上浒充通大￥ 9.3平面层流边界层的控制方程 Shanghai Jiao Tong University 假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则粘性流 动的N-S方程为： y=- Ov:+vy oy Ox Ov y Ov,=_10p 21 Ox p ay aNy二0 Ox 利用边界层流动的特点，如流体的粘度大小、速度梯度大 和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程 进行简化从而导出层流边界层控制方程
Shanghai Jiao Tong University 9.3 平面层流边界层的控制方程 假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则粘性流 动的N-S方程为： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 0 x x x x x y y y y y x y x y v v vv p vv v x y x xy v v vv p vv v x y y xy v v x y ρ ρ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎫ + =− + + ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎪ ∂ ∂ ∂∂ ⎪ ∂ ⎪ + =− + + ⎬ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎪ ∂ ⎪ ∂ + = ⎪ ∂ ∂ ⎪⎭ 利用边界层流动的特点，如流体的粘度大小、速度梯度大 和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程 进行简化从而导出层流边界层控制方程
上浒充通大￥ 9.3平面层流边界层的控制方程 Shanghai Jiao Tong University 无量纲化处理： 考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流的速 度V∞，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为6， 平板前缘至某点的距离为。取'。和为特征量，可定义如下 的无量纲量： x'=x/0,y'=y/L,6'=δ/， y:'=y,/W,,'=,/W,p,'=p/(p/) 层流边界层
Shanghai Jiao Tong University 9.3 平面层流边界层的控制方程 无量纲化处理： 考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流 的速 度 ，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为 ， 平板前缘至某点的距离为 。取 和 为特征量，可定义如下 的无量纲量： V∞ δ l l V∞ ( ) 2 ,,, , , xx yy x xx yy v vV v vV p p V δ δ ∞∞ ∞ ρ ′ = ′ ′ = = ′′ ′ == = lll
上浒充通大￥ Shanghai Jiao Tong University 9.3平面层流边界层的控制方程 代入N-S方程得到： = 1 d' ax' Re 11 1(8)21 1 ov! Ov' 1 1 y +V Ox' Re `r/2 式中 18 8.1 1-8 Re,= =0 Ox ay 为雷诺数。 1
Shanghai Jiao Tong University 9.3 平面层流边界层的控制方程 / / / 2/ 2/ / / / // / 2 / 2 2/ 2/ / // / / / / / / 2 / / 2 / / / / 2 /2 / / / / 2 / / / / 1 ( ) Re 1 ( 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( )() ) 1 1 Re 0 x x x x x y l y y x y l x y v v vv p v v x y x xy v vp v v v v x y y xy v v x y δ δ δ δ δ δ δδ δ δ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎫ + =− + + ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎪⎪⎪⎪ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎪ + =− + + ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎬⎪⎪⎪⎪ ∂ ∂ + = ⎪ ∂ ⎪ ⋅ ∂ ⋅ ⎭ ⋅ ⋅ ⎪ 代入N-S方程得到： Rel V ν ∞ = l 式中 为雷诺数
上浒充通大￥ 9.3平面层流边界层的控制方程 Shanghai Jiao Tong University 由边界层特征知道：6与飞相比较是很小的，即δ< 或6'=S1L<1,同时注意到，Vx与V。、x与、y 与δ具有同一数量级，于是y,'、X'和p的量级均为1， 并可以得到： Ov. 8x' &x 2 为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得： 1 av' &x
Shanghai Jiao Tong University 9.3 平面层流边界层的控制方程 由边界层特征知道： 与 相比较是很小的 ，即 << 或 / << 1，同时注意到， 与 、 与 、 与 具有同一数量级，于是 、 和 的量级均为1， 并可以得到： ～1， ～1 ，～， ～ 为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得： ＝ ～1 δ l δ l δ ′ = δ l x v V∞ x l y δ x v ′ x ′ p′ / / x vx ∂ ∂ 2/ 2 / x vx ∂ ∂ / / y vx ∂ ∂ 2/ 2 / y vx ∂ ∂ 2/ 1 δ / / y vy ∂ ∂ / / x v x ∂ − ∂ / 1 δ
上游充通大学 9.3平面层流边界层的控制方程 Shanghai Jiao Tong University 因此Vv~,于是又得到： 0Ny ov, 月2 ax! 一0、 通过分析无因次方程组各项的数量级，方程组中第二式中各 惯性项可以忽略掉，同时可以略去∂v,、∂2v,、∂y,'。 &x/2 于是在无因次方程组的粘性项中只剩第一式中的一项 02 2
Shanghai Jiao Tong University 9.3 平面层流边界层的控制方程 因此 ~ ，于是又得到： ~ ， ~ ， ~ 1 ， ~ 通过分析无因次方程组各项的数量级，方程组中第二式中各 惯性项可以忽略掉 ，同时可以略去 、 、 。 δ ′ / y v δ′ / / x vy ∂ ∂ 2/ 2 / x vy ∂ ∂ δ ′ / / y vy ∂ ∂ 2/ 2 / y vy ∂ ∂ / 1 δ 2/ 2 / x vx ∂ ∂ 2/ 2 / x vy ∂ ∂ 2/ 2 / y vy ∂ ∂ 2/ 2 / y vx ∂ ∂ 于是在无因次方程组的粘性项中只剩第一式中的一项