西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课件讲稿）第3章 静磁场 Magnetostatics

静磁场 Xidian Universit 2.电流分布在外磁场中的相互作用能 设j。为外磁场电流分布，A为外磁场的矢势；了为处于外 磁场B中的电流分布，它激发的场的矢势为A。总能量： w=2∫a+A)-d+,wr=号(iaw -Cdv(-J.+Av 最后一项称为相互作用能，记为W, 可以证明： W,=∫(Aj)dw=j(a.j)dw 西安电子科技大学

西安电子科技大学 2. 电流分布在外磁场中的相互作用能  W  (A  Ae )(J  Je )dV 2 1       (A J )dV 2 1     (Ae  Je )dV 2 1     (A Je  Ae  J )dV 2 1     最后一项称为相互作用能，记为 Wi ， 可以证明： Wi   (A Je )dV     (Ae  J )dV   设 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势； 为处于外 磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为 。总能量： J  A  e J  Ae  Be  静磁场

静磁场 Xidian University 例：已知小圆形回路的半径为，回路中的电流为I。求小圆环 电流回路的远区磁势矢与磁场。 解：如图所示，由于具有轴对称性，磁 矢势和磁场均与无关，计算xz平面上的 磁矢势与磁场将不失一般性。 =er=r(e,sine+e.cose) ='a=a(e,coso+e,sin) 小圆环电流 dl=ead=(-e,sing+e,cosad =[(rsine-acos)2+a2sin2+r2 cos20)2 [r2+a2-2arsin0coso'] 西安电子科技大学

西安电子科技大学 例 ：已知小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I 。求小圆环 电流回路的远区磁势矢与磁场。 解： 如图所示，由于具有轴对称性，磁 矢势和磁场均与无关，计算xz平面上的 磁矢势与磁场将不失一般性。 ( sin cos ) r x z r e r r e e      ( cos sin ) r x y r e a a e e          d d ( sin cos ) d x y l e a e e a                2 2 2 2 2 1 2 r r r a a r         [( sin cos ) sin cos )]     2 2 1 2    [ 2 sin cos ] r a ar   小圆环电流 a I x z y r R dl  θ r  I P 静磁场

静磁场 Xidian University 对于远区，有r>,所以 2n+吗-sm8cswT:n-当snc0n ≈'0+asin0cos4) 于是得到 = 410-n0ca0X-花a0+6aw g,Hlza 42 sin 由于在p=0面上已，=E。,所以上式可写成 )=E,min8=e, 4π2 sin0②年 4πr西安电子科技大学

西安电子科技大学 对于远区，有r >> a ，所以 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 [1 ( ) sin cos ] [1 sin cos ] a a a r r r r r r r                1 (1 sin cos ) a r r     2 0 0 1 ( ) ( sin cos )d (1 sin cos ) 4 x y a r r Ia A r e e                  2 0 2 sin 4 y I a e r      由于在  =0面上 e e y   ，所以上式可写成 于是得到 2 0 0 2 2 ( ) sin sin 4 4 I a IS A r e e r r            静磁场

静磁场 Xidian University a=vxi-e,00m04)元是以， HoIS (e,2cosθ+e。sinD) 式中S=π是小圆环的面积。 载流小圆环可看作为磁偶极子，讠，=尽为磁偶极子的磁矩 (或磁偶极矩)，则 =em9成)n.×r 成-会e2c0+8m9) 西安电子科技大学

西安电子科技大学 1 1 (sin ) ( ) sin B e A e rA r r r A r               0 3 ( 2cos sin ) 4 r IS e e r        式中S =πa 2是小圆环的面积。 载流小圆环可看作为磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩 （或磁偶极矩），则 mp IS  0 2 ( ) sin 4 m p A r e r      或 0 3 ( ) 4 A r p r m r     0 3 ( ) ( 2cos sin ) 4 m r p B r e e r        静磁场

静磁场 Xidian University 例：求无限长线电流I的磁矢势，设电流沿+方向流动。 解：取柱坐标系，坐标原点为电流元Id'=eIdz'到点P(p,,z) 的距离R=√p2+(z-z)2。则 (p,0) R E-+万+e- IdT'=e.Idz' 4元 4'inp+e--(e-) 4 Vp2+(z+L)2-(z+L) 与计算无限长线电荷的电位一样，令L→0可得到无限长线电 流的磁矢势 4F)=1n1+C 2 西安电子科技大学

西安电子科技大学 解：取柱坐标系，坐标原点为电流元 到点 的距离 R z z     2 2 ( ) 。则 d d z I l e I z    P z ( , , )   0 2 2 1 ( ) d 4 ( ) L z L I A r e z z z            0 2 2 ln[ ( ) ] 4 L z L I e z z z z            2 2 0 2 2 ( ) ( ) ln 4 ( ) ( ) z I z L z L e z L z L              例 ：求无限长线电流 I 的磁矢势，设电流沿+z方向流动。 与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电 流的磁矢势 L   0 1 ( ) ln 2 z I A r e C      x y z L -L ( , , )   z z' d d z I l e I z    R 静磁场