§0-1标量场的梯度,V算符 Gradient of Scalar Field, Operator V
§0-1 标量场的梯度， 算符 Gradient of Scalar Field, Operator
1、场的概念 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律 如果物理量是标量,那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值,则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量,那么空间每 点都存在着它的大小和方向,则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化,就称为稳定场,否则,称为不稳定场
1、场的概念 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场
2、方向导数 方向导数是标量函数φ(在一点处沿任意方向对 距离的变化率,它的数值与所取的方向有关 般来说,在不同的方向上的值是不同的,但 它并不是矢量。如图所示,场中的任意方向,R 是这个方向线上给定的一点,P2为同一线上邻近的 点。 P2
2、方向导数 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对 距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向，P1 是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的 一点。 l (x) l Pl l l P1 P2 l
△为尸2和之间的距离,从1沿刭2的增量为 △q=(P2)-(D1) 若下列极限 W△=m分()-9() △→>0△l△→>0 △Z 存在,则该极限值记作叭(x称之为标量场徉2处 沿的方向导数 3、梯度 由于从一点出发,有无穷多个方向,即标量场 0(在一点处的方向导数有无穷多个,其中,若过
为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处 沿 的方向导数。 3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 l ( ) ( ) = p2 − p1 l p p l l l − = → → ( ) ( ) lim lim 2 1 0 0 l ( ) x Pl l (x) l
该点沿某一确定方向取得o(在该点的最大方向导数, 则可引进梯度概念。记作 0( grad =v o an 称之为o(在该点的梯度(gad是 gradient缩写 它是个矢量,其大小gau= 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系:
该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作 称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写）， 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系： (x) n n ˆ grad = = (x) max | grad | ( ) n l = = n ˆ