EC雎称为零测度集,若对任何E>条存在开区C(anb),=1,2,… 使得 ∑(b1-a)<∈和Ec∪a 例如,有理数集合Q是零测度集。从勒贝格( Lebesgue)积分的角度来看,零测度集是可}忽 略的 若某个命题在除了一个零测度集外处处说立,则称它)y处处(ae)说立。例如,狄里克菜 函数D(x)定义为D(x)=1,r∈Q;D(x)=条∈雎Q.那么,D(x)=条ae 函数空间p幂( Lebesgue)可积函数空C记为 Lp(Et)=51/ 1()Pdr< 它是一个巴拿赫空C,范数定义为 (/) L2()是一个希尔伯特空C(完备的内积空C),其内积是 f(r)(x)d,Vf,g∈L2(r 傅立叶变换与卷积设∫∈L1(,定义其傅立叶变换为 f(w)=/f()e-iaw dr f在琟上角续且有界。傅立叶变换与微分的Ⅰ系是 f() f'(a) f() 黎曼-勒贝格引理对任何∫∈L1(雖),说立 f)=条 普朗歇尔定理ⅵ∈L2(,在L2(的意义下, f(a) / f() dou, (1.5) f(aw 条 其中,·表示对其取范数的变量。由此而得,Vf,g∈L2(E 6)

2 ,aTO2+￾Vq 2002 >Æ rhb! n E  IR yOqf_jm " > 0 $;sC (ai ; bi); i = 1; 2;:::; F< X1 i=1 (bi ￾ ai) < " j E  [1 i=1 (ai ; bi): VOqn Q Tqf_!K.0 Lebesgue Æ>__G!qf_T&g{ > .1)';i_1qf_@{XHy)y (a.e.) {XVHQ(F \q D(x) XpO D(x)=1; x 2 Q; D(x)=0; x 2 IRnQ. 3 D(x)=0; a.e. ]r.D p  (Lebesgue) &\q-C/O Lp(IR) = n f j Z IR jf (x)jpdx < 1 o : T_12p-CqXpO jjf jjp = Z IR jf (x)jpdx 1p : L2(IR) T_1rtW!-C A0>7-C Y7T hf; gi = Z IR f (x)g(x)dx; 8f; g 2 L2(IR): Y\CÆ# ) f 2 L1(IR), XpYX[B O fb(!) = Z IR f (x)e￾ix!dx: (1.3) fb ; IR _?iqX[B "JÆ>IsT fb0(!) = Z IR f 0(x)e￾ix!dx = i!fb(!): (1.4) MQ - L>GdN jm f 2 L1(IR), {X lim j!j!1 fb(!)=0: TK`EDN 8f 2 L2(IR), ; L2(IR) >lpw f (x) = 1 2 Z IR fb(!)e ix!d!; (1.5) % lim A;B!1 f ￾ 1 2 Z B A fb(!)e i!
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HKjYtq>Bdr< 8f; g 2 L2(IR), hf; gi = 1 2 hf ; b bgi: (1.6)

陈迪荣:小波分析及其应用 特别地,成立 Parseval等式: f|2. 两个函数的卷积定义为 f(聊(x-取取x∈R 傅立叶变换与卷积的关系为 f9. (1.8) 公式(1.4)和(1.8)是很初等的,但是非常重要。正是由于它们,才使得傅立叶变换的应用如 此广泛 广义函数66可为解为质量分布,它满足 f(x)6取x)dt=∫(取联R 由(1.8) v∈皿 工程上称δ为脉冲函数 时不变线性系统个系统L称为不变线性系统,若它满足以下条件 (1)线性性L(a1f1+a2f2)=a1Lf1+a2Lf2 (2)时不变性记fr(x)=f(x-7).则Lfr=(Lf)x 对于一个时不变线性系统,存在函数h,使得Lf=f*h.因此 Lf(u)=f(wh(w) 称h=L6为系统函数 若h(0)≠0称h为低通滤波器.若h(0)=0.,称h为带通滤波器 例h(x) 1,k|≤丌/T 其它 此时,h为为想低通滤波器 ()={f,Ll|≤/r 其它 离散傅立叶变换设c=()=1∈bbe,其傅立叶变换G=(an) 下式定义 C 0<k<N-1,其

wFOi#Z￾ 3 !JJ{X Parseval BI jjf jj2 = 1 p 2 jjfbjj2: (1.7) c1\q>XpO f g(x) = Z IR f (t)g(x ￾ t)dt; x 2 IR: X[B ">IsO fd g = fbg: b (1.8) =I (1.4) j (1.8) TqB>2T rTfTaF<X[B >  N Oq]r Æ Æ &OnOdÆ[, Z IR f (x)Æ(t ￾ x)dx = f (t); t 2 IR:  (1.8)  Æb(!)=1; 8! 2 IR: : y Æ OÆ \q <ZC 5t5 _1s4 L yOYB4s4,gw0P (1) 44 L(a1f1 + a2f2) = a1Lf1 + a2Lf2: (2) ;YB4 / f (x) = f (x ￾  ): H Lf = (Lf ) : j_1;YB4s4$;\q h F< Lf = f h: y Lfc(!) = fb(!)bh(!): y bh = LÆc Os4\q  bh(0) 6= 0, y h OD1Na bh(0) = 0, y h O*1Na O h(x) = T sin x=T x . bh(!) =  1; j!j  =T ; 0; Y ; bh OO D1Na Lfc(!) =  fb(!); j!j  =T ; 0; Y NY\CÆ ) c = (ck )N￾1 k=0 2 bbbcN YX[B bc = (bcn)N￾1 n=0 wIXp bcn = 1 p N N X￾1 k=0 ckw￾nk N ; 0  k  N ￾ 1; Y
wN = e 2i=N :

北航博士生课程讲义(2002年春) 6就是c在正交基{n2=(c)-1分下的系数向量,矩阵N=(m)是西 矩阵。c→=WNc是酉变换 众所周知,当N=2时,快速傅立叶变换的运算量为,2Nlog2N次乘法,?次加法 对任何数列f,离散卷积∫*h也是一个数列(f*hk),这里 f*(k)=∑f 离散卷积对两个数列f,g,离散卷积f*g也是一个数列(f*hk),这里, f,gk 同连续情形一样,离散时不变线性系统L与离散卷积之间成立关系式 Lf=f* h 同样,称h为L的系统函数。若h(0)≠0,则h为低通滤波器.若h(O)=0,则h为带通滤波

4 ,aTO2+￾Vq 2002 >Æ bc T c ;fZ fengN￾1 n=0 = f(wnk N )N￾1 k=0 gN￾1 n=0 w>sqdÆ` WN = p 1 N wnk N N￾1 k;n=0 T Æ` c ! bc = WN c TB  n5 N = 2L ;7X[B >6 dO 2N log2 N }| :| jmqk f , M f h XT_1qk (f hk)k ; YQ f h(k) = X j fjhk￾j : N jc1qk f; g, M f g XT_1qk (f hk )k ; YQ f gk = X j fj gk￾j : 3_?l._SM;YB4s4 L "MpC{XIsI Lf = f h: 3Sy bh O L >s4\q bh(0) 6= 0, H h OD1Na bh(0) = 0, H h O*1N a